Aritmetica

L' aritmetica è una branca della matematica che è la scienza dei numeri .

L'aritmetica si limita ad iniziare lo studio delle proprietà dei numeri naturali , degli interi e dei numeri razionali (come frazioni ), e delle proprietà delle operazioni su questi numeri. Le operazioni aritmetiche tradizionali sono l' addizione , la divisione , la moltiplicazione e la sottrazione . Questa disciplina è stata poi ampliata dall'inclusione dello studio di altri numeri come i reali (sotto forma di espansione decimale illimitata), o concetti ancora più avanzati, come l' elevamento a potenza o la radice quadrata . Un aritmetica è un modo per rappresentare formalmente - cioè, "codice" - i numeri (sotto forma di un elenco di numeri, per esempio); e (grazie a questa rappresentazione) definire le operazioni di base: addizione, moltiplicazione, ecc.

Storia

L' etimologia della parola aritmetica si basa sul greco antico ἀριθμός ( arithmos ), che significa numero .

L'origine dell'aritmetica sembra essere un'invenzione fenicia . Nella scuola pitagorica nella seconda metà del VI °  secolo  aC. dC , l'aritmetica era, insieme alla geometria , all'astronomia e alla musica , una delle quattro scienze quantitative o matematiche ( Mathemata ). Queste sono state raggruppate nelle sette arti liberali di Marziano Capella ( V th  secolo) e più precisamente designato come quadrivium da Boezio . Le altre tre discipline erano letterarie ( grammatica , retorica , dialettica ) e furono oggetto dell'opera di Cassiodoro e, in seguito, di Alcuino che diede loro il nome di trivio .

Aritmetica diversa

Aritmetica elementare

Il termine "aritmetica elementare" si riferisce a volte alla forma più elementare di matematica, appresa nella scuola elementare . Si tratta essenzialmente dello studio dei numeri e delle operazioni elementari ( sottrazione , addizione , divisione , moltiplicazione ).

Questo termine si riferisce anche alle basi delle tecniche aritmetiche. Gli strumenti utilizzati sono la divisione euclidea , il lemma di Euclide , il teorema di Bachet-Bézout o il teorema fondamentale dell'aritmetica . Ci permettono di dimostrare teoremi come il piccolo teorema di Wilson o Fermat .

Questo secondo significato del termine è trattato nell'articolo dettagliato.

Aritmetica modulare

Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855 ) studia l'insieme di classi di congruenza di interi relativi modulo un dato intero . Ad ogni classe corrisponde un resto della divisione euclidea per questo intero, e l'insieme è naturalmente provvisto di un'addizione e di una moltiplicazione.

Lo studio di questa struttura è chiamato aritmetica modulare. Permette di generalizzare i risultati dell'aritmetica elementare. Il teorema di Eulero , corrispondente a un risultato più forte del piccolo teorema di Fermat, illustra una generalizzazione.

L'aritmetica modulare viene utilizzata in crittografia o per la costruzione di codici correttivi in informatica .

Teoria algebrica dei numeri

Molte domande non possono essere risolte, nemmeno con le tecniche dell'aritmetica modulare. Esempi vengono dalle equazioni diofantee , cioè da equazioni i cui coefficienti sono interi e le cui soluzioni desiderate sono interi. Un metodo consiste nell'estendere l'insieme degli interi a una nuova struttura chiamata anello di interi algebrici , come quella degli interi gaussiani .

Lo studio di queste strutture, più generale di quelle dell'aritmetica modulare che è limitata agli anelli euclidei , costituisce il primo capitolo della teoria algebrica dei numeri .

Aritmetica polinomiale

Lo studio dell'aritmetica, intesa come numero intero, suppone di stabilire teoremi. Questi teoremi sono dimostrati usando tecniche che non sono limitate ai numeri interi. È possibile utilizzare lo stesso approccio su altre strutture, come quella dei polinomi . Attraverso lo studio dei polinomi ciclotomici , Gauss riesce a trovare un nuovo poligono regolare costruibile con riga e compasso , da 17 lati.

Il suo approccio è aritmetico , per questo motivo si parla di aritmetica polinomiale.

Insiemi usati in aritmetica

La totalità dei numeri è stata suddivisa in vari insiemi . I più famosi sono:

• NON{\ displaystyle \ mathbb {N}} : l'insieme dei numeri naturali ( ).0;1;2;3;4;5; eccetera.{\ displaystyle 0; \, 1; \, 2; \, 3; \, 4; \, 5; {\ mbox {ecc.}}}
• Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}} : l'insieme degli interi relativi ( ).-12;-2;0;5;6; eccetera.{\ displaystyle -12; \, - 2; \, 0; \, 5; \, 6; {\ mbox {ecc.}}}
• D{\ displaystyle \ mathbb {D}} : l'insieme dei numeri decimali , cioè che si scrive sotto forma di quoziente di un intero relativo e di una potenza positiva di 10, cioè dove x è un numero intero relativo e n è un numero intero ( , ecc.).X10non{\ displaystyle {\ frac {x} {10 ^ {n}}}}-510,0,13100,1010{\ displaystyle {\ tfrac {-5} {10}}, \, 0, \, {\ tfrac {13} {100}}, \, {\ tfrac {10} {10}}}
• Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}} : l'insieme dei numeri razionali , vale a dire i numeri che possono essere scritti come quoziente (risultato di una divisione) di due interi relativi. Impostando la divisione, nel risultato può esserci un numero infinito di cifre dopo la virgola, ma queste cifre finiranno per ripetersi; in questo caso si dice che la scrittura decimale è periodica illimitata .(13;-513;227 eccetera.){\ displaystyle \ left ({1 \ over 3}; \, - {5 \ over 13}; {22 \ over 7} {\ mbox {etc.}} \ right)}
• R{\ displaystyle \ mathbb {R}} : l'insieme dei numeri reali , che misura tutte le distanze tra due punti di una retta, che possono essere visti come limiti dei numeri razionali, e che possono essere scritti con cifre dopo la virgola ma le cifre non sono più necessariamente ripetute ( , , eccetera.).π{\ displaystyle \ pi}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}
• VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} : numeri complessi della forma dove xey sono reali e immaginari tali che .X+iosì{\ displaystyle x + iy}io{\ stile di visualizzazione i}io2=-1{\ stile di visualizzazione i ^ {2} = - 1}

Alcuni di questi insiemi sono sottoinsiemi di altri; tutti gli elementi di appartengono anche a , ad es. Ma al contrario, un elemento di non è necessariamente un elemento di . Questi insiemi possono essere rappresentati da cerchi concentrici: il più piccolo è , seguito , , , e . NON{\ displaystyle \ mathbb {N}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}NON{\ displaystyle \ mathbb {N}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}D{\ displaystyle \ mathbb {D}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

È possibile considerare solo una parte di un insieme. Pertanto, indichiamo l'insieme dei numeri positivi di . Allo stesso modo denotiamo l'insieme privato di 0. Notiamo tra l'altro che e quello (si tratta di “privato di” ). R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R*{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Z+=NON{\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+} = \ mathbb {N}}Z∖NON=Z-*{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus \ mathbb {N} = \ mathbb {Z} _ {-} ^ {*}}Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}NON{\ displaystyle \ mathbb {N}}

Proprietà

Molti numeri interi hanno proprietà speciali. Queste proprietà sono oggetto della teoria dei numeri . Tra questi numeri particolari, i numeri primi sono probabilmente i più importanti.

numeri primi

È il caso dei cosiddetti numeri primi . Questi sono i numeri naturali che hanno solo due divisori positivi distinti, cioè 1 e se stessi. I primi dieci numeri primi sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. L'intero 1 non è primo perché non ha due divisori positivi distinti, ma uno solo, cioè se stesso. C'è un'infinità di numeri primi. Completando una griglia di dimensione 10 × 10 con i primi 100 interi naturali diversi da zero, e cancellando quelli non primi, si ottengono i numeri primi appartenenti a {1,…, 100} mediante un processo detto crivello di Eratostene , dal nome dello studioso greco che lo inventò .

Numeri pari e dispari

I numeri naturali possono essere suddivisi in due categorie: pari e dispari .

Un intero pari è un multiplo di 2 e può quindi essere scritto con . Un numero dispari non è un multiplo di 2 e può essere scritto con . non{\ stile di visualizzazione n}non=2K{\ stile di visualizzazione n = 2 \, k}K∈NON{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}non{\ stile di visualizzazione n}non=2K+1{\ stile di visualizzazione n = 2 \, k + 1}K∈NON{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}

Mostriamo che ogni intero è pari o dispari, e questo per un unico  : denotiamo . K{\ stile di visualizzazione k}∀non∈NON∃!K∈NON(non=2K∨non=2K+1){\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ esiste! k \ in \ mathbb {N} \ quad \ left (n = 2 \, k \ lor n = 2 \, k + 1 \ right) }

I primi sei interi pari sono 0, 2, 4, 6, 8 e 10. I primi sei interi dispari sono 1, 3, 5, 7, 9 e 11.

Note e riferimenti

1. Dizionario Enciclopedico Quillet , vol. d.C., pag.  117.
2. Hervé Lehning, Tutta la matematica del mondo , Paris, Flammarion,2017, 446  pag. ( ISBN  978-2-08-135445-6 , avviso BnF n o  FRBNF45340842 ) , p.  135.
3. Pascal Mueller-Jourdan , Un'iniziazione alla filosofia della tarda antichità: lezioni da Pseudo-Elias , Fribourg, Éditions du Cerf ,2007, 143  pag. ( ISBN  978-2-204-08571-7 , avviso BnF n o  FRBNF41210863 , leggi online ) , p.  73.

Vedi anche

Articoli Correlati

• Aritmetica degli intervalli
• Aritmetica del computer
• aritmetica di Peano
• Aritmetica satura
• Associatività
• commutatività
• distributività
• Ordine delle operazioni

Bibliografia

Matematica

• Daniel Perrin , “  Corso numero 6: Aritmetica e crittografia  ” , sul Dipartimento di Matematica d'Orsay ,2010
• Jean-Pierre Serre , Corso di aritmetica ,1970[ dettaglio delle edizioni ]

Filosofia

• Gottlob Frege , I fondamenti dell'aritmetica , 1884
• Richard Dedekind , Was sind und was sollen die Zahlen? , 1888
• Edmund Husserl , Filosofia dell'aritmetica  (en) , 1891