Teorema fondamentale dell'algebra

In matematica , il teorema fondamentale dell'algebra , chiamato anche teorema di d'Alembert-Gauss e teorema di d'Alembert , indica che ogni polinomio non costante , con coefficienti complessi , ammette almeno una radice . Di conseguenza, ogni polinomio con coefficienti interi , razionali o anche reali ammette almeno una radice complessa, perché anche questi numeri sono complessi. Stabilito questo risultato, diventa semplice mostrare che su ℂ, il campo dei numeri complessi, qualsiasi polinomio P è sdoppiato , cioè costante o prodotto di polinomi di grado 1.

Il tempo ha reso alquanto paradossale l'espressione del teorema fondamentale dell'algebra . Non c'è infatti alcuna dimostrazione puramente algebrica di questo teorema. È necessario utilizzare risultati topologici o analitici per la sua dimostrazione. L'espressione deriva da un'epoca in cui l'algebra si identificava essenzialmente con la teoria delle equazioni , cioè la risoluzione delle equazioni polinomiali. I confini dell'algebra sono ora cambiati, ma il nome del teorema è rimasto.

Le conseguenze del teorema sono numerose; in algebra lineare questo risultato è essenziale per la riduzione dell'endomorfismo ; in analisi interviene nella scomposizione in elementi semplici di funzioni razionali usate per trovare un primitivo . Si trovano anche nella teoria algebrica dei numeri , in un risultato di base che indica che qualsiasi estensione algebrica del campo dei razionali può essere considerata come un sottocampo di quello dei complessi.

La storia degli spettacoli teorema l'importanza del risultato agli occhi dei matematici del XVIII ° secolo . I più grandi nomi, come quelli di d'Alembert , Eulero , Lagrange o Gauss , ne hanno dato prova, con alterne fortune. La varietà e la ricchezza dei metodi progettati per questo scopo è stato un potente motore per lo sviluppo della ricerca in matematica e in particolare per una migliore comprensione dei numeri complessi.

Dichiarazioni

Il teorema fondamentale dell'algebra ammette diverse affermazioni equivalenti.

Teorema di D'Alembert-Gauss - Qualsiasi polinomio non costante, con coefficienti complessi, ammette almeno una radice complessa.

Ad esempio, $1 + i$ è una radice del polinomio X 4 + 4. In questa forma, il teorema afferma l'esistenza di una radice del polinomio P ( X ) ma non spiega come trovare esplicitamente questa radice. Questa affermazione esistenziale descrive più di una proprietà del campo dei numeri complessi. Un campo si dice algebricamente chiuso se qualsiasi polinomio di grado strettamente positivo e con coefficienti in questo campo ammette almeno una radice in questo campo. Il teorema può quindi essere riformulato come segue:

(i) Il campo ℂ è algebricamente chiuso.

Questo risultato può essere riformulato anche in termini di fattorizzazione di polinomi a coefficienti complessi:

(ii) Ogni polinomio con coefficienti complessi è diviso .

Questi risultati indicano che un polinomio con coefficienti complessi di grado n , che può essere scritto a n X n +… + a 1 X + a 0, si scrive anche a n ( X - α 1 )… ( X - α n ). Qui la famiglia (α k ), per k variabile da 1 a n , è quella delle radici. Alcuni numeri α k possono essere uguali; si parla quindi di radici multiple .

Il teorema fondamentale dell'algebra è equivalente a ciascuna delle seguenti affermazioni:

(iii) Ogni polinomio non costante con coefficienti reali ha almeno una radice complessa. (iv) I polinomi irriducibili con coefficienti reali sono esattamente i polinomi di grado 1, e i polinomi di grado 2 con discriminante strettamente negativo (scrivendo aX 2 + bX + c, con a diverso da zero e b 2 - 4 ac <0 ) . (v) Qualsiasi polinomio non costante con coefficienti reali è scritto come prodotto di polinomi con coefficienti reali di grado 1 o 2. Dimostrazione di equivalenze

(i) ⇒ (ii): Dimostriamo (ii) per induzione su n , il grado di un polinomio, da (i). Se n è uguale a 0, non c'è nulla da dimostrare. Supponiamo il risultato impostato per ogni polinomio di grado n e sia P un polinomio di grado n + 1. (i) implica l'esistenza di una radice α P . Il polinomio si scrive allora P ( X ) = ( X - α) Q ( X ) con Q di grado n quindi sdoppiato per ipotesi di induzione, cosicché anche P è sdoppiato, quindi (ii) è dimostrato.

(ii) ⇒ (v): Per (ii), ogni polinomio P con coefficienti reali è diviso su ℂ. Se α è una radice complessa (non reale) di P ( X ), lo è anche la sua coniugata α , con lo stesso ordine di molteplicità , e ( X - α) ( X - α ) ha coefficienti reali. Si ottiene quindi (v) raggruppando i termini per ogni radice complessa.

