In matematica , e più precisamente in topologia , un'applicazione aperta è un'applicazione tra due spazi topologici che invia aperture da una ad aperture dall'altra. Allo stesso modo, un'applicazione chiusa invia chiuso dal primo spazio a chiuso dal secondo.
Siano due spazi topologici X e Y ; diciamo che una mappa f da X a Y è aperta se per ogni U aperta di X , l' immagine f ( U ) è aperta in Y ; Analogamente, si dice che f è chiuso se per ogni chiuso U di X , l'immagine f ( U ) è chiuso in Y .
In entrambi i casi non è necessario che f sia continua ; sebbene le definizioni possano sembrare simili, sono aperte o chiuse giocano un ruolo molto meno importante nella topologia rispetto alle applicazioni continue in cui è l' immagine inversa di qualsiasi apertura da Y che deve essere una X aperta .
Una mappa f : X → Y è detta relativamente aperta se la sua correlazione X → f ( X ) è aperta.
Un'applicazione f : X → Y è aperta se e solo se per tutti gli x di X e per tutti i dintorni U di x , f ( U ) è un intorno di f ( x ).
Per mostrare un'applicazione è aperta, semplicemente controllare su una base dello spazio iniziale X . In altre parole, f : X → Y è aperto se e solo se l'immagine di f di ogni apertura di una base di X è aperta.
Le applicazioni aperte e chiuse possono essere caratterizzate anche in termini di interni e adesioni . Una mappa f : X → Y è:
Il composto da due applicazioni aperte è aperto, il composto da due applicazioni chiuse è chiuso.
Il prodotto di due percorsi aperti è aperto, ma, in generale, il prodotto di due percorsi chiusi non è chiuso.
Per ogni biiezione f : X → Y la biiezione reciproca f −1 : Y → X è continua se e solo se f è aperta (o chiusa, che è equivalente per una biiezione).
Se f : X → Y è una mappa continua aperta o chiusa, allora:
Nei primi due casi essere aperti o chiusi è solo una condizione sufficiente; è condizione necessaria anche in quest'ultimo caso.
È spesso utile disporre di termini e condizioni che garantiscano che un'applicazione sia aperta o chiusa. I seguenti risultati sono tra i più utilizzati.
Qualsiasi applicazione continua da uno spazio compatto a uno spazio separato è (pulita quindi) chiusa.
Nell'analisi funzionale , il teorema di Banach-Schauder (noto anche come teorema della mappa aperta) afferma che qualsiasi operatore lineare continuo suriettivo tra gli spazi di Banach è una mappa aperta.
Nell'analisi complessa , il teorema dell'immagine aperta dice che qualsiasi funzione olomorfa non costante definita su un'apertura connessa del piano complesso è una mappa aperta.
Nella geometria differenziale , parte del teorema di inversione locale dice che una funzione continuamente differenziabili tra spazi euclidei, la cui matrice Jacobiana è invertibile in un dato punto, è un'applicazione aperta in un intorno di questo punto. Più in generale, se una mappa F : U → R m di un aperto U ⊂ R n in R m è tale che il differenziale d F ( x ) è suriettivo in qualsiasi punto x ∈ U , allora F è una mappa aperta.
Infine, il teorema di invarianza del dominio (dovuto a Brouwer , e usando il suo famoso teorema del punto fisso ) dice che è aperta una mappa continua e localmente iniettiva tra due varietà topologiche della stessa dimensione finita.
N. Bourbaki , Elementi di matematica, libro III: Topologia generale [ dettaglio delle edizioni ], cap. I, § 5