Funzione multivalore

In matematica , una funzione multivalore (nota anche corrispondenza , funzione multiforme , molte funzioni o semplicemente MFP ) è una relazione binaria qualsiasi funzione impropriamente chiamata perché non funzionale: ogni elemento di un insieme si associa, non eccedendo un elemento ma possibilmente zero, uno o più elementi di un secondo insieme. Possiamo tuttavia vedere una multifunzione come una funzione classica che assume i suoi valori nell'insieme delle parti del secondo insieme. Al contrario, se l'immagine di ogni punto è un singoletto , diciamo che la corrispondenza è unica .

Un semplice esempio di funzione multivalore è la funzione reciproca di una mappa non iniettiva  : in qualsiasi punto della sua immagine corrispondiamo all'immagine reciproca formata dagli antecedenti di questo punto.

Le funzioni multivalore compaiono nell'analisi complessa dove possiamo considerarne le determinazioni , cioè restrizioni su queste relazioni che le rendono funzioni e che permettono di calcolare determinati integrali reali mediante il teorema dei residui come questo verrà illustrato di seguito; il suo utilizzo è tuttavia difficile ed è stato sostituito dalla considerazione più astratta di funzioni (non valutate) sulle superfici di Riemann .

Le multifunzioni si trovano anche nell'analisi convessa e non liscia  : i coni tangenti e normali a un insieme, il sub-differenziale di una funzione, un processo convesso sono multifunzioni. Questa e altre osservazioni hanno dato nuovo impulso allo sviluppo dell'analisi multifunzionale (vedi bibliografia ).

Esempi

La radice quadrata

• In numeri reali , ad ogni elemento positivo x , la relazione fa corrispondere due elementi e con . Ci limitiamo nel solito modo al valore positivo per avere poi la funzione di radice quadrata .y2=X{\ displaystyle y ^ {2} = x}|y|{\ displaystyle | y |}-|y|{\ displaystyle - | y |}|y|2=X{\ displaystyle | y | ^ {2} = x}|y|{\ displaystyle | y |}

• In complessi, definendo un elemento z del piano complesso dal con l' argomento di z , radici quadrate di z sono numeri ( ) dato da:VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=|z|eioθ{\ displaystyle z = | z | \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta}}θ{\ displaystyle \ theta}wK{\ displaystyle w_ {k}}K∈Z{\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}

wK=|z|eioθ/2eioπK{\ displaystyle w_ {k} = {\ sqrt {| z |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta / 2} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ pi k}} si verifica infatti che poiché per tutti gli interi k .wK2=|z|eioθe2ioπK=z{\ displaystyle w_ {k} ^ {2} = | z | \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta} \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k } = z}e2ioπK=1{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k} = 1}

Il logaritmo complesso

Definendo un elemento z del piano complesso come prima, i logaritmi complessi di z sono i numeri ( ) dati da: wK{\ displaystyle w_ {k}}K∈Z{\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}

wK=ln⁡|z|+ioθ+2ioπK{\ displaystyle w_ {k} = \ ln | z | + {\ rm {i}} \ theta +2 {\ rm {i}} \ pi k}

si verifica infatti che poiché, come prima, per tutti gli interi k . exp⁡(wK)=|z|eioθe2ioπK=z{\ displaystyle \ exp (w_ {k}) = | z | \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta} \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k } = z}e2ioπK=1{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} \ pi k} = 1}

Definizioni

Multifunzione

Siano e siano due insiemi. Un multifunzione è un'implementazione del tutto delle parti di . X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}X{\ displaystyle X}P(Y){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (Y)}Y{\ displaystyle Y}

L'applicazione che ad una multifunzione associa la relazione binaria "   ", è una biiezione tra le multifunzioni di in e le relazioni tra e . Questo è perché chiamiamo grafico della il grafico della associato relazione binaria , cioè l'insieme F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}y∈F(X){\ displaystyle y \ in F (x)}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F{\ displaystyle F}

G(F): ={(X,y)∈X×Y∣y∈F(X)}{\ displaystyle {\ mathcal {G}} (F): = \ {(x, y) \ in X \ times Y \ mid y \ in F (x) \}}

(e non il grafico della funzione , che fa parte di ). F{\ displaystyle F}X×P(Y){\ displaystyle X \ times {\ mathcal {P}} (Y)}

Dominio, immagine, selezione

Allo stesso modo, l' immagine di una parte e l' immagine reciproca di una parte da una multifunzione sono definite come l'immagine e l'immagine reciproca dalla relazione binaria associata: P⊂X{\ displaystyle P \ subset X} Q⊂Y{\ displaystyle Q \ subset Y}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}

