Spazio Lindelöf

In matematica , uno spazio di Lindelöf è uno spazio topologico di cui ogni sovrapposizione aperta ha una copertura inferiore numerabile . Questa condizione è un indebolimento della quasi compattezza , in cui si chiede l'esistenza di sotto-recuperi finiti. Si dice che uno spazio sia ereditario da Lindelöf se tutti i suoi sottospazi provengono da Lindelöf. Basta che siano le sue aperture.

Gli spazi di Lindelöf prendono il nome dal matematico finlandese Ernst Leonard Lindelöf .

Proprietà

Uno spazio è quasi compatto se e solo se è Lindelöf e numerabilmente compatto .
Qualsiasi spazio di Lindelöf pseudometrizzabile è separabile ( cfr. Proprietà degli spazi separabili ) e quindi ha una base numerabile ( cfr. Collegamento tra queste due nozioni ).
Affinché uno spazio X sia Lindelöf, è sufficiente che qualsiasi sovrapposizione di X per aperture di una base fissa abbia una copertura numerabile (la dimostrazione è la stessa dell'analogo per quasicompatti , sostituendo "finito" con "numerabile"). Ciò rende immediato il seguente risultato:
Lindelöf lemma - Qualsiasi spazio di base numerabile è Lindelöf.
Il contrario è generalmente falso. Ad esempio, la linea di Sorgenfrey S è di Lindelöf (e inoltre, separabile e con basi numerabili di quartieri ) ma non è base numerabile.
Tuttavia, da quanto sopra, per uno spazio pseudometrizzabile, le tre proprietà di base Lindelöf / separabile / numerabile sono equivalenti.
Qualsiasi chiuso di uno spazio Lindelöf è Lindelöf (la dimostrazione è analoga a quella della compattezza di qualsiasi chiuso di un compatto ).
Qualsiasi immagine continua di uno spazio Lindelöf è di Lindelöf.
Qualsiasi spazio di unione numerabile dei sottospazi di Lindelöf (in particolare qualsiasi spazio numerabile) è Lindelöf.

Dimostrazione

Sia uno spazio i cui sottospazi siano Lindelöf, e sia una copertura aperta di . Quindi ognuno è coperto da una sottofamiglia numerabile . Il tutto è numerabile e copre . ${\ displaystyle X = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} X_ {n}}$ $X_ {n}$ ${\ displaystyle (U_ {i}) _ {i \ in I}}$ $X$ $X_ {n}$ ${\ displaystyle (U_ {i}) _ {i \ in I_ {n}}}$ ${\ displaystyle J: = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} I_ {n}}$ ${\ displaystyle (U_ {i}) _ {i \ in J}}$ $X$

In generale, non vi è alcuna implicazione (in un modo o nell'altro) tra la proprietà Lindelöf e le altre proprietà di compattezza . Tuttavia:
- qualsiasi spazio σ-compatto è chiaramente Lindelöf (caso speciale della proprietà precedente);
- secondo un teorema di Morita , qualsiasi spazio regolare di Lindelöf è paracompatto (ea fortiori, normale quindi completamente regolare ); nel caso non separato , si mostra direttamente che un qualsiasi spazio di Lindelöf T 3 è T 4 quindi uniformabile .
Tutto lo spazio di Lindelöf è uno spazio-Hewitt Nachbin (en) (o, equivalentemente: un potere chiuso - possibilmente infinito - di ℝ).

Spazi fortemente Lindelöf

Se ω 1 denota il primo ordinale non numerabile , l'apertura [0, ω 1 [del compatto [0, ω 1 ] non è Lindelöf.

Si dice che uno spazio sia fortemente di Lindelöf se tutte le sue aperture sono di Lindelöf.

Qualsiasi spazio fortemente Lindelöf viene ereditato da Lindelöf, cioè tutti i suoi sottospazi sono Lindelöf. (Per verificare ciò, è sufficiente scrivere che qualsiasi copertura aperta di una parte Y di X è della forma ( Y ⋂ O i ) dove gli O i sono aperture di X e che la loro unione O è quindi un aperto contenente Y e coperto dal O i .)
Qualsiasi spazio di base numerabile è fortemente Lindelöf (poiché i suoi sottospazi sono base numerabile).
Ogni spazio sublineano è fortemente Lindelöf.
La proprietà di Lindelöf di essere fortemente è preservata da riunioni numerabili, sottospazi e immagini continue.
Qualsiasi misura di Radon su uno spazio fortemente Lindelöf è moderata, cioè la sua misura esternamente regolare associata è σ-finita .

Prodotto Lindelöf Spaces

Un prodotto spaziale Lindelöf non è sempre Lindelöf. Il classico controesempio è il piano Sorgenfrey S × S , un prodotto della linea Sorgenfrey S da solo. Nel piano S × S , l'antidiagonale D (la retta dell'equazione y = - x ) è un sottospazio discreto quindi non è Lindelöf (poiché D non è numerabile). Ora D è una chiusura di S × S , che quindi non è nemmeno Lindelöf.

