Polinomio formale

In algebra , il termine polinomio formale , o semplicemente polinomio , è il nome generico dato agli elementi di una struttura costruita da un insieme di numeri. Consideriamo un insieme A di numeri, che può essere quello di numeri interi o reali , e ad esso aggiungiamo un elemento X , detto indeterminato . La struttura è composta dai numeri, dal polinomio X , dalle potenze di X moltiplicate per un numero, detti anche monomi (della forma aX n ), nonché dalle somme dei monomi. La struttura è generalmente notataA [ X ]. Regole punteggio di addizione e moltiplicazione non vengono modificati nella nuova struttura, e X + X sono contraddistinte 2. X o X . X è indicato con X 2 . Esempi di polinomi formali sono:

X ^ {2} + 2X + 1, \ quad 3X ^ {3} + 4X + 5.

L'insieme A , utilizzato per costruire la struttura A [ X ], può essere composto da numeri, ma non è essenziale. Gli viene chiesto di supportare solo due operazioni: addizione e moltiplicazione. Se queste due operazioni hanno determinate proprietà come l' associatività , la commutatività e la distributività della moltiplicazione per addizione, diciamo che A è un anello commutativo . Spesso viene chiesto di avere un elemento neutro per la moltiplicazione. Solo questo caso è trattato in questo articolo.

A volte A ha proprietà ancora più forti, come essere un campo commutativo , il che significa che qualsiasi cosa diversa da 0 è invertibile per la moltiplicazione, come razionali o reali. In questo caso, oltre all'addizione e alla moltiplicazione, la struttura A [ X ] ha una divisione euclidea , come l'anello degli interi e diventa possibile utilizzare le tecniche dell'aritmetica elementare per lavorare sui polinomi formali. Si applica l' identità di Bézout , come il lemma di Euclide o il teorema fondamentale dell'aritmetica . C'è un equivalente di numeri primi costituiti da polinomi unitari irriducibili . Qualunque sia la natura dell'anello commutativo e unitario A , la struttura A [ X ] ha almeno le caratteristiche di un anello commutativo. Parliamo di un anello di polinomi formali.

Il polinomio formale è uno degli strumenti di base dell'algebra. Inizialmente, è stato utilizzato per risolvere le cosiddette equazioni algebriche . Risolvere l'equazione algebrica equivale a rispondere alla domanda: con quale valore dobbiamo sostituire X in modo che l'espressione ottenuta sia uguale a 0? Una soluzione è chiamata radice del polinomio. Il polinomio formale è ora utilizzato in grandi teorie come la teoria di Galois o la geometria algebrica e che vanno oltre la struttura della teoria delle equazioni.

Proprio come l'anello A può essere esteso a una struttura più grande A [ X ], l'anello dei polinomi a un indeterminato può essere ulteriormente esteso, o da un anello con più indeterminati , o dal campo delle frazioni razionali , o dall'anello di serie formale .

Nel resto dell'articolo, A denota un anello integrale , K un campo commutativo, ℤ l'anello degli interi, ℝ il campo dei numeri reali e ℂ quello dei numeri complessi .

Preambolo

Approccio intuitivo

Un modo semplice per progettare un polinomio formale è aggiungere una lettera, X , a un insieme di numeri come ℤ o ℝ. Questa lettera non ha alcun rapporto con i numeri algebrici, le uniche cose che possono essere scritti sono uguaglianze come X + X = 2 X o X . X = X 2 . Sull'insieme ottenuto vogliamo che l'addizione e la moltiplicazione abbiano le stesse proprietà di quelle che avevano nell'insieme dei numeri e che si formalizzano sotto il nome di anello. Le identità notevoli vengono sempre controllate, quindi, se a denota un numero qualsiasi:

(X + a) ^ {2} = (X + a) (X + a) = X (X + a) + a (X + a) = X ^ {2} + aX + aX + a ^ {2} = X ^ {2} + 2aX + a ^ {2}. ~

Un anello polinomio è un'espressione con un numero finito di termini, tutti i composti allo stesso modo, il prodotto di un numero e una potenza di X . Tale termine è chiamato monomio , il numero è il coefficiente del monomio e la potenza di X il grado del monomio. Il polinomio 5 X 2 + 3 X + 4, contiene un monomio di grado 2 e di coefficiente 5. Nel caso generale, qualsiasi polinomio formale P assume la seguente forma, se a i denota un numero ed i è un numero intero variabile da 0 a n :

P = a_ {n} X ^ {n} + a _ {{n-1}} X ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0}.

Le addizioni sono fatte come per i numeri usuali, quindi aX n + bX n è uguale a ( a + b ) X n . Anche la moltiplicazione segue le stesse regole, a cui aggiungiamo la legge: X n .X m = X n + m che implica che ( X n ) m = X m.n , se n e m denotano due interi positivi.

