Spazio metrico

In matematica e più in particolare in topologia , uno spazio metrico è un insieme all'interno del quale è definita una nozione di distanza tra gli elementi dell'insieme. Gli elementi saranno, in generale, chiamati punti.

Qualsiasi spazio metrico è canonicamente dotato di una topologia . Gli spazi metrizzabili sono gli spazi topologici così ottenuti.

L'esempio che più si adatta alla nostra esperienza intuitiva dello spazio è lo spazio euclideo tridimensionale. La metrica euclidea di questo spazio definisce la distanza tra due punti come la lunghezza del segmento che li collega.

La classe di isometria di uno spazio metrico (cioè l'insieme di tutti gli spazi della stessa struttura metrica) è molto più piccola della sua classe di omeomorfia . Ad esempio, un quadrato, un triangolo, un cerchio e qualsiasi curva di Jordan sono omeomorfi, tuttavia non sono isometrici. Quindi una struttura metrica codifica molte più informazioni sulla forma geometrica degli oggetti rispetto a una semplice struttura topologica; il che non sorprende, perché la nozione di distanza tra due punti è centrale per la geometria normale.

Il concetto di spazio metrico fu formulato per la prima volta dal matematico francese René Maurice Fréchet nella sua tesi difesa nel 1906.

Definizione

Definizione (spazio metrico) - Uno spazio metrico è una coppia in cui è un insieme non vuoto ed è una distanza su , ovvero un'applicazione che soddisfa le tre proprietà seguenti. $(E, d)$ $E$ $d$ $E$ ${\ displaystyle d: E \ times E \ rightarrow \ mathbb {R} _ {+}}$

Simmetria: . ${\ displaystyle \ forall x, y \ in E, \, d (x, y) = d (y, x)}$
Separazione: . ${\ displaystyle \ forall x, y \ in E, \, d (x, y) = 0 \ Leftrightarrow x = y}$
Disuguaglianza triangolare . ${\ displaystyle \ forall x, y, z \ in E, \, d (x, y) \ leq d (x, z) + d (z, y)}$

Per semplicità, uno spazio metrico sarà a volte indicato solo dall'insieme e non dalla coppia quando non c'è ambiguità sulla distanza sottostante . $E$ $(E, d)$ $d$

Topologia di uno spazio metrico

Palla e sfera

Definizione (sfera e sfera) - Sia uno spazio metrico, e . Definiamo la sfera aperta e chiusa , centrata e con raggio come segue. $(E, d)$ $maggiore$ ${\ displaystyle r \ in \ left] 0, + \ infty \ right [}$ $a$ $r$

Palla aperta: . ${\ displaystyle B (a, r): = \ {x \ in E \, | \, d (a, x) <r \}}$
Palla chiusa: . ${\ displaystyle B_ {f} (a, r): = \ {x \ in E \, | \, d (a, x) \ leq r \}}$

Definiamo anche la sfera centrata in e con raggio come segue. $a$ $r$

Sfera . ${\ displaystyle S (a, r): = B_ {f} (a, r) \ setminus B (a, x) = \ {x \ in E \, | \, d (a, x) = r \} }$

Notiamo che una palla, aperta o chiusa, non è mai vuota perché contiene sempre il suo centro . D'altra parte, una sfera può essere vuota. $a$

A volte è conveniente definire la nozione di palla smussata (aperta o chiusa): questa è la palla, definita come precedentemente, privata del suo centro. Ad esempio la sfera aperta smussata di raggio r e centro a designa l'insieme:

${\ displaystyle B (a, r) \ setminus \ {a \}}$ .

topologia

Sia uno spazio metrico. Definiamo l'insieme composto da tutte le (eventuali) unioni possibili di palline aperte, più precisamente: $(E, d)$ ${\ matematica {T}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {T}}: = \ {\ cup _ {i \ in I} B (a_ {i}, r_ {i}) \, | \, I {\ text {qualsiasi set e}} \ forall i \ in I, \, a_ {i} \ in E, \, r_ {i}> 0 \}}$

dove si considera che un'unione vuota (quando ) vale l'insieme vuoto . ${\ displaystyle I = \ varnothing}$ $\varnothing$

