Radice di un polinomio

In matematica , una radice di un polinomio P ( X ) è un valore α tale che P (α) = 0. È quindi una soluzione dell'equazione polinomiale P ( x ) = 0 di x sconosciuta , o ancora, uno zero di la funzione polinomiale associata. Ad esempio, le radici di X 2 - X sono 0 e 1.

Un polinomio diverso da zero con coefficienti in un certo campo può avere radici solo in un campo "più grande" e non ha mai più del suo grado. Ad esempio X 2 - 2, che è di grado 2 e con coefficienti razionali , non ha radice razionale ma ha due radici in ℝ (quindi anche in ℂ ). Il teorema di d'Alembert-Gauss indica che qualsiasi polinomio con coefficienti complessi di grado n ammette n radici complesse (non necessariamente distinte).

La nozione di "radice" è generalizzata, sotto il nome di "zero", a un polinomio in diversi indeterminati .

Definizioni

Consideriamo un polinomio P ( X ) di indeterminato qui annotato X , con coefficienti in un campo o più in generale un anello commutativo A (i coefficienti potendo quindi appartenere ad un sottoanello ).

Definizione

Definizione di radice - Una radice in A del polinomio P è un elemento α di A tale che se si sostituisce la indeterminata X il valore α, si ottiene un'espressione zero A .

Quindi, il polinomio X 2 - 2, con coefficienti in ℚ (quindi anche in ℝ o ℂ), non ha radice in ℚ ma ne ha due in ℝ ( √ 2 e - √ 2 ) quindi anche in ℂ. Infatti, se sostituiamo √ 2 o - √ 2 per X nel polinomio, troviamo 0.

Etimologia : il termine radice deriva dalle traduzioni latine di Robert de Chester e Gérard de Cremona del termine gizr . La parola gizr significa "radice", è tradotta in latino come radix . Il termine gizr è utilizzato dal origine persiana matematico del VIII ° secolo, Al-Khwarizmi nel suo trattato Kitab al-Jabr wa al-muqabala , che si occupa per la prima volta in modo globale, il calcolo delle radici reali di un'equazione di secondo grado.

Definizione alternativa

Definizione equivalente - Una radice in A del polinomio P è un elemento α di A tale che P ( X ) è divisibile per X - α (in A [ X ]).

Infatti, se P ( X ) = ( X - α) Q ( X ) allora P (α) = 0 e viceversa, se P (α) = 0 allora P ( X ) è uguale a P ( X ) - P ( α), combinazione lineare di polinomi della forma X k - α k , tutti divisibili per X - α .

Nell'esempio scelto, l'uguaglianza:

X ^ {2} -2 = \ sinistra (X - {\ sqrt 2} \ destra) \ sinistra (X- \ sinistra (- {\ sqrt 2} \ destra) \ destra)

è un altro modo per notare che √ 2 e - √ 2 sono effettivamente le due radici del polinomio.

Definizioni correlate

Il semplice fatto che il polinomio X - α sia unitario rende possibile - senza assumere che A si integri - di definire le seguenti nozioni:

Ordine di molteplicità, radice singola, radice multipla - Se P è diverso da zero allora, per ogni elemento α di A :

il più grande intero m tale che P ( X ) sia divisibile per ( X - α) m è chiamato ordine, o molteplicità, di α rispetto a P ;
questo intero m è caratterizzato dall'esistenza di un polinomio Q tale che P ( X ) = ( X - α) m Q ( X ) e Q (α) ≠ 0;
diciamo che α è radice semplice di P se m = 1 e radice multipla se m > 1.

Il polinomio X 2 - 2 è separabile , cioè non ha radici multiple. È inoltre suddiviso su ℝ, nel seguente senso:

Polinomio diviso - Se P è prodotta nei primi polinomi grado con coefficienti in un commutativa L , diciamo che il polinomio P è disposto su L .

P è quindi diverso da zero e il suo coefficiente dominante è il prodotto dei coefficienti dominanti di questi polinomi di primo grado. Più in generale, diciamo che un polinomio diverso da zero di L [ X ] è diviso su L se è il prodotto di una costante e un prodotto (possibilmente vuoto ) di polinomi unitari di primo grado. Tale scomposizione è quindi unica: ogni termine costante di uno di questi polinomi unitari di primo grado è uguale all'opposto di una radice di P in L , e se questa radice è di ordine m , questo fattore viene ripetuto m volte. Il numero di questi fattori è uguale al grado di P .