Frammenti di storia

L'idea di aggiungere una lettera a un insieme di numeri per risolvere una domanda che si formalizza sotto forma di equazione è vecchia. Si trova in Diofanto dal III ° secolo : dà la lettera S nella stessa direzione come il nostro X nel suo linguaggio simbolico e pre-qualificare per la quantità indefinita di unità . Quindi esso definisce i meccanismi operativi di addizione e moltiplicazione di espressione contenente la lettera S . La sua motivazione è la ricerca di soluzioni delle cosiddette equazioni diofantine in cui i coefficienti e le soluzioni cercate sono numeri interi o razionali. Questa idea è ripresa dai matematici arabi che generalizzano lo studio a casi in cui le soluzioni non sono razionali. L'indeterminato in loro prende il nome di dire ' e significa la cosa che si cerca . Dobbiamo loro la lettera X dalla parola gizr ' e che significa radice , il nome ora dato a una soluzione dell'equazione polinomiale . Alcuni metodi sono sviluppati, come ad esempio la derivazione formale di un polinomio del XII ° secolo .

Questa formulazione è ripresa da Francois Vieta , un matematico del XVI ° secolo che talvolta usa il termine polinomiale e che è ancora valutando la prospettiva dell'equazione. Un secolo dopo, il formalismo del polinomio viene modificato, il polinomio non è più un'espressione a cui è stata aggiunta una lettera X , che si comporta come un numero; ma una funzione, che associa un numero a un numero, quella che ora è chiamata funzione polinomiale , un concetto diverso da quello di polinomio formale. Nel XIX ° secolo , la necessità dell'anello polinomiale di nuovo. Nella sua Disquisitiones arithmeticae , Carl Friedrich Gauss fattorizza il polinomio ciclotomico per trovare un nuovo poligono regolare costruibile con un righello e un compasso . Usa polinomi con coefficienti in campi finiti , richiedendo imperativamente il concetto di polinomio formale, quindi restituito all'onore.

Fino agli anni Quaranta il formalismo è cambiato poco; il termine “indeterminato” designa sempre la lettera X aggiunta a un insieme di numeri e, se le notazioni si sono evolute, il formalismo resta quello elaborato da Viète. Ora, diverse costruzioni permettono di definire l'indeterminato come un vero oggetto matematico e non più come una lettera ei polinomi sono rigorosamente costruiti. Durante il periodo cruciale, Claude Chevalley scrisse, in un testo preparatorio per la prima edizione del capitolo II degli Elementi di matematica di Bourbaki del 1942: "[...] spesso diciamo che introduciamo n" lettere "X 1 , ..., X n ; è quindi tacitamente ammesso che queste lettere siano simboli di elementi di una certa algebra […] ” . Ora, il termine indeterminato non designa più la lettera che lo simboleggia, ma l'elemento stesso, anche se le costruzioni variano.

Anello di polinomi

Scrivere un polinomio

Per costruire rigorosamente l'anello dei polinomi A [ X ], è necessario definire “il polinomio X detto indeterminato” , questa parte è trattata nell'articolo dettagliato. Per scrivere un polinomio nella sua forma generale, è necessario avere un numero finito di elementi di A , ad esempio uno 0 , un 1 , un 2 , ..., un k , ..., un n , tale che un n sia diverso da 0. Possiamo scrivere il polinomio P nelle seguenti due forme:

{\ displaystyle P = a_ {0} + a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + \ cdots + a_ {k} X ^ {k} + \ cdots + a_ {n} X ^ {n } = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} X ^ {k}.}

Nella definizione seguente, "la sequenza dei coefficienti di P " indica quindi: ( a 0 , a 1 , a 2 ,…, a k ,…, a n , 0, 0,…).

Uguaglianza di due polinomi - Si dice che due polinomi sono uguali se le due sequenze corrispondenti dei loro coefficienti sono uguali. In particolare, il polinomio zero è quello la cui sequenza di coefficienti è zero.

Un monomio è un termine della forma aX p , che costituisce il polinomio; a è chiamato coefficiente del monomio ep il suo grado. Il grado massimo di monomi con coefficienti diversi da zero, qui n , è chiamato grado del polinomio - a meno che il polinomio non sia zero: diciamo quindi che il suo grado è meno infinito. Il grado più piccolo di monomi con un coefficiente diverso da zero è chiamato valutazione del polinomio - tranne se il polinomio è zero: allora diciamo che la sua valutazione è più infinito.

Operazioni sui polinomi

L'insieme dei polinomi A [ X ] assomiglia a quello degli interi in molti modi. I due insiemi sono dotati di due operazioni: addizione e moltiplicazione e queste operazioni verificano le proprietà raggruppate sotto il nome di assiomi e definendo una struttura chiamata anello . L'elemento neutro dell'addizione è il polinomio costante 0 e se A contiene un elemento neutro per la moltiplicazione, generalmente indicato con 1, l'elemento neutro di A [ X ] per la moltiplicazione è il polinomio costante 1. L'espressione " polinomio costante " significa che è espresso solo usando una costante e senza monomio di grado strettamente maggiore di 0.

L'analogia va oltre M. Delord osserva che la scrittura decimale posizionale del numero 3 021 è scritta anche 3.10 3 + 2.10 1 + 1. Questa scrittura ha analogie con il polinomio 3 X 3 + 2 X + 1. Il valore 10 è stato sostituito da indeterminato. Questa analogia è ovvia se si cerca di sommare 3021 con 21. I coefficienti delle diverse potenze di 10 si sommano come i coefficienti delle potenze dell'indeterminato. In un caso troviamo 3.10 3 + 4.10 1 + 2 e nell'altro 3 X 3 + 4 X + 2. Una moltiplicazione dei due numeri e dei due polinomi dà ancora risultati simili:

6 \ cdot 10 ^ {4} +3 \ cdot 10 ^ {3} +4 \ cdot 10 ^ {2} +4 \ cdot 10 + 1 \ quad {\ text {e}} \ quad 6X ^ {4} + 3X ^ {3} + 4X ^ {2} + 4X + 1.