F(P): ={y∈Y∣∃X∈Py∈F(X)}=⋃X∈PF(X)F-1(Q): ={X∈X∣∃y∈Qy∈F(X)}={X∈X∣F(X)∩Q≠∅}.{\ displaystyle {\ begin {allineato} F (P) &: = & \ {y \ in Y \ mid \ esiste x \ in P \ quad y \ in F (x) \} & = & \ bigcup _ {x \ in P} F (x) \\ F ^ {- 1} (Q) &: = & \ {x \ in X \ mid \ esiste y \ in Q \ quad y \ in F (x) \} & = & \ {x \ in X \ metà F (x) \ cap Q \ neq \ varnothing \}. \ end {allineato}}}

In particolare, chiamiamo dominio - o insieme di definizione - e immagine - o insieme di valori (o insieme di immagini ) - del dominio e l'immagine della relazione binaria associata: F{\ displaystyle F}

D(F): =F-1(Y)={X∈X∣F(X)≠∅}R(F): =F(X)=⋃X∈XF(X).{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {D}} (F) &: = & F ^ {- 1} (Y) & = & \ {x \ in X \ mid F (x) \ neq \ varnothing \} \\ {\ mathcal {R}} (F) &: = & F (X) & = & \ bigcup _ {x \ in X} F (x). \ end {allineato}}}

Una selezione di è una funzione di scelta , ovvero un'applicazione come . F{\ displaystyle F}f:D(F)→Y{\ displaystyle f: {\ mathcal {D}} (F) \ to Y}∀X∈D(F)f(X)∈F(X){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {D}} (F) \ quad f (x) \ in F (x)}

Multifunzione reciproco

La multifunzionalità reciproca di è la sua relazione binaria reciproca , definita da . F-1:Y⊸X{\ displaystyle F ^ {- 1}: Y \ multimap X}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}X∈F-1(y)⇔y∈F(X){\ Displaystyle x \ in F ^ {- 1} (y) \ Leftrightarrow y \ in F (x)}

Il dominio e l'immagine di sono quindi rispettivamente l'immagine e il dominio di e più in generale, l'immagine reciproca di una parte di è uguale alla sua immagine diretta di , e l'immagine diretta di una parte di è uguale alla sua immagine reciproca di . F-1{\ displaystyle F ^ {- 1}}F{\ displaystyle F}F-1{\ displaystyle F ^ {- 1}}X{\ displaystyle X}F{\ displaystyle F}F-1{\ displaystyle F ^ {- 1}}Y{\ displaystyle Y}F{\ displaystyle F}

Alcuni speciali multifunzionali

• Let e gli spazi topologici metrizzabili e multifunzionali. Diciamo che è: X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y} F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}F{\ displaystyle F}
  • chiuso al puntoX∈X{\ displaystyle x \ in X} se ogni volta
  converge a  ;y∈F(X){\ displaystyle y \ in F (x)}(XK,yK)∈G(F){\ displaystyle (x_ {k}, y_ {k}) \ in {\ mathcal {G}} (F)} (X,y){\ displaystyle (x, y)}
• chiuso se il suo grafico è chiuso dello spazio prodotto (il che equivale a dire che è chiuso in qualsiasi punto di ).X×Y{\ displaystyle X \ times Y}F{\ displaystyle F}X{\ displaystyle X}

Se e sono spazi vettoriali reali, diciamo che una multifunzione è: X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}

• convesso se il suo grafico è convesso  ;
• un processo convesso se il suo grafico è un cono convesso appuntito .

Se è uno spazio prehilbertiano , diciamo che una multifunzione è monotona se .(X,⟨⋅,⋅⟩){\ displaystyle (X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}F:X⊸X{\ displaystyle F: X \ multimap X}∀(X,y)∈G(F)∀(X′,y′)∈G(F)⟨y-y′,X-X′⟩⩾0{\ Displaystyle \ forall (x, y) \ in {\ mathcal {G}} (F) \ quad \ forall (x ', y') \ in {\ mathcal {G}} (F) \ quad \ langle y -y ', xx' \ rangle \ geqslant 0}

Analisi multifunzionale

Analisi multifunzionale riguarda lo studio di multifunzione, loro hemicontinuity , la loro limitata carattere , loro lipschitzianity , multifunctions poliedrici , la ricerca per i loro zeri (punti che contengono zero nella loro immagine), effetto di disturbi,  ecc

Alcune proprietà delle funzioni si estendono naturalmente a quelle multifunzionali, come convessità , apertura , monotonia , accretività ,  ecc.

