Disuguaglianza di Hölder

In analisi , la disuguaglianza di Hölder , così chiamata in onore di Otto Hölder , è una disuguaglianza fondamentale relativa agli spazi delle funzioni $L p$ , come gli spazi delle sequenze $ℓ p$ . È una generalizzazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz . Esiste una formulazione di disuguaglianza utilizzata nella matematica discreta.

stati

Essere

S uno spazio misurato ,
$p , q > 0$ (il valore $+ \infty$ è consentito) verificando la "relazione di coniugazione" ${\ frac 1p} + {\ frac 1q} = 1,$
$f \in L p$ ( S ) $eg \in L q$ ( S ).

Quindi, il prodotto $fg$ appartiene a $L 1$ ( S ) e la sua norma è naturalmente aumentata:

\ | fg \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {q}.

Più in generale, per $0 < p , q \leq + \infty$ e $r$ definita da $1 / R = 1 / p + 1 / q$ , se $f \in L p$ ( S ) e $g \in L q$ ( S ) quindi $fg \in L r$ e $║fg║ r \leq ║f║ p ║g║ q$ .

Inoltre, quando $p$ e $q$ sono finite, v'è uguaglianza se e solo se $| f | p$ e $| g | q$ sono collineari quasi ovunque (pp) , cioè se esistono $α$ e $β$ non contemporaneamente zero tali che $α | f | p = β | g | q$ pagg

Dimostrazione

Per dimostrare questo teorema, possiamo usare un corollario della disuguaglianza di Jensen o della disuguaglianza di Young .

Esempi

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz per gli spazi di Hilbert è il caso speciale in cui $p = q = 2$ nella disuguaglianza di Hölder.

Dimensione finita

Quando applichiamo la disuguaglianza di Hölder all'insieme S = {1,…, n } dotato della misura di enumerazione , otteniamo, per $1 \leq p , q \leq + \infty$ con $1 / p + 1 / q$ = 1 e per tutti i vettori $x$ ed $y$ di ℝ n (o di ℂ n ), la disuguaglianza

\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} | x_ {k} \ y_ {k} | \ leq \ left (\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p} \ destra) ^ {{1 / p}} \ sinistra (\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} | y_ {k} | ^ {q} \ destra) ^ {{1 / q}}.

Questa disuguaglianza può anche essere dimostrata esprimendo le condizioni di ottimalità di un problema di minimizzazione di una funzione lineare sulla sfera unitaria per la norma $ℓ p$ : vedere la sezione Disuguaglianze di Hölder .

Suites

I generalizza disuguaglianza precedenti (prendendo, questa volta, S = ℕ) a sequenze (o di serie a seconda del punto di vista): se $( x k )$ e $( y k )$ sono rispettivamente negli spazi di sequenze $ℓ p$ e $ℓ q$ , quindi la sequenza "da termine a termine prodotto" $( x k y k )$ è in $ℓ 1$ .

Caso estremo

Siano $1 \leq p , q \leq + \infty$ con $1 / p + 1 / q$ = 1, S uno spazio misurato, di tribù Σ e misuri μ, $ef$ ∈ $L p$ ( S ).

Se $p <+ \infty$ , allora $\ | f \ | _ {p} = \ max \ sinistra \ {\ sinistra | \ int fg ~ {\ mathrm d} \ mu \ right | ~; ~ g \ in {\ mathrm L} ^ {q} (S ), ~ \ | g \ | _ {q} \ leq 1 \ right \},$
Se $p = + \infty$ e se un qualsiasi elemento A della tribù Σ tale che μ ( A ) = $+ \infty$ contiene un elemento B di Σ tale che 0 <μ ( B ) < $+ \infty$ (che è vero non appena μ è σ - finito ), quindi $\ | f \ | _ {\ infty} = \ sup \ sinistra \ {\ sinistra | \ int fg ~ {\ mathrm d} \ mu \ right | ~; ~ g \ in {\ mathrm L} ^ {1} ( S), ~ \ | g \ | _ {1} \ leq 1 \ right \}.$

Dimostrazione

Secondo la disuguaglianza di Hölder, in entrambi i casi, il limite superiore dell'insieme di destra è limitato da $║ f ║ p$ .

Viceversa, sottraiamo questo limite superiore dalla norma

p

f

, che può essere assunta essere diversa da zero. Per omogeneità , supponiamo anche questo

\ | f \ | _ {p} = 1.