L'analogia non è totale, il suo limite appare se si verifica un holdback nelle operazioni. I meccanismi di ritenzione nell'addizione e nella moltiplicazione di numeri interi in un sistema decimale non sono gli stessi dei polinomi.

La somma di due monomi dello stesso grado è un monomio dello stesso grado e dei coefficienti la somma di due coefficienti:

(1 + 2X + 3X ^ {2}) + (3X + 4X ^ {2} + 5X ^ {3}) = 1 + 5X + 7X ^ {2} + 5X ^ {3}, \ quad \ sum _ { {k = 0}} ^ {n} a_ {k} X ^ {k} + \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} b_ {k} X ^ {k} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} (a_ {k} + b_ {k}) X ^ {k}.

La moltiplicazione è un po 'più difficile; si basa sulla regola, se n e m sono due interi positivi: X n . X m = X n + m . Possiamo fare un esempio, derivante da un'identità notevole :

(X + 3) ^ {2} = (X + 3) (X + 3) = X (X + 3) +3 (X + 3) = X ^ {2} + 3X + 3X + 9 = X ^ { 2} + 6X + 9. ~

Nel caso generale, otteniamo:

\ left (\ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} X ^ {i} \ right) \ left (\ sum _ {{j = 0}} ^ {m} b_ {j} X ^ {j} \ right) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n + m}} \ left (\ sum _ {{i + j = k}} a_ {i} b_ {j} \ destra) X ^ {k}.

Il grado del prodotto di due polinomi è la somma dei gradi dei due polinomi. È così che questa regola è sempre verificata che il grado del polinomio zero sia definito uguale all'infinito negativo. Queste proprietà sono spiegate e dimostrate nell'articolo dettagliato.

Divisione euclidea

Se tutti gli elementi non nulli del anello commutativo A sono invertibile da per ℚ, ℝ o ℂ, diciamo che A è un corpo commutativo , indicato qui K . L'insieme dei polinomi con coefficienti in K è quindi dotato di una divisione:

Euclidea Division - Let A e B due polinomi a coefficienti in un campo K . Se B non è zero, esiste un unico paio di polinomi ( Q , R ) con coefficienti in K come A equivale BQ + R e il grado di R è strettamente inferiore a quella di B .

Esiste un'altra divisione, chiamata divisione dei poteri crescenti . È sviluppato nell'articolo dettagliato.

Aritmetica

La divisione euclidea è all'origine dei risultati dell'aritmetica elementare sugli interi. Permette di dimostrare l' identità di Bézout , che indica che se un e b non hanno divisori comuni diversi da 1 e -1, esistono due interi p e q tali che ap + bq = 1. La Divisione Euclidea sui polinomi con coefficienti in un campo commutativo mostrare l'equivalente:

Identità di Bézout per polinomi - Due polinomi P e Q con coefficienti in un campo K sono primi tra loro se, e solo se, ci sono due polinomi A e B tali che:

{\ displaystyle AP + BQ = 1.}

Si dice che due polinomi siano primi l'uno rispetto all'altro quando gli unici divisori comuni sono i polinomi costanti diversi da zero. L'identità di Bézout può mostrare lemma Euclide, indicando che se P è un polinomio irriducibile che divide un prodotto di polinomi AB , si divide sia A o B . Infine, nell'universo dei polinomi, l'equivalente dei numeri primi sono i polinomi irriducibili e unitari , il che consente di esprimere un equivalente del teorema fondamentale dell'aritmetica :

Decomposizione del fattore primo - Un polinomio diverso da zero, con coefficienti in K , si decompone in modo univoco in un prodotto, costituito da un polinomio costante e un prodotto di polinomi unitari irriducibili.

I risultati per i multipli comuni più piccoli e i divisori comuni più grandi si applicano esattamente come per gli interi.

Se ci sono coefficienti diversi da zero e non invertibili, l'aritmetica è leggermente diversa, è trattata nell'articolo dettagliato.

Factoring

Equazione algebrica

La domanda all'origine della scoperta del polinomio è quella dell'equazione . Per quasi mille anni, questa domanda e i metodi per ottenerla hanno rappresentato l'essenza dell'algebra. Se P è un polinomio con coefficienti nel campo K , annotato:

P = a_ {n} X ^ {n} + a _ {{n-1}} X ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0}.

La questione si riduce a trovare i valori x i , chiamati radici , tali che la seguente espressione sia zero:

a_ {n} x_ {i} ^ {n} + a _ {{n-1}} x_ {i} ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {1} x_ {i} + a_ {0 } = 0.

Molto prima che la formalizzazione moderna del concetto di funzione, abbiamo notato che sostituire il valore indeterminato con lo stesso risultato in tutte le espressioni della P . Se k è un elemento di K , spesso un numero, è possibile dividere P per il polinomio X - k . Il resto è un polinomio costante c , a causa del grado strettamente inferiore a quello di X - k . Otteniamo una nuova espressione di P , ovvero P = Q. ( X - k ) + c .

