Operatore vincolato

In matematica , la nozione di operatore limitato è un concetto di analisi funzionale . Questa è una trasformazione lineare L tra due spazi normati X e Y in modo tale che l'immagine della palla unitaria X è una parte delimitata da Y . Ciò dimostra che si identificano con applicazioni lineari continue da X in Y . L'insieme degli operatori limitati è dotato di una norma risultante dalle norme di X e Y , lastandard dell'operatore .

Definizione

Una mappa lineare L tra gli spazi vettoriali normati X e Y è chiamata operatore limitato quando l'insieme

{\ displaystyle \ left \ {\ left. {\ tfrac {\ | Lu \ | _ {Y}} {\ | u \ | _ {X}}} \ right | u \ in X \ setminus \ {0 \} \ right \} = \ left \ {\ | Lu \ | _ {Y} \ mid u \ in X, \ | u \ | _ {X} = 1 \ right \}}

è limitato. In altre parole, esiste una M reale strettamente positiva per la quale, per ogni u appartenente a X , si realizza la seguente disuguaglianza

{\ displaystyle \ | Lu \ | _ {Y} \ leq M \ | u \ | _ {X}. \,}

Il più piccolo del limite superiore adatto M è chiamato la norma dell'operatore di L , e denotato , o più semplicemente . ${\ displaystyle | \! | \! | L | \! | \! |}$ ${\ displaystyle \ | L \ |}$

Questa definizione può essere riformulata in diversi modi. E una mappatura lineare L di X in Y è detta essere limitata quando l'immagine della palla unitaria B è limitato, ed è il raggio della più piccola sfera Y contenente le immagini degli elementi B . ${\ displaystyle \ | L \ |}$

Oppure, usando la linearità, un operatore è limitato se e solo se è una mappa Lipschitziana , e quindi è la sua costante di Lipschitz. ${\ displaystyle \ | L \ |}$

{\ displaystyle \ forall (u, v) \ in X ^ {2}, \ | Lu-Lv \ | _ {Y} = \ | L (uv) \ | _ {Y} \ leq \ | L \ | \ | uv \ | _ {X}. \,}

L'espressione "operatore limitato" non deve essere fuorviante, non è una funzione limitata da X a Y , ma piuttosto una funzione limitata localmente .

Collegamento con continuità

Un operatore L tra spazio normato X e Y è limitato se e solo se è continua in 0, oppure se e solo se è continua su X .

Esempi

Una mappa lineare tra spazi vettoriali normati di dimensione finita è sempre un operatore limitato.
Più in generale, questo è il caso di tutte le mappe lineari per le quali lo spazio iniziale è di dimensione finita.
Sullo spazio vettoriale dei polinomi , prendendo come norma il massimo dei valori assoluti dei coefficienti, la forma lineare L che associa P (2) ad un polinomio P non è continua: non è limitata poiché L ( X n ) = 2 n . $\ mathbb {R} [X]$
Un altro esempio: il lineare di per sé non può, qualunque sia la scelta di norma, un 'applicazione Lipschitz, poiché per ogni intero n , . ${\ displaystyle L: P \ mapsto XP '(X)}$ $\ mathbb {R} [X]$ ${\ displaystyle L (X ^ {n}) = nX ^ {n}}$
Un operatore compatto è una mappatura lineare da X a Y in modo tale che l'unità palla X e la parte dell'immagine relativamente compatto in Y . Un tale operatore viene quindi limitato. Questo è il caso, ad esempio, degli operatori integrali (o operatori del kernel). L'esempio più semplice di un tale operatore è dato da ${\ displaystyle T_ {K}: f \ mapsto \ left ({T_ {K} (f): x \ mapsto T_ {K} (f) (x) = \ int _ {a} ^ {b} K (t , x) f (t) ~ {\ rm {d}} t} \ right).}$ Se la funzione K ( kernel ) è continua over , allora è un operatore compatto di in (entrambi forniti con la norma di convergenza uniforme ). ${\ displaystyle [a, b] \ times [c, d]}$ $T_ {K}$ ${\ displaystyle C ^ {0} ([a, b])}$ ${\ displaystyle C ^ {0} ([c, d])}$

Operatori limitati nell'ambito degli spazi di Banach

L'insieme di operatori delimitato tra due spazi di Banach X e Y stesso forma uno spazio di Banach quando viene fornito con la norma dell'operatore . Se X = Y , è un'algebra di Banach unitaria.

È possibile definire un operatore limitato tra due spazi di Banach dando solo la sua restrizione a un sottospazio denso . Ciò è sufficiente per garantire che questa restrizione sia delimitata localmente (o Lipschitziana) e per applicare la procedura generale del prolungamento per continuità . Il risultato è effettivamente un operatore limitato.

Il Banach-Schauder (o applicazione aperta) teorema

Il teorema di Banach-Schauder mostra che ogni operatore limitato e suriettivo tra gli spazi di Banach è una mappa aperta (cioè l'immagine di un aperto è un'apertura di F ). In particolare, l'immagine della palla unitaria viene quindi “incorniciata” tra due sfere dello spazio dell'immagine.

Segue il teorema di Banach : se L è un operatore limitato e biettivo tra due spazi di Banach, anche il suo inverso è un operatore limitato. Una tale mappa costituisce un isomorfismo per la struttura spaziale di Banach.

Il teorema di Banach-Steinhaus (o principio di legame uniforme)

Il teorema di Banach-Steinhaus riguarda le famiglie, e in particolare le sequenze, di operatori limitati. Nella sua versione debole, afferma che una tale famiglia è delimitata in modo uniforme se e solo se è puntualmente delimitata.

Come corollario, quando una sequenza ( L n ) di operatori limitati su uno spazio di Banach converge semplicemente a una funzione L , allora anche L è un operatore limitato. Tuttavia, non si può affermare la convergenza della successione ( L n ) verso L relativamente alla norma dell'operatore.

Il teorema del grafo chiuso

Per una mappa lineare tra due spazi di Banach E e F è delimitata (e quindi continue) se e solo se il grafico è chiuso in E × F . Questo risultato è una diretta conseguenza del teorema di Banach.

Vedi anche

Operatore non associato