Insieme convesso

Un oggetto geometrico si dice convesso quando, ogni volta che da esso vengono prelevati due punti A e B , il segmento [A, B] che li unisce è interamente contenuto in esso. Quindi un cubo solido, un disco o una palla sono convessi, ma un oggetto cavo o irregolare non lo è.

Definizione

Supponiamo di lavoro in un contesto in cui il segmento [ x , y ] che collega due punti x ed y ha un significato (ad esempio in uno spazio affine a - in particolare in uno spazio affine a - o in uno spazio iperbolico ) .

Definizione  -  Una serie C si dice che sia convessa quando, per tutti x ed y di C , il segmento [ x , y ] sono completamente contenuti in C , vale a dire:

.

A meno che non sia esplicitamente specificato, tutto ciò che segue riguarda l'unico contesto di convessi in spazi affini (o vettoriali) su un campo ordinato .

Chiameremo dimensione di un convesso non vuoto C la dimensione del guscio affine da C .

Esempi

Proprietà elementari e strumenti fondamentali

Intersezioni di convesso

L'intersezione di due convessi (e anche di qualsiasi famiglia di convessi) è essa stessa convessa (e questo molto in generale, poiché possiamo definire convessità).

Stabilità per baricentri con coefficienti positivi

La definizione di resti convessità, dopo la scelta di due punti x ed y , sulla considerazione dei punti del segmento [ x , y ] , in altre parole dei baricentri con coefficienti positivi di questi due punti. Usando il teorema di associatività del baricentro, possiamo estendere ai baricentri con coefficienti positivi di qualsiasi numero di punti:

Proposta  -  Un sottoinsieme C di uno spazio affine E è convessa (se e) solo se ogni combinazione convessa di una famiglia finito di punti C stesso è in C .

Busta convessa

Data una qualsiasi parte A dello spazio ambiente E (spazio affine o contesto più generale), esiste almeno un sottoinsieme convesso di E contenente A , vale a dire E stesso; Questo permette di considerare l' intersezione di tutti i sottoinsiemi convessi E contenenti A . Lo chiamiamo inviluppo convesso di A e lo denotiamo co ( A ) o Conv ( A ) .

Verifichiamo immediatamente che co ( A ) è quindi il più piccolo sottoinsieme convesso di E contenente A , nel senso di inclusione su P ( E ) . Se x ed y sono due punti di E , co ({ x , y }) è il segmento [ x , y ] .

Il teorema della proiezione

A condizione di lavorare in uno spazio euclideo (o più in generale in uno spazio di Hilbert ), abbiamo un notevole risultato: dato un chiuso convesso non vuoto, per ogni punto x in spazio, esiste uno ed un solo punto p ( x ) della convesso a una distanza minima di x . Questo risultato è accompagnato da varie informazioni aggiuntive, in particolare il carattere ottuso dell'angolo per qualsiasi punto m del convesso, o il carattere 1-Lipschitziano della mappa p .

Separazione di convessi e struttura di confine

Una tecnica utile è quella di "separare" due convessi. Consiste, dati due convessi senza punto comune dello stesso spazio, a tagliare in due questo spazio da un iperpiano (quindi un piano, se la dimensione è 3) che lasci le convesse ai lati di questo muro di separazione. Molte sono le dimostrazioni della possibilità di una tale divisione, che consentono di ottenere affermazioni più o meno generali; alcuni usano il teorema di Hahn-Banach , uno strumento di analisi funzionale particolarmente rilevante per lo studio in dimensione infinita.

Questo metodo permette in particolare di giustificare l'esistenza in ogni punto del bordo di un convesso di un “iperpiano di appoggio”: un iperpiano che passa per questo punto e lascia tutto convesso in uno dei due semispazi che delimita. Questo risultato è a sua volta fondamentale per studiare più in dettaglio la struttura del contorno dei convessi (divisioni in facce, bordi, ecc.) E in particolare dei poliedri convessi . Si è così portati a distinguere varie categorie di punti (punti estremi, vertici) che giocheranno un ruolo centrale nei problemi di ottimizzazione sul convesso, ad esempio nell'ottimizzazione lineare .

Funzioni convesse associate a un insieme convesso

Lo studio degli insiemi convessi può beneficiare dei risultati dell'analisi relativa alle funzioni convesse . Molte di queste caratteristiche possono infatti essere associate a una C convessa non vuota .