Sostituendo il valore k per l'indeterminato X si ottiene lo stesso risultato nell'espressione a destra ea sinistra. Se c non è zero, k non è radice perché l'espressione è uguale a c . D'altra parte, se c è zero, allora k è radice.

E radice fattorizzazione di un polinomio - Sia P un polinomio a coefficienti nel corpo K , un numero r è la radice del polinomio P se e solo se il polinomio X - r divide il polinomio P .

Visto dal punto di vista aritmetico, la ricerca delle radici di un polinomio è equivalente al segno del primo livello di fattori P . Questi fattori sono necessariamente irriducibili, il prodotto di due polinomi non costanti infatti non è mai di grado 1, perché il prodotto di due polinomi è di grado la somma dei gradi dei due polinomi. Risolvere un'equazione equivale a trovare i fattori irriducibili di un particolare tipo, quelli di primo grado. Troviamo un problema già noto in aritmetica.

L'insieme dei metodi di soluzioni algebriche di un'equazione può essere visto come una fattorizzazione del polinomio in elementi irriducibili di primo grado. Il classico metodo dell'equazione quadratica alla fine si riduce a questo. Possiamo dedurre un primo risultato.

Proposizione - Un polinomio con coefficienti in K non ammette mai più radici del suo grado.

Dimostrazione della proposta

Se il polinomio P comprende, nella sua scomposizione in fattori irriducibili, solo polinomi di primo grado, allora un'analisi sul termine di grado più elevato indica che P contiene tanti fattori quanti sono il suo grado, qui annotato n . Quindi un polinomio P non può contenere più fattori di primo grado del suo grado. Nel caso generale, P è il prodotto di un polinomio che non è divisibile per un primo grado polinomiale e m fattori primi gradi con m meno di n , che possiamo scrivere:

P = Q \ cdot (X-r_ {1}) \ cdots (X-r_ {m}).

Il polinomio Q è irriducibile, e se si sostituisce l'indeterminato nella sua espressione per un valore k ogni, non si trova mai 0, se X - k divide Q . Poiché il prodotto di numeri diversi da zero non è mai zero, così che il prodotto a destra è zero quando sostituiamo l'indeterminato con un valore k , uno dei fattori deve essere zero, cioè uguale a uno di r j , che dimostra la proposizione.

Polinomi irriducibili con coefficienti in ℂ, ℝ e ℚ

A seconda della scelta del campo dei coefficienti, i polinomi irriducibili non hanno la stessa forma. Si consideri il polinomio P uguale a X 5 - X 4 - 4 X + 4. Trovare i suoi fattori irriducibili di primo grado equivale a risolvere l'equazione polinomiale associata. Se questa equazione è studiata in ℂ, il teorema di d'Alembert-Gauss indica l'esistenza di almeno una radice. Nel caso particolare studiato troviamo l'ovvia radice 1 , e una divisione euclidea mostra che:

P = (X ^ {4} -4) (X-1). ~

Il polinomio P è scritto come il prodotto di due polinomi compreso uno di primo grado. L'uso dello stesso teorema mostra che l'altro polinomio ha almeno una radice, che indica l'esistenza di un altro fattore di primo grado. Gradualmente fattorizziamo P in polinomi di primo grado. In pratica, una notevole identità applicata 3 volte permette la fattorizzazione dell'esempio studiato:

P = (X - {\ sqrt 2}) (X + {\ sqrt 2}) (Xi {\ sqrt 2}) (X + i {\ sqrt 2}) (X-1). ~

E nel caso generale:

Polinomio irriducibile su ℂ - Gli unici polinomi con coefficienti nel campo dei numeri complessi irriducibili sono quelli di primo grado.

La stessa equazione su ℝ dà risultati diversi. Il termine i , che denota l' unità immaginaria , non esiste. Il factoring fornisce:

P = (X ^ {2} +2) (X - {\ sqrt 2}) (X + {\ sqrt 2}) (X-1). ~

È facile rendersi conto che il primo fattore è irriducibile. Sostituendo l'indeterminato con un valore si ottiene sempre un numero maggiore di 2, il polinomio X 2 + 2 non contiene divisore di primo grado e, essendo di grado 2, è necessariamente irriducibile. Nel caso generale:

Polinomio irriducibile su ℝ - Gli unici polinomi irriducibili con coefficienti reali sono quelli di primo grado e quelli di secondo grado aventi un discriminante strettamente negativo.

Una dimostrazione è fornita nel teorema di d'Alembert-Gauss, § Dichiarazioni .

Su ℚ, l'esempio scelto mostra che c'è un solo fattore di primo grado, perché la radice di 2 non è un numero razionale. I polinomi irriducibili con coefficienti in ℚ sono molto più vari, troviamo tutti i gradi, come mostra il criterio di Eisenstein .

Coefficienti e radici

A condizione che si accetti di ampliare l'insieme dei numeri per le configurazioni convenzionali come numeri razionali, reali o complessi, è sempre possibile fattore di un polinomio P . Questo fornisce due modi per scrivere P . Usando le stesse notazioni di prima:

P = a_ {n} X ^ {n} + a _ {{n-1}} X ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {0} = a_ {n} (X-r_ {1} ) (X-r_ {2}) \ cdots (X-r_ {n}).