Se $p <+ \infty$ , il limite è anche un massimo, cioè si raggiunge: la funzione $g$ definita su S da $g (x) = {\ begin {case} | f (x) | ^ {p} / f (x) & {\ text {si}} f (x) \ neq 0, \\ 0 & {\ text { altrimenti,}} \ end {cases}}$ appartiene a $L q$ dove la sua norma è 1 e abbiamo $\ int fg ~ {\ mathrm d} \ mu = 1 = \ | f \ | _ {p}.$
Se $p = + \infty$ , siano ε ∈] 0, 1 [e A = [| $f$ | > 1 - ε] ∈ Σ, di misura diversa da zero poiché $║$ $f$ $║$ $\infty$ = 1. L'ipotesi addizionale garantisce l'esistenza di un B ∈ Σ, contenuto in A e di misura finita diversa da zero. La funzione $g$ definita su S da $g (x) = {\ begin {cases} {\ frac {| f (x) |} {\ mu (B) f (x)}} & {\ text {si}} x \ in B, \\ 0 & {\ text {altrimenti}} \ end {case}}$ allora appartiene a $L 1$ dove la sua norma è 1 e abbiamo $\ int fg ~ {\ mathrm d} \ mu = \ int _ {B} {\ frac {| f |} {\ mu (B)}} ~ {\ mathrm d} \ mu \ geq 1- \ varepsilon.$ Il limite superiore che stavamo cercando di abbassare è quindi maggiore o uguale a 1 - ε per ogni ε ∈] 0, 1 [, il che dimostra che è effettivamente maggiore o uguale a $║ f ║ \infty$ .

Osservazioni sul caso $p = + \infty$

Anche con l'ipotesi aggiuntiva dell'enunciato, il limite superiore non viene generalmente raggiunto. Ad esempio, se $x$ è la sequenza di $ℓ \infty$ definita da $x k = 1 - 2 - k$ allora, per ogni sequenza $y$ diversa da zero con norma minore o uguale a 1 in $ℓ 1$ , $\ left | \ sum x_ {k} y_ {k} \ right | \ leq \ sum (1-2 ^ {{- k}}) | y_ {k} | <\ sum | y_ {k} | \ leq 1 = \ | x \ | _ {\ infty}.$
Se A ∈ Σ è di misura infinita ma non contiene B ∈ Σ di misura finita diversa da zero (l'esempio più semplice è quello in cui l'unico B ∈ Σ che è strettamente incluso in A è ∅) e se $f$ è la funzione indicativo di A , allora il limite superiore associato è zero, mentre $║ f ║ \infty$ = 1.

Applicazioni

La disuguaglianza di Hölder fornisce immediatamente un'importante relazione tra gli spazi $L p$ associati a una misura finita della massa totale $M$ : $0 <r \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow {\ mathrm L} ^ {r} \ supset {\ mathrm L} ^ {q} {\ text {et}} \ forall g \ in {\ mathrm L} ^ {q}, \ | g \ | _ {r} \ leq M ^ {{{\ frac 1r} - {\ frac 1q}}} \ | g \ | _ {q}.$ (Questa proprietà può anche essere dedotta direttamente dalla disuguaglianza di Jensen .)
Interviene anche come argomento che consente di mostrare la disuguaglianza di Minkowski , che è la disuguaglianza triangolare per la norma di $L p$ se $p$ ≥ 1.
Il caso estremo permette di stabilire che il duale topologico di $L p$ è $L q$ (con $1 / p + 1 / q = 1$ ) se $1 < p <+ \infty$ , e anche se $p$ = 1 quando la misura è σ-finita .

Generalizzazione

La disuguaglianza di Hölder con $1 / p + 1 / q = 1 / r$ si generalizza immediatamente a $n$ funzioni, per induzione:

Siano $0 < r , p 1 ,\dots, p n \leq + \infty$ tali che

\ sum _ {{k = 1}} ^ {n} {\ frac 1 {p_ {k}}} = {\ frac 1r}

e $n$ funzioni $f k$ ∈ $L p k$ ( S ). Allora, il prodotto di $f k$ appartiene a $L r$ ( S ) e

\ left \ | \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} f_ {k} \ right \ | _ {r} \ leq \ prod _ {{k = 1}} ^ {n} \ | f_ { k} \ | _ {{p_ {k}}}.

Inoltre, quando tutti i $p k$ sono finiti, c'è uguaglianza se e solo se $| f k | p k$ sono pp collineari

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " La disuguaglianza di Hölder " ( vedere l'elenco degli autori ) .

Se s <1, ║ ║ s non è una norma in generale, ma non interviene nella dimostrazione.
Cfr. Ad esempio (per il secondo metodo) Bernard Maurey, " Integration and Probability (M43050), corso 15 " , sull'Università di Parigi VII - Diderot ,2010o (per entrambi) questo esercizio corretto su Wikiversità .
Come la misura di enumerazione su un insieme più numerabile o la misura di Lebesgue su ℝ n .
Maurey 2010 .
(en) NL Carothers , A Short Course on Theory Banach Space , CUP ,2004, 184 p. ( ISBN 978-0-521-60372-0 , leggi online ) , p. 120, osserva: “Curiosamente, la proprietà che ogni elemento di $L p *$ raggiunge la sua norma è equivalente al fatto che $L p$ è riflessivo , senza che sia necessario sapere nulla dello spazio duale $L p *$ ! " .

Bibliografia

Haïm Brezis , Analisi funzionale: teoria e applicazioni [ dettaglio delle edizioni ]
Walter Rudin , Analisi reale e complessa [ dettaglio delle edizioni ]