Semicontinuità superiore

Sia e sia spazi topologici. Diciamo che una multifunzione è semicontinua sopra in si per qualsiasi quartiere di , l'insieme è un quartiere di . X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}X∈X{\ displaystyle x \ in X} V{\ displaystyle V}F(X){\ displaystyle F (x)}{X′∈X∣F(X′)⊂V}{\ displaystyle \ {x '\ in X \ mid F (x') \ subset V \}}X{\ displaystyle x}

In termini semplici, ciò significa che quando , al limite può improvvisamente ingrandirsi ma non ridursi. Tipici esempi di multifunzioni semicontinue superiori sono il differenziale-sous una funzione convessa e il differenziale di Clarke della funzione lipschiztienne. X′→X{\ displaystyle x '\ to x}F(X′){\ displaystyle F (x ')}X{\ displaystyle x}

Teorema dell'applicazione aperta per MFP

Siano e spazi di Banach, di cui denotiamo rispettivamente e le palline unitarie aperte , e un multifunzione. X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}BX{\ displaystyle B_ {X}}BY{\ displaystyle B_ {Y}}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}

Il risultato sotto afferma che se è una multifunzione convessa chiusa e se è interno alla sua immagine , allora è interno all'immagine da una qualsiasi palla aperta centrata in un punto arbitrario dell'immagine reciproca di da Indichiamo l' interno da una parteF{\ displaystyle F}y{\ displaystyle y}F(X)=R(F){\ displaystyle F (X) = {\ mathcal {R}} (F)}y{\ displaystyle y}F{\ displaystyle F}F-1(y){\ displaystyle F ^ {- 1} (y)}y{\ displaystyle y}F.{\ displaystyle F.}intP{\ Displaystyle \ operatorname {int} \, P}P.{\ displaystyle P.}

Teorema della mappatura aperta per le multifunzioni  -  Supponiamo che e siano spazi di Banach , cioè una multifunzione convessa e chiusa e che Allora X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}y∈intR(F).{\ Displaystyle y \ in \ operatorname {int} \, {\ mathcal {R}} (F).}

∀X∈F-1(y),∀r>0,y∈int⁡F(X+rBX).{\ displaystyle \ forall \, x \ in F ^ {- 1} (y), \ quad \ forall \, r> 0, \ quad y \ in \ operatorname {int} F (x + rB_ {X}). }

Ritroviamo il teorema della mappa aperta nel caso in cui sia una mappa lineare continua (da cui il nome), che afferma che è interna all'immagine della palla unitaria . Infatti, in questo caso è una multifunzione convessa (il suo grafo è un sottospazio vettoriale) e chiusa (significato ovvio del teorema del grafo chiuso ), è effettivamente all'interno di (perché è suriettiva); il teorema di cui sopra afferma quindi che è all'interno dell'immagine da qualsiasi sfera di raggio diverso da zero centrata su (o qualsiasi altro punto per quella materia). F{\ displaystyle F}0∈Y{\ displaystyle 0 \ in Y}BX{\ displaystyle B_ {X}}F{\ displaystyle F}0∈Y{\ displaystyle 0 \ in Y}F(X){\ displaystyle F (X)}F{\ displaystyle F}0∈Y{\ displaystyle 0 \ in Y}F{\ displaystyle F}0∈F-1(0){\ displaystyle 0 \ in F ^ {- 1} (0)}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}

Multifunzione aperto o metricamente regolare

Siano e spazi di Banach, di cui indichiamo rispettivamente e le sfere unitarie aperte, e un multifunzione. X{\ displaystyle X}Y{\ displaystyle Y}BX{\ displaystyle B_ {X}}BY{\ displaystyle B_ {Y}}F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}

Diciamo che è aperto in , con una velocità , se c'è un raggio massimo e un intorno di in , tale che per tutto e per tutto , abbiamo F{\ displaystyle F}(X0,y0)∈G(F){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in {\ mathcal {G}} (F)} τ>0{\ displaystyle \ tau> 0}rmax>0{\ displaystyle r _ {\ max}> 0}W{\ displaystyle W}(X0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}X×Y{\ displaystyle X \ times Y}(X,y)∈G(F)∩W{\ displaystyle (x, y) \ in {\ mathcal {G}} (F) \ cap W}r∈[0,rmax]{\ displaystyle r \ in [0, r _ {\ max}]}

y+τrBY⊂F(X+rBX).{\ Displaystyle y + \ tau \, r \, B_ {Y} \ subset F (x + r \, B_ {X}).}