(v) ⇒ (iv): Secondo (v), se P è irriducibile, può essere solo di grado 1 o 2. Se è di grado 1, è infatti irriducibile. Se è di grado 2, è irriducibile (su ℝ) se e solo se il suo discriminante è strettamente negativo.

(iv) ⇒ (iii): Un polinomio P non costante a coefficienti reali ammette almeno un divisore irriducibile R su ℝ. Tale R è, secondo (iv) di grado 1 o 2, e quindi ha un complesso di radici, che è allora anche radice di P .

(iii) ⇒ (i): Sia P ( X ) un polinomio a coefficienti complessi, e P * ( X ) il polinomio ottenuto sostituendo ogni coefficiente di P ( X ) con il suo coniugato. Allora P ( X ) P * ( X ) = R ( X ) ha coefficienti reali. Per (iii), R ( X ) ammette una radice complessa α, quindi P (α) P * (α) = 0. Quindi, se α non è una radice di P , allora P * (α) = 0, che dà P ( α ) = P * (α) = 0 = 0. Quindi, α o il suo coniugato è una radice di P , il che dimostra (i).

Usi

Analisi

A volte appare necessario calcolare una derivata di una funzione razionale , cioè di una funzione quoziente di due funzioni polinomiali. Possiamo considerare la funzione f definita da:

f (x) = {\ frac {5x ^ {2} -3x-11} {x ^ {3} -2x ^ {2} -5x + 6}}.

Un corollario del teorema fondamentale indica che il denominatore è scomposto in elementi di primo grado; qui troviamo:

x ^ {3} -2x ^ {2} -5x + 6 = (x-1) (x + 2) (x-3).

Una scomposizione in elementi semplici della funzione mostra l'esistenza di tre valori a , b e c tali che:

f (x) = {\ frac a {x-1}} + {\ frac b {x + 2}} + {\ frac c {x-3}}.

Un rapido calcolo mostra che a = 3/2, b = 1 e c = 5/2; il calcolo dell'antiderivata diventa quindi facilmente realizzabile.

Algebra lineare

La riduzione dell'endomorfismo utilizza i polinomi. Possiamo scegliere come caso speciale un endomorfismo autoaggiunto a di uno spazio euclideo E per illustrare l'uso del teorema. La sua matrice in una base ortonormale è quindi simmetrica e tutti i suoi autovalori sono reali. Il polinomio caratteristico di a ammette, secondo il teorema fondamentale dell'algebra, una radice . È un autovalore di a . Notando che lo spazio ortogonale F all'autospazio di autovalore è stabile per a si capisce che l'endomorfismo è diagonalizzabile . Basta, infatti, ora applicare la stessa riduzione al vincolo da a ad F , anch'esso autocongiunto. Gradualmente l'endomorfismo a viene così diagonalizzato.

Questo esempio è scelto tra molti altri. La diagonalizzazione di un endomorfismo appare spesso come conseguenza dell'esistenza di una radice del polinomio caratteristico o minimo .

Aritmetica

Uno degli oggetti della tradizionale teoria algebrica dei numeri è lo studio dei campi numerici , cioè estensioni finite del campo ℚ dei numeri razionali. Tutti questi campi sono algebrici su quindi sono immersi nella sua chiusura algebrica , il campo ℚ dei numeri algebrici . Secondo il teorema fondamentale dell'algebra, si immerge in .

Dimostrazioni

Prove dirette

La dimostrazione qui presentata dettaglia quella di Cauchy .

Consideriamo un polinomio di grado $n > 0$ a coefficienti complessi, $P ( X ) = a 0 + a 1 X +\dots + a n X n$ .

Innanzitutto, viene stabilita l'esistenza di un minimo globale per la funzione in $z$ combina l' unità di $P ( z )$ . Per questo, notiamo che se il modulo di $z$ è sufficientemente grande, anche il modulo di $P ( z )$ è grande e quindi l'insieme di z per cui $| P ( z ) |$ non è troppo grande è necessariamente limitato. Allora, usiamo il fatto che ogni chiuso limitato di è compatto e che una funzione continua di un compatto in ℝ ha un'immagine essa stessa compatta, quindi chiusa e limitata , il che implica che la funzione raggiunge il suo limite inferiore , ad un certo punto $z 0$ .

Infine, ragioniamo per assurdo: supponiamo che l'immagine di $z 0$ di $P$ non sia zero. Troviamo una “direzione” $c$ (un numero complesso diverso da zero) tale che la funzione di ℝ in ℝ che associa a $t$ il modulo di $P ( z 0 + tc )$ sia, per ogni $t > 0$ abbastanza piccolo, strettamente minore di il suo valore in $0$ . Questa contraddizione ci permette di concludere.

Questa dimostrazione è quindi essenzialmente basata sul fatto che ha la proprietà del limite superiore .

Dimostrazione dettagliata

Mostriamo prima un lemma , che corrisponde a un caso molto particolare di equazione polinomiale.