In questa sezione assumiamo che lo spazio ambientale sia dotato di una topologia compatibile con la sua struttura geometrica (questo è sempre il caso degli spazi a dimensione finita; se siamo in uno spazio vettoriale di dimensione infinita ciò equivale a richiedere che sia uno spazio vettoriale topologico ).

Grip, interno, bordo

L' adesione e gli operatori interni preservano la convessità. Inoltre, quando il convesso considerato non è un interno vuoto (e possiamo facilmente tornare a questo caso considerandolo come parte del suo involucro affine e non dello spazio globale), il convesso, il suo interno e la sua adesione hanno tutti e tre la stesso confine.

Possiamo mostrare molto facilmente che un convesso compatto è l'inviluppo convesso del suo bordo (eccetto il caso degenere di dimensione 0).

Connettività

Una parte convessa di uno spazio affine reale (o complesso) è collegata da archi , perché qualsiasi segmento che collega due punti costituisce un percorso tra questi due punti. In particolare, è quindi connesso .

Tuttavia, una parte convessa di qualsiasi spazio non è necessariamente collegata. Un controesempio è dato dall'intervallo chiuso di numeri razionali compreso tra 0 e 1: è un insieme convesso di ℚ che è totalmente discontinuo .

Involucro convesso di un assieme

Se A è una parte qualsiasi dello spazio, indichiamo con inviluppo convesso-chiuso di A , e indichiamo con co ( A ) , l'adesione co ( A ) del suo inviluppo convesso. Facilmente che la casella co ( A ) è l'intersezione di convessa chiuso contenente A ( "piccolo" insieme convesso chiuso contenente A ), e A ha lo stesso inviluppo convesso-chiuso che co ( A ) e A .

La forma geometrica del teorema di Hahn-Banach permette di mostrare che in uno spazio localmente convesso , co ( A ) è l'intersezione dei semispazi chiusi contenenti A , il che dimostra che ogni convesso chiuso è debolmente chiuso.

In un Banach - o più in generale in uno spazio Fréchet - l'involucro convesso chiuso di un compatto è compatto.

Descrizione fino all'omeomorfismo in dimensione finita

Per r ≥ 0 , indichiamo con B r una palla chiusa con centro 0 e raggio diverso da zero in uno spazio vettoriale separato di dimensione finita r (per qualsiasi norma - tutti sono equivalenti ).

I compatti convessi hanno una struttura semplice:

Teorema  -  Qualsiasi convesso compatto non vuoto di dimensione d è omeomorfo a B d .

Dimostrazione

Ci collochiamo nel sottospazio affine F generato da C , provvisto della sua topologia canonica . In questo spazio, l'interno di C non è vuoto . Per traslazione possiamo quindi supporre che C contenga una pallina B d , di raggio r > 0 . Indichiamo con S la sfera circostante . Per ogni vettore u di S , l'intersezione di C con la semiretta ℝ + u è un convesso compatto di ℝ + u contenente 0 , cioè un segmento della forma [0, g ( u )] . Inoltre, l'estremità g ( u ) appartiene al bordo ∂ C (quindi ║ g ( u ) ║ ≥ r ), mentre qualsiasi altro punto del segmento è interno a C (perché è interno all'inviluppo convesso di B d ∪ { g ( u )} ).

Più in generale, le convesse chiuse di una data dimensione finita d sono omeomorfe all'una o all'altra di un numero limitato ( d + 2 ) di modelli semplici:

Teorema  -  Sia d ≥ 1 e sia C un convesso non vuoto di dimensione d , chiuso nel suo spazio ambiente. Allora :

In tutti i casi, l'omeomorfismo invia la frontiera relativa di C alla frontiera relativa del modello.

Per leggere questo teorema su un esempio istruttivo, quello di dimensione 3, i convessi chiusi di dimensione 3 sono omeomorfi a uno dei seguenti cinque modelli: ℝ 3 intero, la regione delimitata da due piani paralleli, un cilindro, una palla in ℝ 3 o mezzo spazio.

I relativi interni di tutti i modelli elencati nel teorema precedente sono omeomorfi tra loro, cioè omeomorfi a ℝ d . L'omeomorfismo dato dal teorema precedente scambiando interni relativi, possiamo quindi concludere che tutte le aperture convesse di dimensione d sono omeomorfiche tra loro (che, in realtà, era uno stadio della dimostrazione). Possiamo effettivamente migliorare, vale a dire un diffeomorfismo .

