In matematica , soprattutto nell'analisi complessa e nella topologia , un percorso è la modellazione di una successione continua di punti tra un punto iniziale e un punto finale . Parliamo anche di un percorso diretto .
Sia X uno spazio topologico . Chiamiamo percorso su X qualsiasi applicazione continua .
Il punto iniziale del percorso è f (0) e il punto finale è f (1) . Questi due punti costituiscono le estremità del percorso. Quando A designa il punto iniziale e B il punto finale del percorso (vedere la figura sopra), si parla di "percorso che collega A a B ".
Notare che un percorso non è solo un sottoinsieme di X che "sembra" una curva , ma include anche la parametrizzazione . Per esempio, le applicazioni e rappresentano due percorsi diversi da 0 a 1 per la linea reale R .
L' insieme di percorsi su X costituisce uno spazio topologico con un fibrazione su X .
Un laccio su X è un percorso le cui due estremità sono le stesse.
Uno spazio topologico su X in cui due punti qualsiasi sono sempre collegati da un percorso si dice che sia connesso da archi . Qualsiasi spazio può essere scomposto in un insieme di componenti collegati da archi . L'insieme di componenti collegati da archi di uno spazio X è spesso annotato .
Percorsi e cicli sono argomenti centrali di studio per la branca della topologia algebrica chiamata teoria dell'omotopia . Un homotopy di percorsi rende precisa la nozione di deformazione continua di un percorso lasciando le estremità fisse.
In breve, un'omotopia di percorsi in X è una famiglia di percorsi indicizzati da tale che
Si dice che i percorsi e collegati da un'omotopia siano omotopici . Possiamo anche definire un'omotopia di loop lasciando fisso il punto base.
La relazione di omotopia è una relazione di equivalenza tra i percorsi in uno spazio topologico. La classe di equivalenza del cammino f per questa relazione è chiamata classe di omotopia di f ed è spesso indicata .
Possiamo comporre percorsi in uno spazio topologico in modo ovvio. Lasciare f sia un percorso da x a y e g un percorso da y a z . Il percorso fg è definito come il percorso ottenuto attraversando prima f e poi attraversando g : Ovviamente la composizione dei percorsi è definita solo quando il punto finale di f coincide con il punto iniziale di g . Non è associativo , a causa delle differenze nella parametrizzazione. Tuttavia, è associativo fino all'omotopia, cioè [( fg ) h ] = [ f ( gh )] (quando questi composti sono definiti, cioè quando il punto finale di f è uguale al punto iniziale di ge il punto finale di g al punto iniziale di h ). Le classi di omotopia dei cammini in X formano quindi un gruppoide , chiamato gruppoide di Poincaré di X e indicato con π ( X ).
Per ogni punto x 0 di X , il sottogruppoide delle classi di omotopia di cicli basati su x 0 è quindi un gruppo , chiamato gruppo fondamentale di X al punto x 0 e indicato con π 1 ( X , x 0 ).
Nel caso in cui lo spazio topologico X sia uno spazio vettoriale normalizzato , o uno spazio affine associato ad uno spazio vettoriale normalizzato, possiamo specificare la natura dei percorsi che collegano i punti.