Proposta / definizione (di una topologia spazio metrico) - Il set è una topologia sulla chiamata topologia generata dalla distanza . Significa che ${\ matematica {T}}$ $E$ $d$

L'insieme vuoto così come l'intero insieme appartengono a . $\varnothing$ $E$ ${\ matematica {T}}$
L'insieme è stabile da qualsiasi unione. ${\ matematica {T}}$
L'insieme è stabile per intersezione finita. ${\ matematica {T}}$

Definizione (aperto, chiuso e di quartiere) - Usiamo il seguente vocabolario.

Gli elementi di sono chiamati, quelli aperti di . ${\ matematica {T}}$ $E$
I cui sottoinsiemi sono scritti come il complemento di un aperto, d'altra parte, sono chiamati chiusi di . $E$ $E$
Si dice che un insieme è un intorno di se esiste un aperto tale che . ${\ displaystyle V \ sottoinsieme E}$ $x \ in Mi$ ${\ displaystyle U \ in {\ mathcal {T}}}$ ${\ displaystyle x \ in U \ sottoinsieme V}$

Le nozioni di aperto, chiuso e intorno sono infatti nozioni attribuite a spazi topologici , più generali, e non sono specifiche di spazi metrici.

Prime proprietà

Qualsiasi palla aperta è aperta.
Qualsiasi palla chiusa è chiusa.
Ogni sfera è chiusa.
Una parte A di E è un intorno di un punto a se e solo se A contiene una pallina aperta di centro a .
Le sfere aperte centrate in un punto a costituiscono una base dei dintorni di a . Cioè, ogni intorno di a contiene una pallina aperta con centro a .
Tutte le palle aperte costituiscono un open base di E . Vale a dire che ogni open può essere scritto come un'unione (qualsiasi) di palle aperte.

Convergenza di suite

Definizione (convergenza, valore di adesione, successione di Cauchy) - Sia una successione di uno spazio metrico e . ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $(E, d)$ $x \ in Mi$

Diciamo che converge a , o che è il limite di , se ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ $X$ $X$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ esiste n_ {0} \ geq 0, \, \ forall n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Diciamo che è un valore di adesione di si $X$ ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ forall n_ {0} \ geq 0, \, \ esiste n \ geq n_ {0}, \, d (x_ {n}, x) \ leq \ varepsilon}

Diciamo che è una sequenza di Cauchy se ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n \ geq 0}}$

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \, \ esiste n_ {0} \ geq 0, \, \ forall p, q \ geq n_ {0}, \, d (x_ {p}, x_ {q}) \ leq \ varepsilon}

Vengono verificate le seguenti proprietà:

Una successione convergente ha un unico valore di adesione che è il suo limite.
Una successione di Cauchy converge se e solo se ha un valore di adesione.

Adesione di una palla aperta

L' adesione della sfera aperta di raggio r e centro a , nota , è, per definizione, la più piccola chiusa contenente la sfera aperta . Lo abbiamo sempre visto che la palla chiusa contiene la palla aperta ed è chiusa. D'altra parte, è possibile che questa inclusione sia rigorosa. Ad esempio se consideriamo la retta reale dotata della distanza allora , e . ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r)}$ ${\ stile di visualizzazione B (a, r)}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (a, r) \ sottoinsieme B_ {f} (a, r)}$ ${\ displaystyle d (x, y): = \ min \ {| xy |, 1 \}}$ ${\ displaystyle B (0,1) = \ sinistra] -1,1 \ destra [}$ ${\ displaystyle {\ overline {B}} (0,1) = \ sinistra [-1,1 \ destra]}$ ${\ displaystyle B_ {f} (0,1) = \ mathbb {R}}$

