Applicazione bilineare
In matematica , una mappa bilineare è un caso speciale di una mappa multilineare .
Definizione
Siano E , F e G tre spazi vettoriali su un campo commutativo K e φ: E × F → G una mappa. Diciamo che φ è bilineare se è lineare in ciascuna delle sue variabili, vale a dire:
∀(X,X′)∈E2,∀(y,y′)∈F2,∀λ∈K,{φ(X+X′,y)=φ(X,y)+φ(X′,y)φ(X,y+y′)=φ(X,y)+φ(X,y′)φ(λX,y)=φ(X,λy)=λφ(X,y).{\ displaystyle \ forall (x, x ') \ in E ^ {2}, \ forall (y, y') \ in F ^ {2}, \ forall \ lambda \ in K, \ qquad \ sinistra \ {{ \ begin {matrice} \ varphi (x + x ', y) = \ varphi (x, y) + \ varphi (x', y) \\\ varphi (x, y + y ') = \ varphi (x, y) + \ varphi (x, y ') \\\ varphi (\ lambda x, y) = \ varphi (x, \ lambda y) = \ lambda \ varphi (x, y). \ end {matrix}} \ giusto.}
Se G = K , parliamo di forma bilineare .
Esempio
Il prodotto scalare è una forma bilineare, perché è distributiva sulla somma vettoriale e associativa con la moltiplicazione per uno scalare :
∀(X,y,z)∈E3,∀(λ,μ)∈R2,(X∣λy+μz)=λ(X∣y)+μ(X∣z){\ textstyle \ forall (x, y, z) \ in E ^ {3}, \ forall (\ lambda, \ mu) \ in \ mathbb {R} ^ {2}, (x \ mid \ lambda y + \ mu z) = \ lambda (x \ mid y) + \ mu (x \ mid z)}.
Generalizzazione
Siano A e B due anelli (non necessariamente commutativi ), E un A - modulo a sinistra, F a B - modulo a destra e G a ( A , B ) -bimodulo. Ciò significa che G è un modulo A a sinistra e un modulo B a destra, con la relazione di compatibilità:
∀(a,b,g)∈A×B×G,(ag)b=a(gb){\ Displaystyle \ forall (a, b, g) \ in A \ times B \ times G, (ag) b = a (gb)}.
Sia φ: E × F → G una mappa. Come sopra, diciamo che φ è bilineare se è lineare in ciascuna delle sue variabili. Ciò è spiegato da:
∀(X,X′)∈E2,∀(y,y′)∈F2,∀(a,b)∈A×B,{φ(X+X′,y)=φ(X,y)+φ(X′,y)φ(X,y+y′)=φ(X,y)+φ(X,y′)φ(aX,y)=aφ(X,y)φ(X,yb)=φ(X,y)b.{\ displaystyle \ forall (x, x ') \ in E ^ {2}, \ forall (y, y') \ in F ^ {2}, \ forall (a, b) \ in A \ times B, \ qquad \ left \ {{\ begin {matrix} \ varphi (x + x ', y) = \ varphi (x, y) + \ varphi (x', y) \\\ varphi (x, y + y ') = \ varphi (x, y) + \ varphi (x, y ') \\\ varphi (ax, y) = a \ varphi (x, y) \\\ varphi (x, yb) = \ varphi (x, y) b. \ end {matrice}} \ right.}
Questo è ovviamente valido quando A = B è un campo non commutativo K , E è uno spazio vettoriale K a sinistra, F è uno spazio vettoriale K a destra e G è uno spazio vettoriale a sinistra ea destra con la relazione di compatibilità di cui sopra.
Esempi
Su uno spazio vettoriale, i prodotti punto e i prodotti vettoriali sono mappe bilineari.
Bibliografia
N. Bourbaki , Algebra , Capitolo 9: Forme sesquilineare e quadratiche , Springer,2006, 208 p. ( ISBN 978-3-540-35338-6 , leggi in linea )