Spazio notevolmente compatto

In matematica , uno spazio numerabilmente compatto è uno spazio topologico di cui qualsiasi sovrapposizione da parte di una famiglia numerabile di aperture ha una copertura limitata. La nozione di compattezza numerabile mantiene stretti legami con quelle di quasi-compattezza e compattezza e quella di compattezza sequenziale . Per uno spazio metrizzabile , questi quattro concetti sono equivalenti.

Tre definizioni equivalenti

Sia X uno spazio topologico (non dovrebbe essere separato ). Se una delle seguenti tre proprietà è vera, allora tutte e tre sono vere e X si dice che sia numerabilmente compatto:

qualsiasi copertura numerabile di X per aperture ha una copertura finita (o ancora: l'intersezione di qualsiasi sequenza decrescente di quelle chiuse non vuote è non vuota);
in X , ogni sequenza ha almeno un valore di aderenza ;
ogni parte infinita ha un file punto di accumulo .

Questa istruzione utilizza due definizioni ausiliarie: un punto x di X è:

valore di aderenza di una successione u se, per ogni intorno V di x , esiste un'infinità di indici n tali che il termine u n appartiene a V , ovvero se x appartiene all'intersezione della successione decrescente di chiuso non vuoto ${\ displaystyle {\ overline {\ left \ {u_ {k} \ mid k \ geq n \ right \}}}}$ ;
punto di accumulazione di una porzione Y di X se ogni zona di x contiene infiniti punti Y .

Equivalenza delle tre definizioni

1. ⇒ 2. è immediato.
2. ⇒ 1. perché per ogni successione decrescente ( F n ) di quelle chiuse non vuote, se si sceglie un punto u n in ogni F n allora qualsiasi valore di aderenza della successione u appartiene all'intersezione della F n .
2. ⇒ 3. perché qualsiasi valore di adesione di una sequenza iniettiva è punto di accumulo della sua immagine .
3. ⇒ 2. per contrapposizione perché se una sequenza non ha valore di aderenza allora l'insieme dei suoi valori è infinito (poiché ogni valore è preso solo un numero finito di volte) e non ha punto di accumulo.

Collegamento con quasi compattezza e compattezza

Si dice uno spazio X :

quasi-compatto se qualsiasi copertura di X mediante aperture ha una copertura finita (compatta se è quasi-compatta e separata);
di Lindelöf se ogni copertura di X per aperture ha una copertura inferiore numerabile.

Quindi abbiamo banalmente , con la prima delle tre definizioni equivalenti sopra:

Uno spazio è quasi compatto se e solo se è sia Lindelöf che compatto.

Per quanto riguarda la seconda delle tre definizioni sopra, somiglia molto alla seguente caratterizzazione di quasi-compattezza, con una grande differenza: sostituiamo le sequenze con sequenze generalizzate : X è quasi-compatto se e solo se, in X , qualsiasi sequenza generalizzata ha almeno un valore di adesione.

Come la compattezza , la compattezza numerabile è preservata da sottospazi chiusi e immagini continue .

Dalla conservazione per sottospazi chiusi, deduciamo una condizione sufficiente (e ovviamente necessaria se lo spazio è separato) di convergenza di una successione :

In uno spazio numerabilmente compatto, se l'insieme (non vuoto) di valori di adesione di una sequenza è ridotto a un singoletto { y }, allora questa sequenza converge a y .

Dimostrazione

Indichiamo con F n l'aderenza dell'insieme di termini con indici maggiori di n di questa successione. Per ipotesi, l'intersezione di questi chiusi è ridotta a { y } quindi per ogni O aperto contenente y , il chiuso F n \ O forma una sequenza decrescente di intersezione vuota. Uno di essi è quindi vuoto, vale a dire che O contiene una F n ea fortiori , tutti i termini della serie di indici maggiori di n .

Dalla conservazione per immagini continue, deduciamo una proprietà dei compatti (che generalizza il teorema dei limiti ), spesso citata ma non specifica ad essi: ogni spazio numerabile X è pseudo-compatto (in) , cioè ogni funzione continua da X a ℝ è limitato . Il contrario è vero per uno spazio normale . Uno spazio è compatto se e solo se è pseudo-compatto e se è uno spazio-Hewitt Nachbin (en) (o, equivalentemente: una potenza chiusa - possibilmente infinita - di ℝ).
Spazi ragionevolmente compatti soddisfano anche una proprietà strettamente più forte di questa pseudo-compattezza:

Se X è numerabilmente compatto e se f : X → ℝ è semicontinuo superiormente , allora f è limitata e raggiunge il suo limite superiore .

Contrariamente alla quasi-compattezza ( cfr. Teorema di Techonov ), la compattezza numerabile non è preservata dai prodotti , anche finiti (la proprietà di essere neanche di Lindelöf). Inoltre, una parte di Lindelöf o compatta in modo numerabile di uno spazio separato non è sempre chiusa, mentre una parte compatta lo è.

Collegamento con compattezza sequenziale

Uno spazio X è detto sequenzialmente compatto se qualsiasi sequenza in X ha un convergente sottosequenza .