Osservazioni

Per ogni parte non vuota A di E , la mappa che ad ogni punto x di E associa la distanza da x ad A (cioè l' inf delle distanze da x a tutti i punti di A ) è continua perché 1- lipschitziana . La x in cui svanisce sono i membri che puntano ad A .
- Qualsiasi spazio topologico metrizzabile è di conseguenza non solo separato ma perfettamente normale - quindi normale - vale a dire che tutti i singleton sono chiusi e che ogni F chiuso è il luogo di cancellazione di una funzione continua: l'applicazione x ↦ d ( x , F ).
In particolare, per ogni elemento a di E , l'applicazione x ↦ d ( x , a ) è 1-Lipschitziana. Deduciamo che:
- qualsiasi palla chiusa B f ( a , r ) è chiusa per la topologia associata alla distanza (come immagine reciproca , da questa mappa, del chiuso [0, r ]). L' adesione B ( a , r ) di B ( a , r ) è quindi compresa in B f ( a , r ), ma talvolta in senso stretto: si vedano gli articoli " Palla (matematica) " e " Distanza ultrametrica ".
- la mappa d è 2-Lipschitziana , sullo spazio prodotto E × E dotato della distanza d $\infty$ definita da d $\infty$ (( x 1 , x 2 ), ( y 1 , y 2 )) = max ( d ( x 1 , y 1 ), d ( x 2 , y 2 )).
In qualsiasi parte A di E , la topologia indotta coincide con quella definita dalla restrizione della distanza. Infatti, entrambi hanno come base dei dintorni di un punto x di A l'intersezione con A palline aperte di centro x .
Uno spazio metrico si dice pulito se tutte le sue sfere chiuse sono compatte . Qualsiasi spazio metrico proprio è localmente compatto ma il contrario è falso (si pensi alla distanza discreta su un insieme infinito).

Esempi

Una norma N su uno spazio vettoriale reale o complesso induce naturalmente una distanza d ( x , y ) = N ( x - y ).
Varie distanze usuali su ℝ n sono dedotte da una norma, così, ad esempio:
- (per n = 1) la distanza usuale sull'insieme dei numeri reali è quella associata al valore assoluto ;
- (per n = 2) la distanza da Manhattan sull'aereo ℝ 2 : d ( a , b ) = | x b - x a | + | y b - y a |. È la distanza indotta dalla norma 1 ;
- (per n = 2) la distanza negli scacchi permette di conoscere il numero minimo di mosse nel gioco degli scacchi per andare con il re da un quadrato a = ( x a , y a ) a un quadrato b = ( x b , y b ) ed è definita da: d ( a , b ) = max (| x b - x a |, | y b - y a |) ;
Il modulo della differenza tra due numeri complessi è una distanza.
La distanza banale (o anche distanza discreta o metrica discreta) è definita su qualsiasi insieme da: d ( x , y ) = 1 se x y e d ( x , x ) = 0. La topologia associata è la topologia discreta .
La distanza di Hamming è utilizzata nella teoria dei codici correttivi .
Gli spazi topologici e] 0, 1 [ sono omeomorfi ma, provvisti della consueta distanza, non sono isomorfi come spazi metrici ; per esempio, è completo ma] 0, 1 [non lo è.
Se dotiamo + della distanza d ( x , y ) = |e x -e y |, troviamo la solita topologia su ℝ + ma ora tutte le funzioni polinomiali sono uniformemente continue .

Prodotto di spazi metrici

Qualsiasi prodotto finito o numerabile di spazi metrici può essere provvisto di una distanza che induce la struttura del prodotto uniforme e a fortiori la topologia del prodotto : per questo, se gli ( E k , d k ) ( k ∈ℕ) sono spazi metrici , possiamo ad esempio fornire a E 1 ×… × E n la distanza d N definita da

d_ {N} {\ Grande (} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}), (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) {\ Grande)} = N {\ Grande (} d_ {1} (x_ {1}, y_ {1}), \ ldots, d_ {n} (x_ {n}, y_ {n}) {\ grande)},

dove N è uno standard ℓ p arbitrario su ℝ n (o qualsiasi altro standard che cresce su (ℝ + ) n per l'ordine del prodotto ) e fornendo E = Π k ∈ℕ E k della distanza d definita da