Qui r k per k che varia da 1 a n , si riferisce alle varie radici del polinomio P . I valori presi da r k possono essere simili, quindi parliamo di radici multiple . La scomposizione corrisponde a quelle dei fattori primi di P , la costante a n assunta diversa da zero, corrisponde all'elemento del gruppo di unità, il suo valore è quello del coefficiente del monomio dominante .

Nel caso del polinomio unitario di secondo grado, l'uguaglianza diventa:

P = X ^ {2} + a_ {1} X + a_ {0} = (X-r_ {1}) (X-r_ {2}). ~

Lo sviluppo del termine a destra dà le relazioni:

(X-r_ {1}) (X-r_ {2}) = X ^ {2} - (r_ {1} + r_ {2}) X + r_ {1} r_ {2} = X ^ {2} + a_ {1} X + a_ {0} \ quad {\ text {e}} \ quad a_ {1} = - (r_ {1} + r_ {2}), \ quad a_ {2} = r_ {1 } r_ {2}.

Questa fattorizzazione fornisce una relazione tra i coefficienti e le radici. Si sta diffondendo.

Se ora sostituiamo r 1 e r 2 con due indeterminati X e Y , otteniamo due polinomi XY e X + Y detti simmetrici . Si dice che un polinomio con diversi indeterminati sia simmetrico se una permutazione degli indeterminati non modifica il polinomio. Quindi XY è simmetrico, ma X 2 + Y non lo è. Per generare polinomi simmetrici con n variabili, è sufficiente utilizzare questo processo con un polinomio di grado n . Otteniamo esattamente n polinomi simmetrici. Tutti i polinomi simmetrici sono ottenuti da combinazioni lineari di prodotti di questi n polinomi simmetrici.

Algebra lineare

Spazio vettoriale

L'anello A è naturalmente isomorfo al sottoanello di A [ X ] costituito da polinomi costanti. Questo imposta una nuova operazione su A [ X ] e delle moltiplicazione esterna quale un scalare una e un polinomio P combina il polinomio Ap , polinomio prodotto è (visto come costante polinomiale) e il polinomio P . Per costruzione, questa moltiplicazione esterna di A × A [ X ] in A [ X ] è compatibile con l'addizione e la moltiplicazione dell'anello A [ X ]; più precisamente: fornite queste tre operazioni, A [ X ] è una A -algebra .

In particolare, se A è un campo, l'insieme A [ X ], fornito dell'addizione e della moltiplicazione esterna, è uno spazio A - vettoriale . Se A non è un campo, A [ X ] ha anche una struttura di A -module .

Questo modulo A è gratuito , cioè ha almeno una base : la famiglia (è generatrice di A [ X ] per costruzione, ed è anche libera ). ${\ displaystyle (X ^ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Base canonica - La famiglia dei poteri indeterminati è una base di A [ X ], chiamata base canonica . ${\ displaystyle (X ^ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

Un particolare sottomodulo è quello dei polinomi di grado minore o uguale a un intero positivo p . Per definizione, ha come base (1, X ,…, X p ). È quindi un modulo libero di dimensione p + 1.

Sostituzione e funzione polinomiale

“La parola polinomio designa infatti due entità matematiche distinte: il polinomio formale e la funzione polinomiale. Quest'ultimo fornisce il valore assunto dal polinomio quando la variabile x è sostituita da un dato valore numerico. "

Ad un polinomio formale a coefficienti interi, come X 2 + 2 X + 1, possiamo associare una funzione polinomiale f definita su ℤ da: f ( x ) = x 2 + 2 x + 1.

Nel caso generale di un polinomio con coefficienti in un anello A , è sufficiente indicare l'insieme di partenza B , un anello contenente A (ad esempio: un anello di polinomi con coefficienti in A ), e sostituire l'indeterminato X con la variabile x nella stesura del polinomio formale. Definiamo quindi una mappa Φ, di A [ X ] nell'anello delle funzioni da B a B , che associa la sua funzione polinomiale ad un polinomio formale. Questa mappa Φ è un morfismo ad anello , cioè è compatibile con l'addizione e la moltiplicazione:

\ forall P, Q \ in A \ quad \ Phi (P + Q) = \ Phi (P) + \ Phi (Q) \ quad {\ text {e}} \ quad \ Phi (P \ cdot Q) = \ Phi (P) \ cdot \ Phi (Q).

Poiché fissa i polinomi costanti, è quindi un morfismo di algebre, vale a dire che è inoltre compatibile con la moltiplicazione esterna:

{\ displaystyle \ forall P \ in LA \ quad \ forall \ lambda \ in A \ quad \ Phi (\ lambda P) = \ lambda \ Phi (P)}

Si tratta quindi di una mappa lineare ( cioè compatibile con + e con la legge esterna).

L'applicazione Φ non è sempre iniettiva . Si verifica un primo caso, se l'anello A contiene una copia dell'insieme ℤ di numeri interi. Questo è ad esempio il caso di ℚ, ℝ o ℂ. In questo caso, la mappa Φ è iniettiva. La dimostrazione è data alla fine di questo articolo nel paragrafo Equazione algebrica . Ci sono altri casi in cui Φ non è iniettiva, ad esempio quello in cui A è un campo finito . Alcuni esempi sono forniti se A denota l' anello ℤ / p ℤ dove p è un numero primo. L'insieme dei polinomi formali è sempre infinito, tutti i polinomi X n sono distinti, e se n attraversa l'insieme degli interi positivi, otteniamo un'infinità di polinomi distinti. D'altra parte, le funzioni polinomiali formano un sottoinsieme delle funzioni da A ad A , se A è un campo finito del cardinale p , esistono p p funzioni distinte e quindi al massimo p p funzioni polinomiali. Poiché non può esserci iniezione da un insieme infinito a un insieme finito, la mappa Φ non è iniettiva. Ci sono alcuni casi in cui Φ è iniettivo:

Proposizione - Se B è infinito e si integra , allora Φ è iniettiva.