Per una mappa convessa , possiamo limitarci a una sola condizione in . (X0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}

Multifunzione convessa aperta  -  If è una multifunzione convessa e se , le seguenti proprietà sono equivalenti: F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}(X0,y0)∈G(F){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in {\ mathcal {G}} (F)}

1. F{\ displaystyle F}è aperto in ,(X0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}
2. esiste e tale che .η>0{\ displaystyle \ eta> 0}ν>0{\ displaystyle \ nu> 0}y0+ηBY⊂F(X0+νBX){\ displaystyle y_ {0} + \ eta B_ {Y} \ subset F (x_ {0} + \ nu B_ {X})}

Per una mappa convessa chiusa , il teorema della mappa aperta consente di semplificare ulteriormente l'espressione per l'apertura di en . F{\ displaystyle F}(X0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}

Multifunzione convessa aperta chiusa  -  If è una multifunzione convessa chiusa e se , le seguenti proprietà sono equivalenti: F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}(X0,y0)∈G(F){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in {\ mathcal {G}} (F)}

1. F{\ displaystyle F}è aperto in ,(X0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}
2. y0∈intR(F){\ Displaystyle y_ {0} \ in \ operatorname {int} \, {\ mathcal {R}} (F)}.

Questo concetto di apertura di una multifunzione è infatti identico a quello di regolarità metrica .

Diciamo che è metricamente regolare in , con un tasso , se c'è un quartiere di in , tale che per tutti , abbiamo F{\ displaystyle F}(X0,y0)∈G(F){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in {\ mathcal {G}} (F)} μ>0{\ displaystyle \ mu> 0}W{\ displaystyle W}(X0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}X×Y{\ displaystyle X \ times Y}(X,y)∈W{\ displaystyle (x, y) \ in W}

d⁡(X,F-1(y))⩽μd⁡(y,F(X)).{\ Displaystyle \ operatorname {d} {\ bigl (} x, F ^ {- 1} (y) {\ bigr)} \ leqslant \ mu \, \ operatorname {d} {\ bigl (} y, F (x ) {\ bigr)}.}

Ricordiamo che la distanza da un insieme è definita da, e che questo vale se . P{\ displaystyle P}d⁡(X,P): =inf{‖X-X′‖:X′∈P}{\ displaystyle \ operatorname {d} (x, P): = \ inf \ {\ | x-x '\ |: x' \ in P \}}+∞{\ displaystyle + \ infty}P=∅{\ displaystyle P = \ varnothing}

Multifunzione aperto e metricamente regolare  -  If è un multifunzione e se , le seguenti proprietà sono equivalenti: F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}(X0,y0)∈G(F){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}) \ in {\ mathcal {G}} (F)}

1. F{\ displaystyle F}è metricamente regolare con una tariffa ,(X0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}μ{\ displaystyle \ mu}
2. F{\ displaystyle F}è aperto con una tariffa .(X0,y0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}τ=1/μ{\ displaystyle \ tau = 1 / \ mu}

Determinazioni

Per la radice quadrata complessa e il logaritmo complesso , chiamiamo determinazione una restrizione sull'argomento del valore corrispondente. Più esplicitamente, una determinazione per la radice quadrata è data da: θ{\ displaystyle \ theta}

z=|z|eioθ/2,(θ∈[θ0,θ0+2π[){\ displaystyle {\ sqrt {z}} = {\ sqrt {| z |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta / 2}, \ quad (\ theta \ in [\ theta _ {0}, \ theta _ {0} +2 \ pi [)}

con qualsiasi angolo che caratterizza la determinazione. θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}

Allo stesso modo, una determinazione per il logaritmo complesso è data da:

log⁡z=ln⁡|z|+ioθ,(θ∈]θ0,θ0+2π]){\ displaystyle \ log {z} = \ ln {| z |} + {\ rm {i}} \ theta, \ quad (\ theta \ in] \ theta _ {0}, \ theta _ {0} +2 \ pi])}

La restrizione dell'argomento all'intervallo semiaperto ] –π, π] è chiamata determinazione principale del logaritmo .

Si noti che, fino a una determinazione, la funzione radice quadrata complessa e il logaritmo complesso sono funzioni olomorfe sull'intero piano complesso eccetto la semiretta che parte dall'origine e all'angolo rispetto all'asse x. Nel caso della determinazione principale, le due funzioni sono olomorfe . La discontinuità sull'asse reale negativo è illustrata nelle due figure seguenti. θ0{\ displaystyle \ theta _ {0}}VS∖]-∞,0]{\ displaystyle \ mathbb {C} \ backslash] - \ infty, 0]}

• Determinazione principale

• Figura 1: Illustrazione della determinazione principale del logaritmo complesso.