Per ogni intero $n > 0$ , qualsiasi numero complesso ha almeno un $n$ -esimo radice in ℂ :

Scrivendo un numero complesso

a

in forma polare

{\ displaystyle a = \ rho \; \ left (\ cos \ theta + \ mathrm {i} \ sin \ theta \ right) \ quad {\ text {con}} \ quad \ rho \ in \ mathbb {R} _ {+} \ quad {\ text {e}} \ quad \ theta \ in \ mathbb {R}}

poi in posa

{\ displaystyle c = {\ sqrt [{n}] {\ rho}} \; \ left (\ cos {\ frac {\ theta} {n}} + \ mathrm {i} \ sin {\ frac {\ theta } {n}} \ destra)}

,si ottiene, secondo la formula di Moivre :

{\ displaystyle \ quad c ^ {n} = a}

Studiamo ora il caso generale.

Esiste un punto $z 0$ in cui si raggiunge il minimo del modulo di $P ( z )$ :

La funzione in

z

unisce il modulo

P ( z )

assume valori nel reale positivo. L'immagine di questa funzione è una parte non vuota ridotta di ; ammette quindi un limite inferiore, qui annotato

m

. Quando

| z |

tende all'infinito, il modulo di

P ( z )

, equivalente a

| a n z n |

, tende all'infinito. È quindi maggiore di

m + 1 non

appena

| z |

è abbastanza grande, diciamo maggiore di un certo valore

M

. Questo mostra che

m

è anche il limite inferiore di

| P ( z ) |

su Modulo complesso minore di

M

. Questi formano un compatto; la funzione

| P ( z ) |

su questo compatto essendo continuo, raggiunge il suo limite inferiore

m

, che prova la proposizione.

Esiste quindi un complesso $z 0$ tale che $| P ( z 0 ) | = M$ . Indichiamo con $Q ( X )$ il polinomio $P ( z 0 + X )$ . È un polinomio dello stesso grado di $P$ , e il cui modulo assume nel punto $0 il$ suo valore minimo $m$ . Introduciamo notazioni per i suoi coefficienti:

{\ displaystyle Q (X) = P (z_ {0} + X) = b_ {0} + b_ {k} X ^ {k} + b_ {k + 1} X ^ {k + 1} + \ cdots + b_ {n} X ^ {n} \ quad {\ text {con}} \ quad | b_ {0} | = m, \; b_ {k} \ neq 0}

Qui, $k$ denota il più piccolo indice strettamente positivo tale che il coefficiente $b k$ non sia zero. Questo indice esiste perché il polinomio non è costante.

Il lemma ci permette di stabilire la seguente proposizione, che conclude la dimostrazione.

Il minimo $m = | P ( z 0 ) |$ è zero:

Indichiamo con

c

k

-esima radice (ce ne sono alcune, secondo il lemma) del complesso -

b k

b 0

. Quindi,

b k c k = - | b k | 2 b 0

. Sia

f

la funzione che associa il reale ad ogni reale

t

| Q ( tc ) |

. È scritto:

{\ displaystyle f (t) = \ left | b_ {0} -b_ {0} | b_ {k} | ^ {2} t ^ {k} + c_ {k + 1} t ^ {k + 1} + \ cdots + c_ {n} t ^ {n} \ destra | \ quad {\ text {con}} \ quad c_ {i} = b_ {i} c ^ {i}}

, il che dimostra che

{\ displaystyle \ forall t \ in \ left] 0, \ min \ left (1 / | b_ {k} | ^ {2}, 1 \ right) \ right] \ quad f (t) \ leq m \ left ( 1- | b_ {k} | ^ {2} t ^ {k} \ destra) + t ^ {k + 1} \ sinistra | c_ {k + 1} + \ cdots + c_ {n} t ^ {nk- 1} \ destra | \ leq m \ sinistra (1- | b_ {k} | ^ {2} t ^ {k} \ destra) + t ^ {k + 1} C = mt ^ {k} \ sinistra (m | b_ {k} | ^ {2} -Ct \ destra)}

, dove

C

denota la somma dei moduli di

c i

.Se

m

non fosse zero, scegliendo, nell'intervallo precedente, un reale

t < m | b k | 2 / C

, avremmo quindi

| P ( z 0 + tc ) | = f ( t ) < m

, che contraddirebbe la definizione di

m

(minimo di

| P ( z ) |

). Quindi

m = 0

z 0

è una radice di

P

, che termina la dimostrazione.

Per il teorema di Liouville

Una prova molto conciso è basato sul teorema di Liouville in analisi complessa . A tal fine, consideriamo un polinomio P a coefficienti complessi, di grado almeno uguale a 1. Supponiamo che non abbia radice: quindi, la funzione razionale 1 / P è intera e limitata (perché tende da 0 all'infinito, secondo la precedente dimostrazione); il teorema di Liouville, deduciamo che è costante, il che contraddice l'assunzione sul grado, e quindi dimostriamo per assurdo che esiste almeno una radice di P .