Un anello commutativo con almeno due elementi si dice essere integrale se un prodotto di due elementi una e B dell'anello è zero solo se una o b è. Molti soliti anelli di numeri (interi, razionali, reali, complessi ...) sono infiniti e integrali. Per loro, l'anello delle funzioni polinomiali e quello dei polinomi formali sono quindi copie l'uno dell'altro e tutti i risultati algebrici qui stabiliti si applicano alle funzioni polinomiali.

Dimostrazioni

In un campo finito, qualsiasi funzione è polinomiale:

Per costruire un polinomio P avente gli stessi valori di una funzione f ( x ), costruiamo prima la funzione polinomiale P 0 ( x ), che è uguale a 1 in 0 e 0 ovunque, poi P h ( x ) che è uguale a 0 ovunque tranne che in h dove è 1:

P_ {0} (x) = \ prod _ {{k \ in {\ mathbb F} _ {p} ^ {*}}} (1-k ^ {{- 1}} x) \ quad {\ text { e}} \ quad \ forall h \ in {\ mathbb F} _ {p} \ quad P_ {h} (x) = P_ {0} (xh).

La funzione f ( x ) è uguale alla combinazione lineare dei polinomi P h ( x ) con i coefficienti f ( h ) quando h attraversa il campo F p .

Se B contiene un'infinità di elementi ed è unitario e integrale , allora Φ è iniettivo:

Se B è un anello unitario e incorpora, è possibile costruire il campo dei quozienti K e considerare P come un polinomio a coefficienti in K . Il polinomio P non può avere più radici in K del suo grado per definizione finito. Se P non è il polinomio zero, poiché B è infinito, contiene un valore b tale che P ( b ) non è zero. Di conseguenza, il nucleo della mappa Φ è ridotto al vettore zero, il che mostra che Φ è iniettivo.

Derivato formale

Definizione

Esiste una mappa lineare a volte molto utile di A [ X ], chiamata derivata formale . Come ogni applicazione lineare, è perfettamente definita dalla conoscenza dell'immagine di una base.

Definizione della derivata formale - La derivata formale è la mappa lineare di A [ X ] in se stessa, che a X n associa nX n –1 .

(Il prodotto del polinomio X n –1 per l'intero n è ben definito, poiché ( A [ X ], +) è un gruppo abeliano .)

Se A è l'anello dei numeri interi o il campo dei numeri complessi, la derivata formale è la controparte dell'applicazione derivata nel mondo dei polinomi formali. La definizione qui presentata si applica tuttavia a qualsiasi anello di polinomi costruiti su un anello commutativo.

Se il polinomio P è scritto nel modo usuale, abbiamo l'espressione P ' della sua derivata formale:

P = a_ {n} X ^ {n} + a _ {{n-1}} X ^ {{n-1}} + \ cdots + a_ {1} X + a_ {0} \ quad {\ text { e}} \ quad P '= na_ {n} X ^ {{n-1}} + (n-1) a _ {{n-1}} X ^ {{n-2}} + \ cdots a_ { 1}.

Proprietà

(Ricorda che si presume che l'anello A sia intero.)

In analisi reale , qualsiasi mappa differenziabile di ℝ in ℝ e di derivata zero è costante (questo risultato è dedotto dal teorema degli aumenti finiti ). L'analogo di questo risultato per i polinomi formali non è sempre valido. Supponiamo infatti ad esempio che nell'anello A l'elemento 3.1 A = 1 A + 1 A + 1 A sia uguale a 0 A - allora diciamo che la caratteristica dell'anello è 3. Quindi, in A [ X ], il polinomio derivato da X 3 è il polinomio zero. Tuttavia, X 3 non è un polinomio costante . Questa situazione non si verifica se l'anello ha caratteristica zero, cioè se per qualsiasi intero n > 0 l'elemento n 1 A non è zero:Nella caratteristica zero, il nucleo della mappa lineare è ridotto a polinomi costanti. ${\ displaystyle P \ mapsto P '}$
Il grado della derivata di un polinomio formale di grado n è strettamente minore di n (uguale an - 1 in caratteristico zero); quindi, la derivata ( n + 1) -esima di un polinomio di grado n è il polinomio zero.
È una derivazione , cioè se P e Q sono due polinomi: ${\ displaystyle (PQ) '= P'Q + PQ'}$ .
Il polinomio derivato da un polinomio composto (definito per sostituzione ) è dato da: ${\ displaystyle P \ circ Q: = P (Q)}$ ${\ displaystyle (P \ circ Q) '= (P' \ circ Q) \ times Q '}$ .In particolare, quindi (per induzione) . ${\ Displaystyle \ left (P (aX + b) \ right) '= aP' (aX + b)}$ ${\ Displaystyle \ sinistra (P (aX + b) \ destra) ^ {(k)} = a ^ {k} P ^ {(k)} (aX + b)}$

Un'altra proprietà collega l'esistenza di più radici nel derivato formale, diciamo che un polinomio a coefficienti in K è separabile se ha molte radici distinte che la sua estensione in almeno un corpo L contenenti K .