È quindi chiaro, con la seconda delle tre definizioni equivalenti di cui sopra, che

Qualsiasi spazio sequenzialmente compatto è numerabilmente compatto e il contrario è vero per gli spazi con basi numerabili di quartieri .

Il contrario è vero anche sotto un'altra ipotesi:

Per ogni spazio separato (o anche solo T 1 ) e sequenziale , la compattezza sequenziale è equivalente alla compattezza numerabile.

Cassa metrizzabile

Le seguenti equivalenze forniscono, tra le altre cose, una dimostrazione alternativa naturale del teorema di Bolzano-Weierstrass :

Per qualsiasi spazio metrizzabile,
compatto ⇔ quasi compatto ⇔ numerabilmente compatto ⇔ sequenzialmente compatto. Dimostrazione

Lasciate che X sia uno spazio metrico (quindi separato e con basi numerabile di quartieri). Da quanto sopra, sappiamo già che per X ,

compatto ⇔ quasi compatto ⇒ numerabile compatto ⇔ sequenzialmente compatto.

Resta quindi solo da mostrare che se X è numerabile ("e" sequenzialmente) compatto, allora è Lindelöf (quindi quasi-compatto), che risulta dalla seguente sequenza: qualsiasi metrica sequenzialmente compatta è precompatta in modo ovvio, quindi separabile , quindi da Lindelöf .

Spazi angelici

Parte A di uno spazio topologico X si dice che sia relativamente compatto denumerably se ogni sequenza in A ha un valore di adesione a X . (In uno spazio normale , l' adesione di una tale parte è numerabilmente compatta, ma in uno spazio di Tychonoff non sempre, come nell'esempio del sottospazio [0, ω 1 [ × [0, ω] della scacchiera Tychonoff [0, ω 1 ] × [0, ω].)

Uno spazio a parte è detto angelico se per parte A relativamente denumerably compatto, adesione di A è compatto e ridotto alla chiusura sequenziale di A .

Gli spazi metrizzabili sono quindi un primo esempio di spazi angelici. Le seguenti proprietà mostrano che gli spazi vettoriali normalizzati , dotati della topologia debole , sono un altro (vedi teorema di Eberlein-Šmulian ):

in ogni spazio angelico, le parti numerabilmente compatte, sequenzialmente compatte e compatte sono le stesse, e le stesse per le tre nozioni relative;
ogni sottospazio di un angelico è angelico;
su uno spazio angelico, qualsiasi topologia regolare più fine è ancora angelica;
lo spazio delle funzioni continue di uno spazio compatto in uno spazio metrizzabile, provvisto della topologia della semplice convergenza , è angelico.

In particolare, le compatte di Eberlein (fr) , cioè le parti compatte di uno spazio debolmente Banach , sono angeliche. Più in generale, qualsiasi compatta Corson è angelica.

La nozione di g-spazio rende anche possibile formulare due caratterizzazioni di spazi angelici:

Uno spazio separato è uno spazio g se tutte le sue parti relativamente compatte numerabili sono relativamente compatte .
Uno spazio separato è angelico se e solo se è uno spazio g di cui tutti i compatti sono di Fréchet-Urysohn .
Gli spazi angelici sono esattamente gli spazi g "ereditari" (cioè, ogni sottospazio di cui è ancora uno spazio g ).

Controesempi nel caso generale

In generale, abbiamo solo "quasi-compatto ⇒ numerabile compatto" e "sequenzialmente compatto ⇒ numerabile compatto".

I seguenti due spazi separati forniscono contro-esempi per le altre quattro implicazioni tra queste tre nozioni:

l' ordinale ω 1 fornito con la topologia dell'ordine è sequenzialmente compatto ma non compatto;
al contrario, il prodotto di un'infinità innumerevole di copie del segmento [0, 1] è compatto ma non sequenzialmente compatto.

Spazio poco numerabile compatto

Esiste una variante della terza delle definizioni di compattezza numerabile, inferiore in generale ma equivalente non appena X è T 1 : X è debolmente compatto numerabile (o "compatto per punti limite", o "Fréchet-compatto") se esiste la parte infinita Y di X ammette un punto limite , cioè un punto x di X il cui intorno incontra Y \ { x }.

Note e riferimenti

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Gaal 1964 , p. 129, poi dice che X possiede la "proprietà di Bolzano-Weierstrass" .
Vedi anche Gaal 1964 , p. 128-129.
(ps) Raymond Mortini, Topologia , teorema 7.2 p. 32 (Mortini usa, come gli anglofoni, la parola “compact” per designare i nostri quasi compatti).
(it) Yao-Liang Yu , varie nozioni di compattezza , University of Alberta ,2012( leggi online ).
Cfr. N. Bourbaki , Elementi di matematica, libro III: Topologia generale [ dettaglio delle edizioni ], p. IX.93, es. 24, per spazi separati e numerabilmente compatti, che chiama "semi-compatti"
Gustave Choquet , Corso di analisi, Volume II: Topologia , p. 34-35e Hervé Queffélec , Topology , Dunod,2007, 3 e ed. , p. 70, dimostrato solo nel caso di spazi compatti e per una sequenza, ma con evocazione della generalizzazione naturale per un filtro , sotto questa ipotesi più forte di quasi-compattezza.
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