Parte relativamente compatta
In matematica , una parte relativamente compatta di uno spazio topologico X è un sottoinsieme Y di X incluso in una parte compatta di X (per la topologia indotta ). Ricorda che nella letteratura francese si presume che un compatto sia separato . Se X è separato, allora parte di X è relativamente compatta (se e) solo se la sua adesione è compatta.
Dimostrazione: Assumiamo che X sia separato. Lasciare K un sottoinsieme compatto di X tale che Y ⊆ K . Ogni parte compatta di uno spazio separato è chiusa (è un corollario del lemma del tubo ) quindi K è una X chiusa .
L'adesione di Y è indicata con Y . Abbiamo Y ⊆ Y e - dal momento che K è chiuso - Y ⊆ K . Tuttavia, qualsiasi parte chiusa di un compatto è compatta , quindi Y è compatta.
: Immediato (e ancora vero se X non è separato).
In uno spazio metrizzabile X , parte Y è relativamente compatto se e solo se tutti risultato in Y ha una sottosuccessione che converge in X .
Una parte di uno spazio metrico completo è relativamente compatta se e solo se è precompatta .
In particolare in ℝ n , le parti relativamente compatte sono le parti limitate .
Note e riferimenti
- N. Bourbaki , elementi di matematica, Libro III: Topologia generale [ dettaglio di edizioni ], p. I.62 su Google Libri .
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