Per il teorema di Rouché

Un'altra prova concisa si basa sul teorema di Rouché in analisi complessa . Consideriamo il polinomio p con valori in definito da:

p (z) = a_ {0} + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}

supponendo che il coefficiente $a n$ sia diverso da zero. Basta allora confrontare questo polinomio con $un n z n$ su una circonferenza sufficientemente grande da dedurre, applicando il teorema di Rouché, che p ha tanti zeri (con molteplicità) quanti $a n z n$ , cioè $n$ .

Per il teorema di Cauchy

Una terza prova concisa è basato sul teorema integrale di Cauchy in analisi complessa . Per assurdità, supponiamo che per ogni $z \in ℂ$ , $P ( z ) \neq 0$ e consideriamo la seguente funzione $P' ( z ) / P ( z )$ che è olomorfo su $ℂ$ . Per il teorema integrale di Cauchy si ha

{\ displaystyle \ forall \ rho \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}

{\ displaystyle \ int _ {| z | = \ rho} {\ frac {P '(z)} {P (z)}} \ mathrm {d} z = 0.}

Tuttavia, eseguendo la divisione polinomiale di $P' ( z ) / P ( z )$ , si ottiene dopo l'inversione della somma e dell'integrale sulla serie assolutamente convergente che

{\displaystyle\lim\limits _ {\rho\rightarrow +\infty} \ int _ {| z | = \rho} {\frac {P '(z)} {P (z)}} \ mathrm {d} z = 2 \ pi i \ nomeoperatore {gradi} P \ neq 0.}

Esiste quindi una contraddizione e il polinomio P ha almeno una radice.

Per il teorema di inversione locale

Poiché $P$ è continua e la mappa P è propria quindi la sua immagine $Im ($ $P$ $)$ è chiusa, quindi donc $\ Im ($ $P$ $)$ è aperta . Inoltre, per il teorema di inversione locale , ${\ displaystyle \ lim \limits _ {| z | \ rightarrow + \ infty} | P (z) | = + \ infty}$

$P ({ z \in ℂ | P ' ( z ) \neq 0})$ è aperto; la sua intersezione con l'insieme $R : = ℂ \ P ({ z ∈ ℂ | P ' ( z ) = 0})$ di valori che o non sono raggiunti da $P$ , o raggiunti ma non critici , è quindi un aperto di $R$ , complementare in $R$ del precedente aperto.

Ora (poiché $P '$ ha solo un numero finito di radici) $R$ è cofinito e quindi connesso . Uno dei suoi due aperti è quindi vuoto. Non può essere il secondo, perché è uguale a $Im ( P ) \ P ({ z ∈ ℂ | P ' ( z ) = 0})$ .

Pertanto, $ℂ \ Im ( P ) = ∅$ , che implica $Im ( P ) = ℂ$ . Abbiamo quindi $0 \in Im ( P )$ e quindi esiste un numero $z \in ℂ$ tale che $P ( z ) = 0$ .

Un'omotopia tra due lacci è una deformazione continua che permette di passare dal primo laccio al secondo. L'articolo dettagliato mostra che se P è un polinomio di grado n e se è un numero reale sufficientemente grande, l'imbardata α è definita sulla circonferenza unitaria da:
$\ forall t \ in [0,1] \ quad \ alpha (t) = {\ frac {P (\ rho \ exp (2 \ pi {\ mathrm i} t))} {| P (\ rho \ exp ( 2 \ pi {\ mathrm i} t)) |}}$
fai il giro del cerchio n volte. Se il polinomio P non avesse radice, questo merletto sarebbe omotopico in un punto. Questa contraddizione è alla base della dimostrazione proposta nell'articolo dettagliato.

Corpo reale chiuso

Non esiste una dimostrazione puramente algebrica del “teorema fondamentale dell'algebra” perché, in un luogo o nell'altro, intervengono necessariamente considerazioni di continuità. Questo punto non fu del tutto chiarito fino al 1927, da Emil Artin e Otto Schreier , con la teoria dei corpi ordinati e dei corpi reali chiusi . Questi autori portarono al seguente teorema di algebra , “attribuito” da N. Bourbaki a Eulero e Lagrange :

Teorema - Per ogni campo commutativo K , le seguenti due proprietà sono equivalenti:

K soddisfa le seguenti due condizioni:(1.a) K è euclideo , cioè i suoi quadrati formano gli elementi positivi di un ordine totale compatibile con la sua struttura corporea;(1.b) ogni polinomio di grado dispari in K [ X ] ha radice in K .
–1 non è un quadrato in K e K ( $i$ ), dove $i$ è una radice quadrata di –1 , è algebricamente chiuso.

Diciamo allora che K è un “corpo massimale ordinato”, o addirittura un “corpo reale chiuso”.

Dimostrazione di 1 ⇒ 2

Si noti innanzitutto che per ogni campo completamente ordinabile K , –1 non è una somma dei quadrati in K (in particolare, K ha caratteristica 0 e quindi infinito ). Resta da dimostrare se K soddisfa anche (1.a) e (1.b), allora K ( $i$ ) è algebricamente chiuso.