d (x, y) = \ sup _ {k \ in \ mathbb {N}} {\ frac {d_ {k} (x_ {k}, y_ {k})} {2 ^ {k}}},

dove ogni distanza su E k è prima sostituita se necessario da una distanza topologicamente equivalente d k aumentata di una costante indipendente da k . Si verifica facilmente che d N e d sono proprio distanze sugli insiemi corrispondenti e che le topologie che definiscono su questi insiemi coincidono con le topologie di prodotto (i calcoli mostrano addirittura che non solo le due topologie coincidono, ma anche le due strutture uniformi da cui provengono, a condizione di aver scelto, nella preventiva sostituzione del d k , distanze equivalenti uniformemente e non solo topologicamente).

Se ogni d k è la distanza discreta , questa scelta di d dà: se x ≠ y , d ( x , y ) = 2 - k dove k è il più piccolo n tale che x n ≠ y n . Esempi sono lo spazio di Baire e gli anelli topologici delle serie formali .

D'altra parte, un prodotto non numerabile di spazi topologici non grossolani non è mai metrizzabile , e nemmeno sequenziale .

Equivalenza degli spazi metrici

Confrontando due spazi metrici è possibile distinguere diversi gradi di equivalenza . Per preservare almeno la struttura topologica indotta dalla metrica, è necessaria una funzione continua tra le due.

Due spazi metrici ( M 1 , d 1 ) e ( M 2 , d 2 ) si dicono:

topologicamente isomorfo (o omeomorfo ) se esiste un omeomorfismo tra loro;
uniformemente isomorfa se esiste tra loro una biiezione uniformemente continua il cui reciproco è uniformemente continuo.
Lipschitz-equivalenti se c'è una biiezione dall'una all'altra che è Lipschitziana e la sua mappa reciproca.
isometricamente isomorfa se c'è un'isometria biunivoca tra di loro. In questo caso i due spazi sono sostanzialmente identici. Un isometria è una funzione f : M 1 → M 2 che conserva le distanze: d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 1 ( x , y ) per ogni x , y in M 1 . Le isometrie sono necessariamente iniettive .
simile se esiste una costante positiva k > 0 e una biiezione f : M 1 → M 2 , detta similitudine , tale che d 2 ( f ( x ), f ( y )) = k d 1 ( x , y ) per tutti x , y in M 1 .
simile se esiste una biiezione f : M 1 → M 2 , detta similarità, tale che d 2 ( f ( x ), f ( y )) = d 2 ( f ( u ), f ( v )) se e solo se d 1 ( x , y ) = d 1 ( u , v ) per tutti x , y , u , v in M 1 .

Due spazi euclidei simili sono necessariamente omeomorfi, quindi della stessa dimensione e quindi isometrici.

Spazio metrizzabile

Diciamo che uno spazio topologico è metrizzabile se esiste una distanza che ne genera la topologia. Ecco alcuni esempi di spazi metrizzabili:

Esempi di spazi metrizzabili

Insieme	topologia	Distanza che genera la topologia
vero dritto $\ mathbb {R}$	topologia usuale generata da intervalli aperti ${\ displaystyle \ sinistra] a, b \ destra [}$	distanza associata al valore assoluto
piano complesso $\ mathbb {C}$	topologia generata da rettangoli aperti ${\ displaystyle \ {a <{\ mathfrak {Re}} (z) <b \} \ cap \ {c <{\ mathfrak {Im}} (z) <d \}}$	distanza associata al modulo complesso
$\ mathbb {R} ^ {d}$	topologia generata da ciottoli aperti ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {d} \ sinistra] a_ {i}, b_ {i} \ destra [}$	distanza euclidea
linea reale completata ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$	topologia generata da insiemi della forma o dove ${\ displaystyle \ left] a, + \ infty \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [- \ infty, a \ right [}$ $a \ in \ R$	${\ displaystyle d (x, y) = \| \ arctan (x) - \ arctan (y) \|}$ con la convenzione che ${\ displaystyle \ arctan (\ pm \ infty) = \ pm \, \ pi / 2}$
Misure di probabilità su uno spazio misurabile dove è metrizzabile e separabile e dove la tribù Boreliana designa ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} ^ {1} (X)}$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}} (X))}$ $X$ ${\ matematica {B}} (X)$	topologia unica come una base di dintorni di una misura è data dagli insiemi dove sono limitati continui, e $\ mu$ ${\ displaystyle \ {\ nu \ in {\ mathcal {M}} ^ {1} (X) \, \| \, \ forall 1 \ leq i \ leq n, \| \ mu (f_ {i}) - \ nu (f_ {i}) \| <\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle f_ {1}, \ punti, f_ {n}}$ $\ varepsilon> 0$ $n \ geq 1$	Distanza Lévy-Prokhorov
Spazio vettoriale dotato di una famiglia numerabile di seminorme di separazione (ovvero implica che ) $E$ ${\ displaystyle (p_ {n}) _ {n \ geq 0}}$ ${\ displaystyle p_ {n} (x) = 0 ~ \ forall n}$ $x = 0$	topologia unica tale che una base di dintorni di un vettore è data dagli insiemi dove è finito e $X$ ${\ displaystyle \ {y \ in E \, \| \, \ forall i \ in J, \, p_ {i} (xy) <\ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle J \ subset \ mathbb {N}}$ $\ varepsilon> 0$	${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {n \ geq 0} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ min (p_ {n} (xy), 1)}$

Esistono condizioni sufficienti ed equivalenti affinché uno spazio topologico sia metrizzabile:

Il primo veramente utile è dovuto a Urysohn ; lei dice che ogni spazio regolare di base numerabile è metrizzabile (questa forma della condizione fu infatti dimostrata da Tychonov nel 1926. Quello che Urysohn trovò, in un articolo pubblicato nel 1925, era che ogni spazio normale di base numerabile è metrizzabile). Ad esempio, qualsiasi varietà di base numerabile è metrizzabile. Anche un compatto è metrizzabile se e solo se ha una base numerabile.
Questa condizione sufficiente di Urysohn (regolarità + base numerabile) è stata trasformata in una condizione necessaria e sufficiente (regolarità + base numerabile localmente finita ) da Bing, Nagata e Smirnov .
Smirnov ha anche dimostrato che uno spazio è metrizzabile se e solo se è paracompatto e localmente metrizzabile (uno spazio è detto localmente metrizzabile se ogni punto ha un intorno metrizzabile). In particolare, una varietà è metrizzabile se e solo se è paracompatta.

Note e riferimenti

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(in) CC Heyde e E Seneta, Statistici dei secoli , Springer,2001( ISBN 978-0-387-95329-8 , leggi in linea ) , p. 331
Maurice Fréchet, “ Su alcuni punti del calcolo funzionale ”, Tesi, Parigi. Rendiconti Circolo Mat. Palermo , vol. 22,1906, pag. 1-74 ( leggi in linea )
Jacques Dixmier , Topologia generale , PUF , p. 107.
Georges Skandalis , Topologia e analisi 3 ° anno: lezioni ed esercizi con soluzioni , vol. 3, Parigi, Dunod ,2004, pag. 4.
Per maggiori dettagli, segui ad esempio il link in fondo alla pagina a Wikiversità .
Henri Bourlès , Precis of approfondite e fondamentali matematiche , vol. 2: Estensioni di campi, topologia e spazi vettoriali topologici, spazi funzionali, fasci , Londra, ISTE,2018, 316 pag. ( ISBN 978-1-78405-416-8 , leggi in linea ) , p. 101-102.
Pierre-Loïc Méliot, " Convergenza delle misure, processo di Poisson e processo di Lévy " ,2016, pag. 12-14
Stéphane Mischler, “ Corso di Analisi Funzionale e PDE all'Ecole Normale Supérieure. Capitolo 1 - Semi-standard e introduzione a evtlcs ” ,2007

Vedi anche