• Figura 2: Illustrazione della determinazione principale della radice quadrata complessa.

Applicazione al calcolo degli integrali reali

Considerare una determinata determinazione permette, con l'ausilio del teorema dei residui , di calcolare alcuni integrali reali altrimenti difficilmente calcolabili.

Nota  : il seguente è spesso usato come verrà mostrato nell'esempio sotto . zα=eαlog(z){\ displaystyle z ^ {\ alpha} = \ mathrm {e} ^ {\ alpha \ mathrm {log} (z)}}

Esempio con il logaritmo complesso

Problema  : calcola il seguente integrale:

io=∫0+∞Xa1+X2dX{\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {x ^ {a} \ over 1 + x ^ {2}} \ mathrm {d} x}

per . |a|<1{\ displaystyle | a | <1}

Soluzione  : considerando il contorno illustrato in figura 3 nonché la seguente determinazione del logaritmo: γ{\ displaystyle \ gamma}

log(z)=ln⁡|z|+ioθ,(θ∈[0,2π[){\ displaystyle \ mathrm {log} (z) = \ ln | z | + {\ rm {i}} \ theta, \ quad (\ theta \ in [0,2 \ pi [)}

(il contorno “circonda” quindi la discontinuità della determinazione che abbiamo scelto), otteniamo: io=π2cos⁡(aπ/2).{\ displaystyle I = {\ frac {\ pi} {2 \ cos (a \ pi / 2)}}.}

Sviluppo

La funzione f definita da ha due poli semplici ( ) entrambi di indice +1 rispetto a (for e ). Al limite e , il teorema dei residui quindi ci dà: f(z)=za1+z2{\ displaystyle f (z) = {z ^ {a} \ oltre 1 + z ^ {2}}}z1,2=±io{\ displaystyle z_ {1,2} = \ pm i}γ{\ displaystyle \ gamma}ϵ<1{\ displaystyle \ epsilon <1}R>1{\ displaystyle R> 1}ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ to 0}R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}

io∗=∫γf(z)dz=2ioπ(ReS(f,+io)+ReS(f,-io)).{\ displaystyle I ^ {*} = \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z = 2 {\ rm {i}} \ pi \ left (\ mathrm {Res} (f, + { \ rm {i}}) + \ mathrm {Res} (f, - {\ rm {i}}) \ right).}

Decomponendo l'integrale curvilineo nelle sue quattro parti principali e applicando il lemma di stima per mostrare che l'integrale lungo e quello lungo tendono allo zero al limite, rimane: γϵ{\ displaystyle \ gamma _ {\ epsilon}}γR{\ displaystyle \ gamma _ {R}}

io∗=limϵ→0,R→∞(∫γ1f(z)dz+∫γ2f(z)dz).{\ Displaystyle I ^ {*} = \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to \ infty} \ left (\ int _ {\ gamma _ {1}} f (z) \ mathrm {d} z + \ int _ {\ gamma _ {2}} f (z) \ mathrm {d} z \ right).}

Usando la determinazione scelta sopra, abbiamo

za=ealog(z)=ea(ln⁡|z|+ioθ)=|z|aeioaθ.{\ displaystyle z ^ {a} = \ mathrm {e} ^ {a \ mathrm {log} (z)} = \ mathrm {e} ^ {a (\ ln | z | + {\ rm {i}} \ theta)} = | z | ^ {a} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} a \ theta}.}

Alla fine , lungo la strada , l'argomento tende a zero; lungo il percorso , l'argomento tende a , quindi abbiamo: ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ to 0}γ1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}θ{\ displaystyle \ theta}γ2{\ displaystyle \ gamma _ {2}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}

limϵ→0,R→∞∫γ1|z|aeaioθ1+z2dz=io{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to \ infty} \ int _ {\ gamma _ {1}} {| z | ^ {a} \ mathrm {e} ^ {a {\ rm { i}} \ theta} \ over 1 + z ^ {2}} \ mathrm {d} z = I}

e

limϵ→0,R→∞∫γ2|z|aeioaθ1+z2dz=∫+∞0Xae2ioaπ1+X2dX=-ioe2ioaπ.{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to \ infty} \ int _ {\ gamma _ {2}} {| z | ^ {a} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i }} a \ theta} \ over 1 + z ^ {2}} \ mathrm {d} z = \ int _ {+ \ infty} ^ {0} {x ^ {a} \ mathrm {e} ^ {2 { \ rm {i}} a \ pi} \ over 1 + x ^ {2}} \ mathrm {d} x = -I \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} a \ pi}.}

