Convergenza semplice

In matematica , la convergenza semplice o puntuale è una nozione di convergenza in uno spazio funzionale , vale a dire in un insieme di funzioni tra due spazi topologici . Questa è una definizione poco impegnativa: è più facile stabilire rispetto ad altre forme di convergenza, in particolare convergenza uniforme e il passaggio al limite ha quindi meno proprietà: una serie di funzioni continue può quindi convergere semplicemente ad una funzione che non lo è.

Semplice convergenza di una suite di funzioni

Definizione

Lasciare $X$ un insieme , $Y$ uno spazio topologico , e una sequenza di funzioni definite su $X$ a valori in $Y$ . $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

La sequenza converge semplicemente se $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

per tutti , la suite converge in

Y

x \ in X

(f_ {n} (x)) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}

La suite di applicazioni converge semplicemente a un'applicazione se $(f_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $f: X \ a Y$

per ogni cosa , la successione converge

af

(

x

)

x \ in X

(f_ {n} (x)) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}

Osservazioni

L'insieme di partenza $X$ non dovrebbe avere una struttura topologica.
Se si presume che lo spazio di arrivo $Y$ sia separato , il possibile limite semplice di una sequenza di funzioni con valori in $Y$ è sempre unico.
Se $Y$ è anche uno spazio metrico , cioè dotato di una distanza $d$ e la topologia associato , quindi possiamo tradurre il concetto di semplice convergenza in termini di "epsilon":

Una sequenza di funzioni converge semplicemente su

A

ad una funzione

f

se e solo se

{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

{\ displaystyle \ forall x \ in A \ quad \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ esiste N _ {\ varepsilon, x} \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ left (n \ geq N _ {\ varepsilon, x} \ Rightarrow d (f_ {n} (x), f (x)) <\ varepsilon \ right)}

Topologia di convergenza semplice

Definizione

Il set di applicazioni X a Y è denotato $Y X$ . Esiste su questo insieme almeno una topologia per la quale la convergenza delle sequenze di funzioni non è altro che semplice convergenza: la topologia del prodotto , o topologia della semplice convergenza. Possiamo descrivere un prerequisito : se indichiamo con $W ( x , V )$ , per ogni punto $x$ di $X$ e ogni $V$ aperto di $Y$ , l'insieme delle mappe $f$ da $X$ a $Y$ tale che $f$ $($ $x$ $) \in$ $V$ , allora il l'insieme di tutte le $W$ $($ $x$ $,$ $V$ $)$ forma una base della topologia del prodotto, cioè le aperture di $Y$ $X$ sono le riunioni arbitrarie di intersezioni finite di parti della forma $W$ $($ $x$ $,$ $V$ $)$ .

Osservazioni

Se l'insieme $X$ è infinito e non numerabile allora $Y X$ (provvisto della topologia di convergenza semplice) non è metrizzabile , neppure sequenziale , quindi la convergenza delle sequenze di funzioni non è sufficiente a caratterizzarne la topologia (è necessaria in questo caso fare appello alle sequenze generalizzate ).
Secondo il teorema di Tykhonov , se $Y$ è compatto allora $Y X$ troppo.

Proprietà

La convergenza semplice è un criterio di convergenza poco vincolante, come suggerisce il nome. Ci sono quindi meno proprietà che nel caso di convergenza uniforme, ad esempio.

La convergenza uniforme risulta chiaramente in una convergenza semplice. Il contrario è falso, come mostra il controesempio illustrato graficamente all'inizio dell'articolo.
La semplice convergenza non mantiene la continuità, come mostra lo stesso grafico.
Nel caso in cui l'insieme di partenza è uno spazio misurabile e dove l'insieme di arrivo è il campo dei numeri reali allora la semplice convergenza può indicare la convergenza per la norma $L 1$ con l'aggiunta di alcune ipotesi descritte negli articoli Teorema di Convergenza Monotonica e Dominato Teorema di convergenza .
Il passaggio al limite per l'integrale dei limiti semplici ha contribuito a motivare l'introduzione da parte di Henri Lebesgue della sua nozione di funzione misurabile . La conservazione dell'integrabilità locale non è infatti vera nel senso di Riemann utilizzato nell'ambito della teoria integrale di Riemann .

Appunti

Mentre lo spazio di Cantor e il cubo di Hilbert , prodotti numerabili , sono metrizzabili.
A meno che, ovviamente, la topologia su $Y non$ sia approssimativa .

Vedi anche