Tuttavia, il prodotto di uno spazio Lindelöf per uno spazio quasi compatto è Lindelöf.

Generalizzazione

Uno spazio è detto essere κ -Compact (o κ -Lindelöf ), per un determinato cardinale κ eventuale coperchio aperto ha una sottocopertura di cardinalità strettamente inferiore rispetto κ. Gli spazi quasi compatti sono quindi i ℵ 0 -compatti e gli spazi di Lindelöf sono i ℵ 1 -compatti.

A qualsiasi spazio X associamo il suo grado Lindelöf , o numero Lindelöf , indicato con L ( X ) e il suo grado Lindelof ereditario , indicato con hL ( X ):

L ( X ) è il più piccolo cardinale infinito κ tale che qualsiasi copertina aperta di X ha una sottocopertura di cardinalità minore o uguale a κ e hL ( X ) è il limite superiore di L ( Y ) per tutte le porzioni Y di X .

Con questa notazione, X è di Lindelöf se e solo se L ( X ) = ℵ 0 , ma i dati di L ( X ) non sono sufficienti per distinguere se X è quasi compatto o solo di Lindelöf. Pertanto, sebbene meno comune, alcuni autori danno il nome numero di Lindelöf di X (o talvolta grado di compattezza ) Un concetto diverso: il più piccolo cardinale infinito κ tale che X sia κ- compatto.

La cardinalità di uno spazio separato X è limitata secondo il suo grado di Lindelöf L ( X ) e il suo carattere $χ$ ( X ): | X | ≤ 2 L ( X ) $χ$ ( X ) . Ad esempio, qualsiasi spazio Lindelöf separato (in particolare qualsiasi spazio compatto ) con basi numerabili di quartieri ha al massimo la potenza del continuum .

È anche limitato secondo il suo grado di Lindelöf ereditario: | X | ≤ 2 hL ( X ) .

Note e riferimenti

Ad esempio, qualsiasi apertura di ℝ (fornita con la normale topologia ) è un'unione numerabile di intervalli aperti.
N. Bourbaki , elementi di matematica, Libro III: Topologia generale [ dettaglio di edizioni ], cap. Io, p. 107 , esercizio 15.
(in) K. Morita , " Rivestimenti a stella finita e proprietà a stella finita " , Math. Jap. , vol. 1,1948, p. 60-68
Questo teorema è spesso citato nella forma “qualsiasi spazio di Lindelöf è normale” ma l'assunzione di regolarità, sebbene implicita, è essenziale: cfr. “ Quando è un Lindelof Space Normal? »Sul blog di topologia di Dan Ma o (en) Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach, Jr. , Counterexamples in Topology , Dover ,1995( 1 a ed. Springer , 1978), 244 p. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , leggi online ) , p. 82, Counterexample 60 (Relately Prime Integer Topology) e Counterexample 61 (Prime Integer Topology) , due topologie su ℕ *, separate, Lindelöf e non normali, meno fini della restrizione a ℕ * della topologia degli interi uniformemente spaziati : prendiamo come base aperta l' una ℕ * + b con un e b privilegiata tra di loro (risp. un primo ).
( entra ) MG Murdeshwar , General Topology , New Age International,1990, 2 ° ed. , 357 p. ( ISBN 978-81-224-0246-9 , leggi online ) , p. 256, " Lemma di Tychonoff "
Murdeshwar 1990 , p. 255
(in) Chris Buono , "The Lindelöf proprietà" in KP Hart J.-I. Nagata e JE Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2003, 1 ° ed. ( ISBN 978-0-08053086-4 , leggi online ) , p. 182-184
(a) Mary Ellen Rudin , Lectures Set Theoretic Topology , AMS , al. " Conference Board of the Mathematical Sciences ",1975( leggi in linea ) , p. 4
Per maggiori dettagli si veda ad esempio (in) Alessandro Fedeli , " Sulla cardinalità degli spazi di Hausdorff " , Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae , vol. 39, n o 3,1998, p. 581-585 ( leggi in linea ).

(it) Michael Gemignani , Topologia elementare ,1972, 270 p. ( ISBN 978-0-486-66522-1 , letto online ) , cap. 7.2
(en) István Juhász (hu) , Cardinal Functions in Topology - Ten Years Later , Amsterdam, Math. Tracts Center,1980, 160 p. ( ISBN 978-90-6196-196-3 , leggi online )

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Lindelöf space " ( vedere l'elenco degli autori ) .

Vedi anche

Link esterno

(it) Chris Good, " The Lindelöf Property " , dell'Università di Birmingham ,2002