Compattezza (matematica)

In topologia , diciamo di uno spazio che è compatto se è separato e che soddisfa la proprietà di Borel-Lebesgue . La condizione di separazione è talvolta omessa e alcuni risultati rimangono veri, come il teorema del limite generalizzato o il teorema di Tychonov . La compattezza consente di trasferire determinate proprietà dal locale al globale, vale a dire che una vera proprietà in prossimità di ogni punto diventa valida in modo uniforme su tutto il compatto.

Diverse proprietà dei segmenti della retta reale ℝ si generalizzano a spazi compatti, il che conferisce a quest'ultimo un ruolo privilegiato in vari campi della matematica. In particolare, sono utili per provare l'esistenza di estremi per una funzione numerica.

Il nome di questa proprietà rende omaggio ai matematici francesi Émile Borel e Henri Lebesgue , perché il teorema che porta il loro nome stabilisce che ogni segmento di è compatto e, più in generale, che i compatti di ℝ n sono quelli chiusi delimitati .

Un approccio più intuitivo alla compattezza nel caso particolare degli spazi metrici è descritto in dettaglio nell'articolo “  Compattezza sequenziale  ”.

Di proprietà di Borel-Lebesgue

Definizione Prima: Sia E un set e una parte di E . Si dice che una famiglia ( U i ) i ∈ I porzioni E copre A se la riunione ∪ i ∈ I U i contiene A .

Proprietà di Borel-Lebesgue per i segmenti: sia un segmento [ a , b ] della retta reale. Da qualsiasi sovrapposizione aperta di questo segmento, si può estrarre una copertura limitata finita. Cioè, per ogni famiglia ( U i ) i ∈ I di insiemi aperti che copre [ a , b ], esiste un sottoinsieme finito J di I tale che la sottofamiglia ( U i ) i ∈ J copre già [ a , b ].

Per una dimostrazione di questa proprietà vedere il teorema di Borel-Lebesgue , chiamato anche teorema di Heine-Borel.

La proprietà di Borel-Lebesgue è strettamente collegata a una proprietà di sequenze limitate di reali: da qualsiasi sequenza limitata di reali, possiamo estrarre una successione convergente. Il legame tra le due proprietà è spiegato di seguito (nella sezione “Teorema di Bolzano-Weierstrass e compattezza sequenziale” ).

Dall'una o dall'altra di queste proprietà è possibile trarre alcune importanti conseguenze sulle funzioni digitali. In particolare: l'immagine di un segmento da una mappa continua non è solo (secondo il teorema dei valori intermedi ) un intervallo , ma è anche un segmento ( teorema dei limiti ), e la funzione è quindi uniformemente continua ( teorema di Heine ) .

La proprietà Borel-Lebesgue (così come la compattezza sequenziale) può essere formulata come una proprietà intrinseca dello spazio topologico studiato (qui: lo spazio [ a , b ] fornito della sua topologia usuale), indipendentemente dal fatto che - qui o, possibilmente, incluso in uno spazio topologico "più grande" (qui: ℝ) ed è quindi dotato della topologia indotta . In questo senso, la nozione di "parte compatta" (di uno spazio topologico) differisce fondamentalmente da quella, ad esempio, di "  parte chiusa  ".

Assioma di Borel-Lebesgue e definizione generale dei compatti

Uno spazio topologico E si dice quasi compatto se soddisfa l' assioma di Borel-Lebesgue  : da qualsiasi copertura aperta di E , possiamo estrarre una sottocopertura finita. Lo spazio si dice compatto quando è ulteriormente separato nel senso di Hausdorff (T 2 ). Una parte K di E si dice (quasi) compatta se K fornita con la topologia indotta è (quasi) compatta.

Affinché E sia quasi compatto, è sufficiente che qualsiasi sovrapposizione di E mediante aperture di una base fissa abbia una sottocopertura finita.

Dimostrazione

Sia B una base E che verifichi questa ipotesi e ( U i ) una copertura aperta E arbitraria . Nota C tutti aperti O ∈ B incluso in almeno un U i e mostrano che C copre E . Poiché B è una base, ogni U i è un'unione aperta O ∈ B , e anche O ∈ C poiché O ⊂ U i , quindi ogni U i è incluso nell'unione di tutti O ∈ C , in modo che l'incontro E di U i è quindi anche C copre bene E . Per ipotesi B , C ha quindi un limitato sub-copre F . Per ogni O ∈ F , se indichiamo i ( O ) uno degli i per cui O ⊂ U i , la famiglia ( U i ( O ) ) O ∈ F è una sottocopertura finita di ( U i ).