Quindi abbiamo:

io∗=io(1-e2ioaπ).{\ displaystyle I ^ {*} = I (1- \ mathrm {e} ^ {2 {\ rm {i}} a \ pi}).}

Ci resta da calcolare tramite i residui della funzione in  : io∗{\ displaystyle I ^ {*}} ±io{\ displaystyle \ pm i}

ReS(f,+io)=limz→+io(z-io)f(z)=ioa2io=eaioπ/22io{\ Displaystyle \ mathrm {Res} (f, + {\ rm {i}}) = \ lim _ {z \ to + {\ rm {i}}} (z - {\ rm {i}}) f ( z) = {{\ rm {i}} ^ {a} \ over 2i} = {\ mathrm {e} ^ {a {\ rm {i}} \ pi / 2} \ over 2 {\ rm {i} }}}

e

ReS(f,-io)=-e3aioπ/22io{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, - {\ rm {i}}) = {- \ mathrm {e} ^ {3a {\ rm {i}} \ pi / 2} \ over 2 {\ rm { io}}}}

dove abbiamo usato che, nella determinazione scelta, l'argomento di + i (risp. –i ) è (risp. ). Otteniamo quindi: π/2{\ displaystyle \ pi / 2}3π/2{\ displaystyle 3 \ pi / 2}

io∗=π(eioaπ/2-e3ioaπ/2){\ displaystyle I ^ {*} = \ pi \ left ({\ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} a \ pi / 2}} - \ mathrm {e} ^ {3 {\ rm {i }} a \ pi / 2} \ right)}

e infine per  : 0<|a|<1{\ displaystyle 0 <| a | <1}

io=πeioaπ/2-e3ioaπ/21-e2aioπ=π2cos⁡(aπ/2).{\ displaystyle I = \ pi {\ frac {{\ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} a \ pi / 2}} - \ mathrm {e} ^ {3 {\ rm {i}} a \ pi / 2}} {1- \ mathrm {e} ^ {2a {\ rm {i}} \ pi}}} = {\ frac {\ pi} {2 \ cos (a \ pi / 2)}} .} Questa formula rimane vera per , passando al limite o da un calcolo classico.a=0{\ displaystyle a = 0}  

Esempio con la radice quadrata complessa

Problema  : calcolare il seguente integrale con il metodo dei residui  :

io=∫1+∞dXXX2-1{\ displaystyle I = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}

(la funzione è standardizzata dal taglio lungo l'asse reale che si collega a -1 e 1 a .) -∞{\ displaystyle - \ infty}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Soluzione  : l'integrando ha un antiderivativo (cioè ) e quindi lo abbiamo immediatamente . Questo stesso risultato si ottiene considerando il contorno illustrato nella figura 4 a fianco e utilizzando: -atanon[(X2-1)-1/2]{\ displaystyle - \ mathrm {atan} \ left [\ left (x ^ {2} -1 \ right) ^ {- 1/2} \ right]}io=π2{\ displaystyle I = {\ pi \ over 2}}γ{\ displaystyle \ gamma}

z2-1=z-1z+1{\ displaystyle {\ sqrt {z ^ {2} -1}} = {\ sqrt {z-1}} {\ sqrt {z + 1}}}

Per il primo fattore del prodotto, prenderemo in considerazione la seguente determinazione:

z-1=|z-1|eioθ1/2,θ1∈[0,2π[{\ displaystyle {\ sqrt {z-1}} = {\ sqrt {| z-1 |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {1} / 2}, \ quad \ theta _ {1} \ in [0,2 \ pi [},

per l'altro, considereremo la determinazione principale:

z+1=|z+1|eioθ2/2,θ2∈[-π,π[{\ displaystyle {\ sqrt {z + 1}} = {\ sqrt {| z + 1 |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {2} / 2}, \ quad \ theta _ {2} \ in [- \ pi, \ pi [}.

sotto queste determinazioni, la funzione è olomorfa . VS∖(]-∞,-1]∪[+1,∞[){\ Displaystyle \ mathbb {C} \ barra rovesciata \ sinistra (] - \ infty, -1] \ cup [+1, \ infty [\ right)}