Teorema  -  Sia d ≥ 0 e sia C un convesso non vuoto di dimensione d , aperto nel suo spazio ambiente. Allora C è diffeomorfo a ℝ d .

Non dovremmo sperare in una classificazione così semplice di convesso senza condizione topologica: consideriamo che qualsiasi parte di ℝ 2 contenente il disco unitario aperto e inclusa nel disco unitario chiuso è convessa.

Insiemi convessi e geometria combinatoria

Gli insiemi convessi giocano un ruolo centrale nella geometria combinatoria , se non altro perché, di fronte a un numero finito di punti in uno spazio affine, l'operazione geometrica più ovvia che può essere applicata ad essi è esaminare il loro inviluppo convesso: quello che viene chiamato politopo .

L'oggetto di base della geometria combinatoria convessa è il politopo , che può essere definito come l' inviluppo convesso di un numero finito di punti.

Per citare qui solo l'esempio indubbiamente più famoso di un risultato di geometria combinatoria, nella dimensione 3, i numeri di vertici, bordi e facce di un politopo sono collegati dalla formula di Eulero (vedi questo articolo in oggetto Caratteristica di Eulero ):

I teoremi di Radon, Helly e Carathéodory

Considera un insieme di d + 2 punti in uno spazio affine di dimensione d .

Il teorema di Radon afferma che:

Teorema ( Radon )  -  A ammette una partizione in due parti A 1 , A 2 i cui inviluppi convessi Conv ( A 1 ) e Conv ( A 2 ) si incontrano.

Per enunciare parallelamente i teoremi di Helly e Carathéodory, introdurremo una notazione: per ogni indice i variabile tra 1 e d + 2 , denotiamol'inviluppo convesso dei punti di A diversi dal punto a i . Nella dimensione 2, ogni Δ i sarebbe un triangolo (e ce ne sarebbero quattro); nella dimensione 3 avremmo a che fare con una raccolta di cinque tetraedri e così via.

Le seguenti due affermazioni sono casi speciali delle affermazioni più comuni dei teoremi di Helly e Carathéodory, ma che contengono essenzialmente tutte le informazioni: si ricostituiscono facilmente le affermazioni generali a partire dalle versioni fornite di seguito.

Teorema ( Helly )  -  Esiste un punto comune ai simplessi d + 2 Δ i .

Teorema ( Carathéodory )  -  La d + 2 Simplessi Æ i copro tutto l'inviluppo convesso politopo di A .

Questi teoremi sono strettamente correlati: la dimostrazione più comune di Helly è basata sul Radon, mentre si prova facilmente Carathéodory indipendentemente, ma è anche possibile, ad esempio, dedurre Helly da Carathéodory o viceversa.

Innumerevoli varianti le specificano o le generalizzano.

Note e riferimenti

  1. Jean Dieudonné , Algebra lineare e geometria elementare , Hermann ,1964, p.  50.
  2. (in) HG Eggleston Convexity , Cambridge University Press , coll.  "Tracts in Mathematics and Mathematical Physics" ( n °  47),1969( 1 st  ed. 1958) ( leggi in linea ), ristampa con correzioni, Th. 1, p.  8 . (Il risultato è indicato in ℝ n in questa fonte, ma la dimostrazione ovviamente si adatta a una situazione più generale.)
  3. Eggleston 1969 , p.  4-5. (Il risultato è indicato in ℝ n in questa fonte, ma la dimostrazione ovviamente si adatta a una situazione più generale.)
  4. (a) Charalambos D. Aliprantis e Kim C. Border Infinite Analisi dimensionale: di un autostoppista guida , Springer ,2007( leggi in linea ) , p.  185-186.
  5. (in) Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , vol.  3, Springer ,2013, 950  p. ( ISBN  978-1-4899-3793-3 , leggi online ) , p.  679.
  6. ( entra  ) Glen E. Bredon ( entra ) , Topology and Geometry [ dettagli di pubblicazione ], p.  56-57 , anteprima in Google Libri .
  7. Per la generalizzazione, vedere (en) VL Klee , "  Alcune proprietà topologiche di insiemi convessi  " , Trans. Amaro. Matematica. Soc. , vol.  78,1955, p.  30-45 ( leggi online ), Th. 5.8.
  8. L'intera sottosezione è tratta da Marcel Berger , Géométrie [ dettaglio delle edizioni ], sezione II-3, volume 3, p.  29-38 nell'edizione 1978.

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