E 'ancora sufficiente che questo è il caso per un prebase ( cfr proprietà del prebases , di Alessandro teorema ).

Passando ai complementi, la proprietà di Borel-Lebesgue è equivalente a: se ( F i ) i ∈ I è una famiglia di chiusi tale che ∩ i ∈ I F i = ∅, allora possiamo estrarre una famiglia finita ( F i ) i ∈ J , con J ⊂ I , tale che ∩ i ∈ J F i = ∅. O ancora, per contrapposizione: se ( F i ) i ∈ I è una famiglia chiusa di cui una qualsiasi sottofamiglia finita ha un'intersezione non vuota, allora ∩ i ∈ I F i è non vuota. Equivalentemente: qualsiasi famiglia non vuota di stabili non vuote chiuse da intersezioni finite ha un'intersezione non vuota.

Uno spazio topologico X è quasi compatto se (e solo se) l'intersezione di qualsiasi catena non vuota di non vuoto chiuso di X è non vuota.

Dimostrazione

NB: Nella terminologia anglosassone, la definizione è leggermente diversa. Salvo diversa indicazione, il compact di lingua inglese è quasi un compact di lingua francese (gli anglofoni specificano "compact Hausdorff" se vogliono la separazione). Pertanto, non tutte le proprietà si applicano generalmente, tranne che nel presupposto che lo spazio sia separato.

Definizione per teoria dei filtri

Uno spazio topologico separato è compatto se e solo se per ogni filtro F su E esiste un filtro più fine di F che converge, in altre parole se converge un qualsiasi ultrafiltro su E , o se qualsiasi sequenza generalizzata ha almeno un valore di d ' adesione , in altre parole una sottosequenza generalizzata convergente. Questa definizione equivalente è usata raramente. È particolarmente adeguato per dimostrare che qualsiasi prodotto compatto è compatto .

In ogni spazio quasi compatto, un filtro che ha un solo punto aderente converge verso questo punto; in uno spazio compatto quindi separato, questa sufficiente condizione di convergenza è ovviamente necessaria.

Esempi

Proprietà

Compatto e chiuso

Dalle due proprietà precedenti si deduce facilmente che in uno spazio separato qualsiasi intersezione di una famiglia di compatti non vuoti è compatta.

In uno spazio quasi compatto, l'intersezione di qualsiasi sequenza decrescente di non vuoto chiuso è non vuota, quindi:

NB: la maggior parte di queste proprietà non si estende al caso non separato.

Controesempi

che rende possibile raffinare il teorema compatto annidato:

Dimostrazione di queste due proprietà

Altre proprietà

Un vero spazio vettoriale normato è di dimensione finita se e solo se i suoi compatti sono i suoi limitati chiusi.

Il prodotto cartesiano dei compatti, fornito con la topologia del prodotto , è compatto.

Più precisamente: qualsiasi prodotto quasi compatto è quasi compatto; questo risultato, noto come teorema di Tykhonov , è equivalente all'assioma della scelta .

Ogni parte discreta e chiusa di un quasi compatto è finita.

Teorema di Kuratowski -Mrówka: Uno spazio separato X è compatto se e solo se per ogni spazio Y , la proiezione p Y  : X × Y → Y è una mappa chiusa .

Più in generale, uno spazio X è quasi compatto se e solo se soddisfa questa proprietà.

Dimostrazione

È facile verificare che B forma la base di una topologia su Y e applicando l'ipotesi in questo spazio topologico Y  : l'immagine p Y chiusa Δ è una Y chiusa . Inoltre, p Y ( ) (che contiene X ) non contiene ∞ (perché X × {∞} è incluso in un'apertura disgiunta di ∆: l'unione di U i × ( Y \ U i )). Ciò dimostra che {∞} è aperto in Y . Deduciamo che X appartiene a E , il che conclude.

Ne consegue che qualsiasi applicazione di un grafico chiuso di qualsiasi spazio in uno spazio quasi compatto è continua.

Dimostrazione

Let f  : A → B con B quasicompact e Gr ( f ) chiuso in A × B , e sia F un chiuso B . Poi f -1 ( F ) è un chiuso A , come immagine di chiusura ( A × F ) ∩Gr ( f ) con l'applicazione è chiusa p A  : A × B → A .