Sviluppo

La funzione f definita da ha tre singolarità: i due punti di diramazione ( ± 1 ) e il polo semplice (l'origine) che è l'unica singolarità di indice diverso da zero rispetto al contorno; al limite e , il teorema dei residui quindi ci dà: f(z)=1zz2-1{\ displaystyle f (z) = {1 \ over z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}}ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ to 0}R→∞{\ displaystyle R \ to \ infty}

io∗=∫γf(z)dz=2ioπReS(f,0) {\ displaystyle I ^ {*} = \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z = 2 {\ rm {i}} \ pi \ mathrm {Res} (f, 0) ~}

e così abbiamoReS(f,0)=limz→0z⋅f(z)=1io{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, 0) = \ lim _ {z \ to 0} z \ cdot f (z) = {1 \ over i}}io∗=2π.{\ displaystyle I ^ {*} = 2 \ pi.}

Decomponendo l'integrale curvilineo nelle sue sette parti principali e applicando il lemma di stima per dimostrare che l'integrale lungo , e tendono a zero al limite, ci rimane: γϵ{\ displaystyle \ gamma _ {\ epsilon}}γϵ′{\ displaystyle \ gamma _ {\ epsilon} '}γR{\ displaystyle \ gamma _ {R}}

io∗=limϵ→0,R→∞(∑io=14∫γiof(z)dz){\ displaystyle I ^ {*} = \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {4} \ int _ {\ gamma _ {i} } f (z) \ mathrm {d} z \ right)}

al limite , lungo il percorso , l'argomento tende a zero per le due determinazioni, lungo il percorso , l'argomento tende a (risp. zero) per la prima determinazione (risp. determinazione principale), lungo il percorso verso cui l'argomento tende per le due determinazioni e per , l'argomento tende a (risp. ) per la prima determinazione (risp. la determinazione principale). ϵ→0{\ displaystyle \ epsilon \ to 0}γ1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}θ{\ displaystyle \ theta}γ2{\ displaystyle \ gamma _ {2}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}γ3{\ displaystyle \ gamma _ {3}}π{\ displaystyle \ pi}γ4{\ displaystyle \ gamma _ {4}}π{\ displaystyle \ pi}-π{\ displaystyle - \ pi}

Abbiamo quindi annotando simbolicamente (risp. ) L'argomento nella prima determinazione (risp. La determinazione principale): θ1{\ displaystyle \ theta _ {1}}θ2{\ displaystyle \ theta _ {2}}

limϵ→0,R→∞∫γ1dzz|z-1|eioθ1/2|z+1|eioθ2/2=∫1+∞dXX(X2-1)=io{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to \ infty} \ int _ {\ gamma _ {1}} {\ mathrm {d} z \ over z {\ sqrt {| z-1 |} } \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {1} / 2} {\ sqrt {| z + 1 |}} \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ theta _ {2} / 2}} = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = I }

con per la parte . Abbiamo anche: θ1=θ2=0{\ displaystyle \ theta _ {1} = \ theta _ {2} = 0}γ1{\ displaystyle \ gamma _ {1}}

limϵ→0,R→∞∫γ2f(z)dz=∫1+∞dXX(X2-1)=-∫+∞0dXXX2-1=io{\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to \ infty} \ int _ {\ gamma _ {2}} f (z) \ mathrm {d} z = \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = - \ int _ {+ \ infty} ^ {0} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} = I}

con , e . Infine abbiamo anche: θ1=2π{\ displaystyle \ theta _ {1} = 2 \ pi}θ2=0{\ displaystyle \ theta _ {2} = 0}eioπ=-1{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {{\ rm {i}} \ pi} = - 1}

limϵ→0,R→∞∫γ3f(z)dz=-∫0-∞dXX(X2-1)=io{\ Displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to \ infty} \ int _ {\ gamma _ {3}} f (z) \ mathrm {d} z = - \ int _ {0} ^ { - \ infty} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = I} limϵ→0,R→∞∫γ4f(z)dz=∫-∞0dXX(X2-1)=io{\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0, R \ to \ infty} \ int _ {\ gamma _ {4}} f (z) \ mathrm {d} z = \ int _ {- \ infty} ^ {0} {\ mathrm {d} x \ over x {\ sqrt {(x ^ {2} -1)}}} = I}

dove abbiamo usato nelle due uguaglianze precedenti che la funzione è pari e che l'integrale su è uguale all'integrale su . ]-∞,1]{\ displaystyle] - \ infty, 1]}[1,∞[{\ displaystyle [1, \ infty [}

Quindi abbiamo: e infine, come previsto.4io=io∗{\ displaystyle 4I = I ^ {*}}io=π2{\ displaystyle I = {\ pi \ over 2}}  

Riemann affiora

La teoria inefficace delle funzioni multivalore per le funzioni della variabile complessa è sostituita nella matematica moderna dal concetto più astratto di funzione (senza valore) definito su una superficie di Riemann .

