Applicazione pulita

In matematica , un'applicazione si dice pulita se soddisfa una certa proprietà topologica . La definizione più comune, valida per una mappatura continua di uno spazio separato in uno spazio localmente compatto , è che l'applicazione è pulita se l' immagine inversa di una qualsiasi parte compatta dello spazio di arrivo è compatta. Questa definizione è equivalente, in questo contesto, alla definizione generale: un'applicazione (non necessariamente continua e tra spazi topologici ) è propria se lo è " universalmente chiuso ”.

Definizione generale

Siano X e Y due spazi topologici . Una mappa f : X → Y si dice corretta se per qualsiasi spazio topologico Z , la mappa f × id Z : X × Z → Y × Z è chiusa .

Caratterizzazioni comuni

Teorema - Se X è separato e Y localmente compatto e se f : X → Y è continuo , allora le seguenti proprietà sono equivalenti:

f è corretto;
f è chiusa e l' immagine inversa di f di qualsiasi singoletto è compatta ;
l'immagine reciproca di f di qualsiasi compatta è compatta.

Più precisamente :

senza ipotesi su f (né su X e Y ):
- se f è proprio allora è banalmente chiuso;
- se f è propria, allora l'immagine reciproca di f di qualsiasi quasi-compatto (in particolare: di qualsiasi singoletto) è quasi-compatta;
se f è continua e chiusa e se l'immagine reciproca di f di qualsiasi singoletto è quasi compatta, allora f è propria;
se X è separato, Y localmente compatto ef continuo, e se l'immagine inversa di f di qualsiasi compatto è compatto, allora f è propria e X è localmente compatto.

Quando X e Y sono entrambi localmente compatti, considerando il loro Alexandrov compattato , la condizione 3 si riformula come: quando x tende all'infinito, f ( x ) tende all'infinito.

Proprietà

La nozione di corretta applicazione ha le seguenti proprietà:

qualsiasi composto da applicazioni adeguate è pulito;
qualsiasi prodotto f × g : X 1 × X 2 → Y 1 × Y 2 delle mappe appropriate è corretto;
se f : X → Y è proprio, allora è propria anche la sua restrizione-corestrizione , da f -1 ( T ) in T , per qualsiasi parte T di Y ;
se f : X → Y è proprio, allora è propria anche la sua restrizione F → Y a qualsiasi F chiusa di X ;
l'eventuale iniezione continua e chiusa è pulita;
se g ◦ f è proprio e se f è suriettivo e continuo, allora g è proprio;
se g ◦ f è proprio e se g è iniettiva e continua, allora f è proprio;
se f : X → Y e g : Y → Z sono continue e g ◦ f corretta e Y separare, allora f è corretta;
se X è quasi compatto allora, per ogni spazio Z , la proiezione X × Z → Z è propria;
se la mappa di X nello spazio ridotta a un punto è propria, allora X è quasi compatta;
qualsiasi applicazione continua da uno spazio quasi compatto a uno spazio separato è pulita.

Per ogni gruppo topologico G che agisce in modo continuo e appropriato su uno spazio topologico X , il quoziente X / G è separato.

Note e riferimenti

J. Lafontaine, Prerequisites in topology ( supplemento web di: Jacques Lafontaine, Introduzione alle varietà differenziali [ dettaglio delle edizioni ]).
N. Bourbaki , Elementi di matematica , topologia generale , cap. I, § 10.
N. Bourbaki, op. cit. , cap. III, § 2.

Vedi anche

Link esterno

Corso elementare di topologia algebrica , Frédéric Paulin, École normale supérieure , 2009-2010, p. 221-222 e p. 29