Compattezza e continuità

Teorema di Bolzano-Weierstrass e compattezza sequenziale

In uno spazio compatto, qualsiasi parte infinita ha almeno un punto limite . Più in generale, qualsiasi spazio quasi compatto X è numerabilmente compatto , cioè qualsiasi parte infinita di X ha almeno un punto di accumulo o anche che, in X , qualsiasi sequenza ha almeno un valore di adesione . Il contrario è falso in generale, ma vero se lo spazio è metrizzabile  : quando K è uno spazio metrizzabile (separato automaticamente), il teorema di Bolzano-Weierstrass afferma che K è compatto se e solo se è sequenzialmente compatto , c 'cioè, se, in K , una qualsiasi successione ha una sottosequenza convergente .

Il primo ordinale non numerabile (fornito con la topologia dell'ordine ) e la linea lunga sono compatti sequenzialmente ma non compatti (sono comunque compatti localmente ). Al contrario, lo spazio prodotto [0, 1] ℝ (cioè lo spazio delle mappe di ℝ in [0, 1], dotato della topologia di convergenza semplice ) e il compattato di Stone-Čech di (cioè il spettro dell'algebra ℓ ∞ delle successioni limitate) sono compatti ma non sequenzialmente compatti. Questi quattro spazi sono quindi numerabilmente compatti e non metrizzabili.

Note e riferimenti

  1. Se non si specifica "famiglia non vuota  ", si deve ammettere che in questo contesto, l'intersezione di una famiglia di vuoto di parti di uno spazio X è uguale a X .
  2. (in) Günter Bruns , "  Un lemma è diretto insiemi e catene  " , Archiv der Mathematik , vol.  18, n o  6,1967, p.  561-563 ( leggi in linea ).
  3. Una catena di parti di X è una famiglia di parti di X totalmente ordinate per inclusione.
  4. Bourbaki , TG I.60, Gustave Choquet , Corso di analisi, volume II: Topologia , p.  35e Hervé Queffélec, Topology , Dunod,2007, 3 e  ed. , p.  70.
  5. Per una dimostrazione (usando una generalizzazione del lemma tube ), vedi ad esempio questo esercizio corretto su Wikiversità .
  6. Per una prova, si veda ad esempio Jacques Dixmier , Topologia Generale , PUF , 1981, 4.2.6 e 4.2.7, pag.  53 , ovvero il corso Compattezza: prime proprietà su Wikiversità .
  7. Per una dimostrazione, vedi ad esempio il corso Compattezza: prime proprietà su Wikiversità .
  8. In altre parole: ogni quasi-compatto è numerabilmente compatto .
  9. Casimir Kuratowski, "  Valutazione della classe boreliana o proiettiva di un insieme di punti utilizzando simboli logici  ", Fundamenta Mathematicae , vol.  17, n o  1,1931, p.  249-272 ( leggi in linea ).
  10. (in) S. Mrówka, "  compattezza e spazi di prodotto  " , Colloquium Mathematicae , vol.  7, n o  1,1959, p.  19-22 ( leggi in linea ).
  11. (en) MM Choban , "Mappe chiuse" in KP Hart J.-I. Nagata e JE Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2004( ISBN  978-0-44450355-8 , leggi online ) , p.  89(traducendo l'inglese compatto dal nostro quasi compatto ).
  12. ( entra ) James Munkres , Topologia , Prentice Hall ,2000, 2 °  ed. ( leggi in linea ) , p.  171.
  13. Questa dimostrazione è estesa alle multifunzioni nell'articolo "  Emi-continuità  ".
  14. Per una dimostrazione, vedere ad esempio il corso Compattezza e applicazioni continue su Wikiversità .
  15. (in) Stephen Willard , "  Gli spazi metrici di tutte le cui scomposizioni sono metriche  " , Proc. Amaro. Matematica. Soc. , vol.  21,1969, p.  126-128 ( leggi in linea ).
  16. (in) Kiiti Morita e Sitiro Hanai , "  Mappature chiuse e spazi metrici  " , Proc. Giappone Acad. , vol.  32, n o  1,1956, p.  10-14 ( leggi online ).
  17. Si deduce che in un tale spazio qualsiasi sequenza che abbia un solo valore di adesione converge verso questo valore.

Bibliografia

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