Fase 1: qualsiasi equazione quadratica con coefficienti in K ( $i$ ) ha le sue due soluzioni in K ( $i$ ) : basta mostrare che il suo discriminante a + b $i$ ( a , b ∈ K ) è un quadrato in K ( $i$ ). Ora è il quadrato di c + d $i$ dato da $c ^ {2} = {\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} 2}, \ quad d ^ {2} = {\ frac {-a + {\ sqrt { a ^ {2} + b ^ {2}}}} 2}$ con c , d ∈ K - per (1.a) - e scelto coerentemente in modo che 2 cd abbia non solo lo stesso quadrato di b , ma lo stesso segno.
Passaggio 2: qualsiasi polinomio F non costante con coefficienti in K ha radice in K ( $i$ ) : indichiamo il suo grado con n , quindi poniamo n = 2 p q , dove q è dispari. La dimostrazione è una ricorrenza a p . Per p = 0, F ammette una radice in K da (1.b). Supponiamo p > 0 e il risultato noto per tutti i polinomi in K [ X ] di grado non divisibile per 2 p . Sia E un campo di scomposizione di F ; indichiamo quindi con x i (1 ≤ i ≤ n ) le radici di F in E (ripetute tante volte quante sono multiple). Per ogni elemento c di K , introduciamo il polinomio $G_ {c} = \ prod _ {{1 \ leq i <j \ leq n}} \ sinistra (X-x_ {i} -x_ {j} -cx_ {i} x_ {j} \ destra).$ Questo polinomio è di grado n ( n - 1) / 2 = 2 p –1 q ( n - 1) che non è divisibile per 2 p . I coefficienti di G c sono inoltre elementi di K : sono infatti polinomi simmetrici a coefficienti in K nella x i quindi - secondo le relazioni tra coefficienti e radici - sono polinomi a coefficienti in K in coefficienti di F , che anche appartengono a K . Possiamo quindi applicare l'ipotesi di induzione a G c e concludere che ha almeno una radice in K ( $i$ ). Possiamo quindi isolare due indici i ( c ) e j ( c ) tali che $x _ {{i (c)}} + x _ {{j (c)}} + cx _ {{i (c)}} x _ {{j (c)}} \ in K ({\ rm { io).} }$ Il campo K è infinito, mentre l'insieme delle coppie di indici è finito; Esistono quindi due elementi c e d di K tale che i ( c ) = i ( d ) e j ( c ) = j ( d ); indichiamo i = i ( c ) = i ( d ) e j = j ( c ) = j ( d ). Poiché x i + x j + cx i x j e x i + x j + dx i x j appartengono a K ( $i$ ) con c ≠ d , deduciamo che anche x i + x j e x i x j appartengono a K ( $i$ ), allora che x i e x j sono a loro volta radici di un polinomio quadratico con coefficienti in K ( $i$ ). Come conseguenza del passo 1, x i e x j appartengono a K ( $i$ ). Abbiamo infatti trovato una radice in K ( $i$ ) per F (e anche due).
Conclusione: K ( $i$ ) è algebricamente chiuso : può essere dedotto dal passaggio 2 come (i) dedotto da (iii) alla fine delle § Affermazioni , la coniugazione qui essendo il K -automorfismo di K ( $i$ ) distinto da l ' identità .

Per il campo ℝ sono soddisfatte le condizioni (1.a) e (1.b), secondo due teoremi di analisi dedotti dal teorema dei valori intermedi . Di conseguenza, il campo ℂ dei complessi, ottenuto sommando ad esso $i$ = $\sqrt -1$ , è algebricamente chiuso.

Osservazioni

La demo di cui sopra è una riscrittura moderna di quella progettata da Lagrange. Questo è un ingegnoso combinatorio, che Laplace fu il primo ad usare per sviluppare la strategia di Eulero . Una dimostrazione più breve usa la teoria di Galois (vedi sotto) .
Qualsiasi campo reale chiuso K soddisfa le stesse proprietà del primo ordine di . In particolare, gli unici polinomi irriducibili di K [ X ] sono i polinomi di primo grado e i polinomi di secondo grado aventi discriminante <0, e K soddisfa la proprietà dei valori intermedi per i polinomi di K [ X ]. D'altra parte, è l'unico campo totalmente ordinato che possiede la proprietà ( secondo ordine ) del limite superiore, che è la base della “ dimostrazione diretta ”.