Questo punto di vista consiste nel considerare il dominio di definizione di una funzione multivalore come un oggetto più elaborato del piano complesso: una varietà complessa di dimensione 1.

Note e riferimenti

1. Aubin e Frankowska 2009 , p.  33.
2. Dany-Jack Mercier, Acquisizione dei fondamenti per le competizioni , vol.  1, Publibook,2012, p.  104.
3. Aubin e Frankowska 2009 .
4. Migórski, Ochal e Sofonea 2012 , p.  54. Tuttavia, Smithson 1965 , p.  682, Smithson 1975 , p.  283, Borges 1967 , p.  452 e Joseph 1980 riservano il qualificatore "chiuso" alle multifunzioni (tra qualsiasi spazio topologico) tale che, per ogni chiuso di , è un chiuso di , che estende la nozione di applicazione chiusa alle multifunzioni . Joseph 1980 , pag.  166 definisce ulteriormente quello di multifunzione chiuso localmente : F:X⊸Y{\ displaystyle F: X \ multimap Y}A{\ displaystyle A}X{\ displaystyle X}F(A){\ displaystyle F (A)}Y{\ displaystyle Y}
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5. Cfr Aubin e Frankowska 2009 , p.  38 o Migórski, Ochal e Sofonea 2012 , p.  53, o ancora:
   • Casimir Kuratowski , “  Funzioni semicontinue nello spazio di insiemi chiusi  ”, Fondo. Matematica. , vol.  18,1932, p.  148-159 ( leggi in linea ) ;
   • (en) Claude Berge ( tradotto  dal francese da EM Patterson), Spazi topologici: incluso un trattamento di funzioni multivalore, spazi vettoriali e convessità ["  Espaces topologiques, functions multivoques  "], Dover ,1963( leggi in linea ) , p.  109 ;
   • (en) RT Rockafellar e R. Wets, Variational Analysis , Springer, al.  "Grund. matematica. Wiss. "( N o  317),1998( leggi in linea ) , p.  193.
6. A causa di (in) C. Ursescu, "  Multifunzione con grafo chiuso convesso  " , Giornale matematico cecoslovacco , vol.  25, n o  3,1975, p.  438-441e (en) SM Robinson, "  Regolarità e stabilità per funzioni convesse multivalore  " , Matematica della ricerca operativa , vol.  1, n o  21976, p.  130-143 ( DOI  10.1287 / moor.1.2.130 ).
7. Il contenuto di questa sezione è derivato da § 2.3.2 (in) JF Bonnans e A. Shapiro, Disturbance Analysis of Optimization Problems , New York, Springer,2000( leggi online ).
8. È qui che entrano in conflitto le denominazioni aperte e chiuse . Eppure sono usati così.
9. Si parla qui di singolarità nel senso ampio del termine (e quindi non solo di singolarità isolata ), vale a dire che la funzione non è analitica nella singolarità ma che ogni intorno aperto non vuoto della singolarità contiene almeno un punto per il quale la funzione è analitica. Cfr. (En) John H. Mathews e Russel W. Howell, Complex Analysis for Mathematics and Engineering , Jones & Bartlett  (en) ,1997, 3 e  ed. ( leggi in linea ) , p.  232.

Vedi anche

Articoli Correlati

• Ramo principale (matematica)
• Punto di connessione
• Residuo all'infinito
• Teorema di selezione approssimativa
• Teorema di selezione di Michael

Bibliografia

 : documento utilizzato come fonte per questo articolo.

• (en) Jean-Pierre Aubin e Hélène Frankowska , Set-Valued Analysis , Springer ,2009( 1 a  ed. 1990 Birkhäuser ) ( riga di lettura )
• (en) Jean-Pierre Aubin e Arrigo Cellina, Differential Inclusions , Berlino, Springer, coll.  "  Grund. matematica. Wiss.  "( N o  264)1984( leggi online ) , "Mappe a valore impostato"
• (en) Stanisław Migórski, Anna Ochal e Mircea Sofonea, Inclusioni non lineari e disuguaglianze emivariate , Springer,2012( leggi online )
• Murray R. Spiegel ( trad.  Dall'inglese), Variabili complesse , New York / Montreal / Parigi, MacGraw-Hill / Ediscience, al.  "  Schaum  (in)  ",1973, 314  p. ( ISBN  2-7042-0020-3 , leggi online )