Il cubo di Hilbert

In topologia , chiamiamo di Hilbert cubo spazio prodotto dotato della topologia prodotto , in altre parole: lo spazio di sequenze con valori in [0, 1], dotato della topologia di semplice convergenza . Secondo il teorema di Tykhonov , è uno spazio compatto . $K = \ sinistra [0,1 \ destra] ^ {\ mathbb {N}}$

È omeomorfo a , lo spazio delle suite , come , a condizione che con la distanza: $\ left [0,1 \ right] \ times \ left [0, {\ frac 12} \ right] \ times \ left [0, {\ frac 13} \ right] \ times \ cdots$ $x = \ left (x_ {n} \ right) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $\ forall n, \; 0 \ leq x_ {n} \ leq {\ frac 1n}$

d \ sinistra (x, y \ destra) = {\ sqrt {\ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} \ sinistra (x_ {n} -y_ {n} \ destra) ^ {2 }}}.

È quindi metrizzabile e di conseguenza (essendo compatto), separabile ed ha le seguenti proprietà:

Tutto lo spazio separabili metrizzabile è omeomorfo ad un sottospazio di K .

Ciò fornisce in particolare un mezzo conveniente per compattare spazi metrizzabili separabili, ed anche un criterio per classificarli in base alla loro complessità; ad esempio, uno spazio è polacco se e solo se è omeomorfo all'intersezione di una serie di K aperti . Abbiamo anche concluso che qualsiasi spazio misurabile generato e separato in modo numeroso è isomorfo a una porzione K fornita con Borel di K indotta dalla tribù .

Vedi anche

Lo spazio di Cantor

Note e riferimenti

e "pari" - che, per uno spazio metrizzabile, è di fatto equivalente - su base numerabile
"Risultato dovuto a Urysohn " : François Guénard e Gilbert Lelièvre, Analisi dei complementi, Volume 1, Topologia , prima parte , ENS Fontenay, 1985, p. 29
Queste due ipotesi possono essere sostituite da: regolare e con base numerabile, poiché qualsiasi spazio regolare con base numerabile è metrizzabile .