Criterio per la presenza di una radice multipla - Un polinomio, con coefficienti in K , è separabile se e solo se esso e la sua derivata formale sono coprimi.

Una dimostrazione può essere trovata nell'articolo " Estensione separabile ". Ad esempio, il polinomio X 2 + 2, con coefficienti nel campo ℚ dei razionali, è separabile, perché ammette due radici distinte nel campo ℂ dei complessi, che contiene ℚ. E 'in primo luogo con la sua derivata formale, uguale a 2 X .

Sviluppo di Taylor

In caratteristica zero, l' espansione di Taylor si applica ai polinomi formali.

Sviluppo di Taylor - Sia A un dominio di integrità e caratteristica zero, P un polinomio di A [ X ] di grado minore o uguale a n e un elemento di A . Viene verificata la seguente formula, nota come espansione di Taylor di P in : $a$ $a$

P = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} {\ frac {P ^ {{(i)}} (a)} {i!}} (Xa) ^ {i}.

Questa formula merita qualche spiegazione. Il termine P ( i ) ( a ) denota l'elemento A ottenuto dal sostituente ha la X indefinita . La notazione i ! qui denota l'elemento i ! 1 A dell'anello. La divisione non è sempre impostata su A ; d'altra parte, dimostriamo (sotto) che il termine P ( i ) ( a ) è sempre un multiplo di i !. Poiché A è integrale, l'elemento b i di A tale che i ! b i è uguale a P ( i ) ( a ) è unico, il che dà significato all'espansione di Taylor.

Dimostrazione

O con . ${\ displaystyle P = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} X ^ {i}}$ ${\ displaystyle a_ {i} \ in A}$

Per da a , abbiamo (per induzione), quindi , vale a dire (tenendo conto delle spiegazioni di cui sopra) . Si deduce l'uguaglianza , a volte chiamato lo sviluppo di Taylor-Young P . $K$ ${\ displaystyle 0}$ $non$ ${\ displaystyle P ^ {(k)} = \ sum _ {i = k} ^ {n} a_ {i} {\ frac {i!} {(ik)!}} X ^ {ik}}$ ${\ displaystyle P ^ {(k)} (0) = a_ {k} k!}$ ${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {P ^ {(k)} (0)} {k!}}}$ ${\ displaystyle P = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {P ^ {(i)} (0)} {i!}} X ^ {i}}$
L'espansione di Taylor-Young del polinomio è quindi: ${\ displaystyle Q (Y): = P (Y + a)}$ ${\ displaystyle Q (Y) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {Q ^ {(i)} (0)} {i!}} Y ^ {i}}$ . O (secondo una proprietà della derivazione ), quindi . Perciò : ${\ Displaystyle Q ^ {(i)} (Y) = \ sinistra (P (Y + a) \ destra) ^ {(i)} = P ^ {(i)} (Y + a)}$ ${\ displaystyle Q ^ {(i)} (0) = P ^ {(i)} (a)}$ ${\ displaystyle P (Y + a) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ frac {P ^ {(i)} (a)} {i!}} Y ^ {i}}$ . " Sostituendo " con , si ottiene la formula pubblicizzata. $Y$ $Xa$

Risultante, discriminante

Il risultato di due polinomi è il determinante di una matrice costruita utilizzando i due polinomi. Questo determinante è diverso da zero se, e solo se, i due polinomi sono coprimi. Il discriminante di un polinomio P è, ad eccezione di un fattore moltiplicativo, il risultato del polinomio e della sua derivata, che permette di scrivere che:

Discriminante - il discriminante di un polinomio è zero, se, e solo se, il polinomio ammette almeno una radice multipla, nel suo campo di decomposizione.

Se a è il coefficiente del monomio dominante, n il grado del polinomio e α k , per k variabile da 1 an , le radici del polinomio P , il suo discriminante Δ ( P ) è uguale a:

{\ displaystyle \ Delta (P) = a ^ {2n-2} \ prod _ {i <j} {(\ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}) ^ {2}}.}

Il discriminante è espresso anche in funzione dei coefficienti del polinomio, l'espressione è comunque complessa se n è alto. Nel caso di dimensione 2 e se il polinomio P è scritto aX 2 + bX + c , troviamo la classica espressione:

\ Delta (P) = b ^ {2} -4ac \ quad {\ text {o ancora}} \ quad \ Delta (P) = a ^ {2} (\ alpha _ {1} - \ alpha _ {2} ) ^ {2}.

Ciò permette di trovare facilmente le formule che danno le radici dell'equazione in funzione dei coefficienti, sapendo che l'opposto della somma delle radici è uguale a b . Se n è strettamente maggiore di 2, il discriminante non offre un modo semplice per esprimere le radici.