Elementi della storia

Le origini

Al momento della François Viète ( 1540 - 1603 ) , il calcolo letterale era appena stato scoperto da questo matematico, nonché le relazioni tra coefficienti e radici . Nota anche che è sempre possibile costruire un'equazione che abbia esattamente n radici date. Nel 1608, Peter Roth affermò che il numero di radici di un'equazione polinomiale è limitato dal suo grado ( Remmert 1998 ) . Per "radice" non intendeva necessariamente radici della forma a + i b . Una prima affermazione corretta è data da Albert Girard ( 1595 - 1632 ) , il quale, nel 1629 , nel suo trattato intitolato Invenzioni nouvelles en l'Algebre ( Dahan e Peiffer 1986 , p. 248). , comunica che:

“ A tutte le equazioni di algebra vengono date tante soluzioni quante ne dimostra la denominazione della quantità più alta. "

Questa idea è ripresa nella Geometria di René Descartes ( 1596 - 1650 ) , che per la prima volta usa il termine immaginario , per qualificare le radici: "... a volte solo immaginarie, vale a dire che si può sempre immaginare tanto come ho detto in ogni equazione, ma che a volte non c'è quantità che corrisponda a quella che si immagina… ” . Albert Girard , da parte sua, li ha definiti inspiegabili. La loro comprensione è ancora insufficiente per dare un senso all'idea di una manifestazione. Un numero immaginario è qui un numero fittizio, che, per polinomi di grado superiore, giocherebbe lo stesso ruolo del simbolo √-1 formalizzato da Bombelli per equazioni di grado piccolo.

A quel tempo e per più di un secolo, questo tipo di discorso non era soggetto a dimostrazione, e dimostrare una definizione, o peggio ancora una fantasia , non aveva il minimo senso ( Dahan e Peiffer 1986 , p. 248-249) .

L'emergere dei numeri complessi

Ci vuole più di un secolo per passare dai numeri immaginari , fittizi o impossibili di Girard e Cartesio, ai numeri complessi che conosciamo, cioè della forma a + $i$ b , dove a e b sono numeri reali. Gradualmente, i numeri complessi vengono addomesticati dai matematici. Usando uno sviluppo seriale , Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 - 1716 ) dà un significato inequivocabile all'uguaglianza di Bombelli ( Dahan e Peiffer 1986 , p. 253) :

{\ sqrt [{3}] {2 + {\ sqrt {-121}}}} + {\ sqrt [{3}] {2 - {\ sqrt {-121}}}} = 4.

L'uso dell'unità immaginaria $i sta$ diventando sempre più frequente, e questo in contesti molto diversi da quello della teoria delle equazioni. Il matematico Abraham de Moivre dimostra la formula che porta il suo nome e mette in luce il rapporto tra trigonometria e numeri complessi. Infine, la famosa formula di Eulero e iπ + 1 = 0, pubblicata nel 1748 , riesce a convincere i più scettici.

Nel 1746 , Jean le Rond D'Alembert espresse la necessità di dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra . La sua motivazione non è in alcun modo algebrica, vuole dimostrare l'esistenza di una scomposizione in elementi semplici di qualsiasi funzione razionale, per ottenere dei primitivi. Se il mondo matematico accetta immediatamente la validità della necessità di una dimostrazione, l'approccio di D'Alembert non è attraente. Il suo processo si basa sulle convergenze di successioni e famiglie di curve, un approccio puramente analitico. È anche incompleto, e suppone senza prova che una funzione continua su un compatto e con valori reali raggiunga il suo minimo. Suppone anche dimostrato un risultato sulla convergenza delle serie, ora noto con il nome di teorema di Puiseux . I grandi nomi del suo tempo volevano una dimostrazione algebrica, della stessa natura del teorema.

La dimostrazione di D'Alembert fu rivista da Argand nel 1814. Quest'ultimo sostituì il teorema di Puiseux con una semplice disuguaglianza, oggi nota come disuguaglianza di Argand . Ma l'evidenza rimane incompleto fino alla metà del XIX ° secolo.

Le dimostrazioni di Eulero e Lagrange

Due tentativi di prova sono opera di Leonhard Euler ( 1707 - 1783 ) e Joseph-Louis Lagrange ( 1736 - 1813 ) . Si susseguono e quello in seguito da Lagrange mira a colmare alcune lacune lasciate da Eulero.

Le dimostrazioni sfruttano il fatto che se il grado n di un polinomio a coefficienti reali è dispari, è "ovvio" che il polinomio ammette una radice reale, perché se una quantità è sufficientemente grande, l'immagine per il polinomio di tale quantità e la sua opposti sono di segno opposto. Bisognerà attendere l'opera di Bernard Bolzano nel 1816 per ottenere una dimostrazione del teorema rigoroso del valore intermedio e affinché questo risultato non sia più “ovvio”.

Se n non è più dispari ma della forma 2 p q con q dispari, l'obiettivo di Eulero e Lagrange è di mostrare, per induzione su p (cfr. sopra, § Campo reale chiuso ), che tutte le radici immaginarie , nella senso di Girard o Cartesio, sono complesse nel senso che sono combinazioni lineari con coefficienti reali di 1 e $i$ . La dimostrazione di Eulero è rigorosa per il grado 4, ma appena abbozzata nel caso generale, quella di Lagrange si basa su funzioni razionali invarianti da quello che oggi viene chiamato gruppo di permutazioni delle radici ( Dahan e Peiffer 1986 , p. 250) . Altri tentativi della stessa natura sono opera di Foncenex e Laplace .