Note e riferimenti

Appunti

L. Radford, " Diofanto e algebra presimbolica ", Bollettino AMQ ,1991( leggi online ).
P. ver Eecke , Diophantus of Alexandria: The Six Arithmetic Books and the Book of Polygon Numbers , Liegi, Desclée de Brouwer ,1926, p. 3.
Vedi su questo argomento ver Eecke 1926 , p. 3.
Roshdi Rashed , Between arithmetic and algebra: research on the history of Arab matematica , Paris, Les Belles Lettres , 1984.
Helen Bellosta dice: "Il suo successore Sharaf al-Din al-Tusi ( XII ° secolo) studierà in modo più rigoroso la vita di questi punti di intersezione, che ascisse determina la radice positiva richiesto; questo lo porterà a concentrarsi sui problemi di localizzazione e separazione delle radici, costringendolo a definire la nozione di massimo di un'espressione algebrica (introducendo la derivata formale di un polinomio). Un'altra innovazione di al-Tûsî consiste nel trattare, contemporaneamente alla risoluzione geometrica, la risoluzione numerica delle equazioni di terzo grado. Per questo ha sviluppato una variante del metodo di Ruffini Horner. " : H. Bellosta," Sulla storia delle scienze arabe ", Gazette de la SMF , vol. 82,1999, p. 37-44 ( leggi in linea )( p. 40 ).
(a) F. Cajori , A History of Mathematics , New York, Macmillan, 1919 ( 2 ° ed.), P. 139 .
Carl Friedrich Gauss Disquisitiones arithmeticae 1801 (pagina 434 nell'edizione 1807 tradotta in francese da Poullet-Delisle e pubblicata da Jacques Gabay edizioni nel 1989 ( ISBN 2876470543 )
C. Chevalley , "Capitolo III" , in Associazione dei collaboratori di Nicolas Bourbaki, Algebra ( leggi online ) , p. 22.
Anche testi molto elementari presentano l'indeterminato come elemento di una struttura algebrica e non più come lettera: cfr. link esterno Sarlat 2001 .
In istruzione superiore , l'indeterminato è definito come il polinomio X , costruito come una sequenza: link esterno Cours de MPSI .
Il link esterno Il corso della classe preparatoria rileva la x indeterminata e la definisce come la seguente (0,1,0, ...).
corsi universitari seguono la stessa convenzione; l'indeterminato è un oggetto definito come un particolare polinomio: collegamento esterno GUIP 2003 .
Questa idea si applica al caso di diversi indeterminati. L'indeterminato è ancora definito da una generalizzazione della sequenza precedente: Antoine Chambert-Loir , " Algebra commutativa " ,2006, p. 18.
libri di algebra seguono ampiamente questa convenzione: Michel Queysanne , Algebre , Armand Colin, coll. "U", 1964, p. 413 .
Presentazione di un livello universitario: J. Lelong-Ferrand e J.-M. Arnaudiès , Corso di matematica, volume 1: Algebra , Dunod, 2003 ( ISBN 2100081977 ) , p. 139 (nell'edizione consultata del 1971).
Un'altra tecnica è possibile; corrisponde a una definizione assiomatica, un po 'come quella di Chevalley. Questo è quello proposto da Patrick Polo, " Algebre, polinomi, algebre di tipo finito " , su IMJ ,2004.
N. Bourbaki, Elementi di matematica: Algebra, capitoli da 4 a 7 , Dunod 1981 ( ISBN 2.225.685,746 mila ) cap. 4 .
Questa citazione è tratta dal link esterno Cours de MPSI .
Questa proprietà è spiegata nel collegamento esterno della GUIP 2003 .
Queste definizioni provengono dal Corso preparatorio in collegamento esterno; sono giustificati dalle formule sulla somma e sul prodotto sotto riportate.
Questo esempio è tratto dal sito di M. Delord (membro del GRIP ): Operazioni aritmetiche e algebra polinomiale .
Questa presentazione si ispira al collegamento esterno di Sarlat 2001 .
A. Dahan-Dalmedico e J. Peiffer , A History of Mathematics: Roads and Mazes ,1986[ dettaglio delle edizioni ] .
Link esterno Corso preparatorio .
" Polynomials " , su MSN Encarta ,2008.
Teorie di Régine e Adrien Douady , Algebra e Galois [ dettaglio delle edizioni ], p. 146 .
Per lo studio dei polinomi formali, l'applicazione Φ a volte è utile. Quando i coefficienti sono scelti in un campo finito F p , a volte è necessario conoscere l'insieme delle funzioni polinomiali e come costruire un polinomio che assume valori precisi. Questa domanda appare ad esempio per la costruzione di un codice correttivo e in particolare di un codice ciclico : C. Bachoc, “ Cours de code ” , su Université Bordeaux I ,2004 .
D. J. Mercier La prova della presentazione al CAPES matematica , vol. II Scienze matematiche, 2006 ( ISBN 2748330013 ) , p. 300 .
A. Kraus, " Theory of Galois - DEA accelerated course " , su IMJ , University of Paris VI ,1998, Proposizione 2.2, p. 12 .
Vedi su questo argomento Serge Lang , Algèbre [ dettaglio delle edizioni ], cap IV, § 8.

link esterno

: documento utilizzato come fonte per questo articolo.

" Corso preparatorio: Capitolo I: Anello dei polinomi "
" Corso MPSI: Introduzione all'indeterminato "
R. Ferréol, “ Polynôme ” : un corso PCSI
GUIP, " Presentazione e costruzione dell'anello di polinomi con coefficienti in un campo " , Université Bordeaux I, Ulysse,2003
JM Sarlat , " Introduzione ai polinomi " ,2001