Gauss e rigore

Carl Friedrich Gauss scrisse la sua tesi di dottorato sull'argomento nel 1799 . Critica un approccio sciolto da parte dei suoi predecessori, ad eccezione di d'Alembert che utilizza ragionamenti analitici di natura diversa (ma anche con lacune). Tutti presuppongono l'esistenza di n radici e mostrano che queste radici sono numeri complessi. Il significato da dare a queste n radici lascia perplesso Gauss, che si esprime così: “L'ipotesi di base della dimostrazione, l'assioma, è che ogni equazione abbia effettivamente n radici possibili o impossibili. Se intendiamo per possibilità reali e per impossibile, complesso , questo assioma è inammissibile poiché è proprio quello che si tratta di dimostrare. Ma se intendiamo per possibili quantità reali e complesse e per impossibile tutto ciò che manca per avere esattamente n radici, questo assioma è accettabile. Impossibile quindi significa quantità che non esiste nell'intero dominio delle grandezze ( Dahan e Peiffer 1986 , p. 252) . " Il punto debole è che, se non esistono, e che l'intero campo delle quantità, è ragionevole calcolarlo come fanno Eulero e Lagrange?

La prima prova di Gauss, presentata nel 1799 e basata sullo schema di d'Alembert, rimane incompleta. All'epoca non era dimostrata l'esistenza di un minimo raggiunto da una funzione continua definita su un compatto. Nel 1814 , un dilettante svizzero di nome Jean-Robert Argand presentò prove solide e semplici, basate sul profilo di d'Alembert. La dimostrazione di Cauchy nel suo Cours Analysis (in) si ispira, almeno indirettamente, a quella di Argand.

Secondo Remmert ( Remmert 1998 ) , questa prima dimostrazione di Gauss è una bella dimostrazione geometrica, ma rimane ancora incompleta. Gli zeri sono interpretati come le intersezioni delle due curve algebriche reali $Re P$ = 0 e $Im P$ = 0. All'infinito queste curve hanno 2 n rami che si alternano (parte facile della dimostrazione). Sfortunatamente, dedurre l'esistenza di n punti di intersezione contati con molteplicità non è un'applicazione diretta del teorema del valore intermedio. Non sarà dato fino al 1920, da Ostrowski .

La seconda dimostrazione di Gauss, nel 1815, fa appello all'approccio di Eulero e Lagrange. Questa volta, sostituisce le radici con quelle indeterminate , il che si traduce in una prova rigorosa, ma successiva a quella di Argand. Le uniche due assunzioni fatte da Gauss sono (i) ogni equazione algebrica di grado dispari ha una radice reale; (ii) qualsiasi equazione quadratica con coefficienti complessi ha due radici complesse.

La terza dimostrazione di Gauss risale al 1816. In realtà è un risultato sulla localizzazione degli zeri delle funzioni polinomiali, la cui generalizzazione (nel 1862) alle funzioni olomorfe è il teorema di Rouché .

La quarta dimostrazione di Gauss risale al 1849. Si tratta di una variante della prima dimostrazione, dove Gauss considera questa volta polinomi con coefficienti complessi.

teoria di Galois

La storia finisce per colmare il vuoto nella dimostrazione di Lagrange. Évariste Galois ( 1811 - 1832 ) riutilizza le idee di Lagrange da un'angolazione più innovativa che prefigura l'algebra moderna. Queste idee, riprese da Ernst Kummer e Leopold Kronecker , portano all'esistenza di un campo contenente tutte le radici del polinomio, e questo indipendentemente da qualsiasi costruzione sui numeri complessi. Questo corpo è chiamato corpo di scomposizione , il suo uso permette la ripresa delle idee di Lagrange, in maniera del tutto rigorosa ( Dahan e Peiffer 1986 , p. 252) .

Remmert ( Remmert 1998 , p. 100) attribuisce questo aggiornamento della dimostrazione di Lagrange ad Adolf Kneser . Una versione moderna dovuta ad Artin , usando la teoria di Galois e il primo teorema di Sylow , dimostra che le uniche estensioni finite di sono ℝ e ℂ.

Dimostrazioni iterative ed efficacia

Anche completata e corretta, la dimostrazione di D'Alembert e d'Argand non è costruttiva: utilizza il fatto che il modulo di un polinomio raggiunge il suo minimo, senza specificare in quale punto. Sarebbe tuttavia desiderabile poter avvicinarsi alle radici dei polinomi, ad esempio disponendo di una dimostrazione che spieghi un modo di esibire una radice, oppure di una sequenza di numeri complessi che converge verso una radice. I teoremi di localizzazione sugli zeri delle funzioni olomorfe si possono dedurre dal teorema dei residui dovuto a Cauchy, ma non sono realmente efficaci: è difficile implementare un algoritmo di approssimazione basato su questi (e sono inutilizzabili in pratica senza potenti computer); un'analisi più precisa di questi metodi si può trovare in questa sezione dell'articolo L'ipotesi di Riemann , perché sono gli unici che possono essere utilizzati per localizzare gli zeri della funzione . $\ zeta$

Secondo Remmert, il primo tentativo significativo fu proposto da Weierstrass nel 1859. Sebbene il metodo proposto non funzioni bene, l'idea è interessante: è iterare la funzione.

x \ mappe su xP (x)

Ne risulta una successione che, se converge, converge a zero P . Questa idea viene sfruttata per mostrare, ad esempio, il teorema del punto fisso per le funzioni contratte . Tuttavia, la convergenza non è, qui, automatica: l'insieme dei valori di x per cui è limitata la sequenza iterata non è in generale; pur limitandosi ad un dominio limitato, accade spesso che la sequenza diverga per quasi ogni punto di partenza; quelli per cui rimane limitato, inoltre, formano uno dei " frattali " più conosciuti: l' insieme di Julia (riempito) associato a P , e che spesso è una polvere di Cantor , di dimensione di Hausdorff zero; questo è ad esempio il caso del polinomio P ( X ) = - X 2 + X - 1.

Dal punto di vista pratico, un'altra successione che converge più spesso è data dal metodo di Müller ; chiede ad ogni passo il calcolo di una radice quadrata (complessa).

Se le radici del polinomio studiato P sono semplici (che è una condizione generica ), si può applicare il metodo di Newton . Consiste nell'iterazione della funzione

x \ mappa su xP (x) / P '(x),

che ad x associa il “punto di cancellazione della tangente di P in x ”. Di nuovo, se il risultato converge, il limite è uno zero di P , e questa volta la convergenza è assicurata se il valore iniziale è scelto sufficientemente vicino a una radice di P .

Un'importante correzione è stata fatta da Morris Hirsch e Stephen Smale nel 1979. Consiste nell'iterazione della funzione

x \ mapsto x- \ min (1, H (x)) {\ frac {P (x)} {P '(x)}},

dove la funzione H è definita in funzione del polinomio P dalla formula

H (x) = C (| x |) {\ frac {| P '(x) | ^ {2}} {| P (x) | \ max | a_ {i} |}}.

Gli $a i$ sono i coefficienti di P , e C è una funzione razionale di una variabile reale. Hirsch e Smale hanno dimostrato che la successione ottenuta $z k$ converge sempre ad uno zero del polinomio P , qualunque sia il valore iniziale $z 0$ .

Weierstrass propose anche nel 1891 un metodo iterativo, attualmente noto come metodo Durand-Kerner (en) , più potente che converge (in buone condizioni) non verso una radice unica ma verso l'insieme di n radici semplici : che è vicino a la cui iterazione ha come punto fisso le radici. $(\ zeta _ {j})$ $z_ {k} ^ {{(i + 1)}} = z_ {k} ^ {{(i)}} - {\ frac {P (z_ {k} ^ {{(i)}})} {a_ {n} \, \ prod _ {{j \ not = k}} (z_ {k} ^ {{(i)}} - z_ {j} ^ {{(i)}})}}$ $z_ {k} ^ {{(i + 1)}} = z_ {k} ^ {{(i)}} - {\ frac {P (z_ {k} ^ {{(i)}})} {a_ {n} \, \ prod _ {{j \ not = k}} (z_ {k} ^ {{(i)}} - \ zeta _ {j})}}$

Note e riferimenti

Appunti

In realtà questo metodo ci permette solo di ottenere direttamente le primitive in ℂ; per le primitive reali, la fattorizzazione può rivelare anche trinomi di secondo grado con discriminante negativo, portando a semplici elementi di secondo tipo, integrabili mediante la funzione dell'arco tangente .
Basterebbe notare che $| P ( z ) |$ ammette all'infinito un limite strettamente superiore al suo limite inferiore : vedi ad esempio questo esercizio corretto su Wikiversità .
Una sofisticata variante della dimostrazione di Cauchy, proposta da Littlewood nel 1941, evita il ricorso a questo lemma. È descritto nell'articolo " Radice di un numero complesso ". Vedi anche (in) O Rio Branco de Oliveira , " Il teorema fondamentale dell'algebra: dalle quattro operazioni di base " , Amer. Matematica. Mensile , vol. 119, n . 9,2012, pag. 753-758 ( leggi in linea ).
Consulta l'articolo " Numero complesso " per maggiori dettagli.
Possiamo anche spiegare, in funzione di $m$ e $a k$ , un opportuno valore di $M$ : vedi ad esempio (en) A. Bogomolny, “ Dettagli della dimostrazione di Cauchy ” , su Taglia il nodo o (en) “ Dimostrazione di teorema fondamentale dell'algebra (dovuto a Cauchy) ” , su PlanetMath .
Vedi l'articolo Teoria delle equazioni (storia della scienza) .
Il teorema di Frobenius del 1877 mostrò ancora che l'unica altra divisione algebrica associativa di dimensione terminata su è il corpo non commutativo dei quaternioni .

Riferimenti

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Questo esempio deriva da: Scomposizione in elementi semplici di una funzione razionale da parte del sito di Homéomath.
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Vedi anche

Bibliografia

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link esterno

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