Esistenza di radici

Qualsiasi equazione polinomiale reale di grado dispari ammette almeno una soluzione reale.

È un'applicazione del teorema dei valori intermedi .

Lasciare K sia un campo e P un polinomio indefinita e con coefficienti in K .

Un'estensione di K è un campo che contiene K ; quindi, ℝ e ℂ sono estensioni di ℚ.

Una domanda naturale sorge spontanea, se L 1 e L 2 sono due estensioni di K su cui P è scissa, le radici, viste come elementi di L 1 , sono "equivalenti" alle radici viste come elementi di L 2 ? Questa equivalenza esiste: esiste in L 1 una sottoestensione “più piccola”, chiamata campo di decomposizione di P , contenente tutte le radici di P , e similmente in L 2 , e queste due sottoestensione di K sono identiche. Nell'esempio K = ℚ, P = X 2 - 2, il campo decomposizione è l'insieme dei numeri della forma a + b √ 2 , dove un e b sono numeri razionali. Questo insieme è identificato (da un isomorfismo non univoco ) con un sottocampo univoco di ℝ e il campo ℚ dei numeri algebrici . Quindi, la coppia di radici { √ 2 , - √ 2 } inclusa in ℝ può essere considerata identica a quella inclusa in ℚ .

Radici esistenza - C'è estensione inferiore L di K , uno a isomorfismo , come P è suddiviso su L . L'estensione L viene chiamato campo scissione di P su K .

Il campo L è tale che il polinomio P è diviso; Tuttavia, un altro polinomio a coefficienti in K non è necessariamente divisa su L . A maggior ragione, un polinomio a coefficienti in L non è necessariamente divisa su L entrambi . Si dice che un corpo L è algebricamente chiuso se ogni coefficienti polinomiali a L è suddiviso su L .

Esistenza di una chiusura algebrica - Esiste un'estensione algebricamente chiusa più piccola di K , unica fino all'isomorfismo. L'estensione L è chiamato chiusura algebrica di K .

Il campo ℂ è chiuso algebricamente, risultato noto con il nome di teorema di d'Alembert-Gauss . La chiusura algebrica di ℝ è ℂ. Quello di ℚ è il sottocampo ℚ .

Criterio differenziale per la molteplicità di una radice

Teorema - Sia A sia un anello commutativo, P un polinomio a coefficienti in A e alfa una sequenza radice m di P . Allora :

α è una radice di ordine almeno m - 1 del polinomio derivato da P ' di P , e anche di ordine esattamente m - 1 se m è semplificabile in A ;
α è la radice di P , P ' , P' ' ,…, P ( m –1) ;
se m ! è semplificabile in A , α non è la radice di P ( m ) .

Dimostrazione

Per ipotesi, P ( X ) è della forma ( X - α) m Q ( X ) con m > 0 e Q (α) ≠ 0. Differenziando, otteniamo P ' ( X ) = ( X - α) m –1 R ( X ), con R ( X ) = mQ ( X ) + ( X - α) Q ' ( X ) quindi R (α) = mQ (α), che dimostra il primo punto. Gli altri due sono dedotti dalla ricorrenza .

Un altro metodo è usare la regola di Leibniz , che vale anche per i derivati formali .

In particolare :

una radice di P è multipla se e solo se è anche una radice di P ' ;
se A è un campo di caratteristica 0 allora, affinché α sia una radice di ordine r di P , è necessario e sufficiente che P (α), P ' (α), P' ' (α), ..., P ( r –1) (α) sono zero e P ( r ) (α) non sono zero.

Su un campo con caratteristica p > 0, quest'ultimo criterio non è valido perché il polinomio derivato da X p è zero.

Relazioni tra coefficienti e radici

Calcolo della radice

Possiamo usare il metodo di Muller per calcolare le radici di un polinomio. Interpoliamo il polinomio P con un polinomio di secondo grado: secondo l' interpolazione Lagrangiana . Troviamo i coefficienti valutando P in tre punti ( ): $a_ {2} x ^ {2} + b_ {2} x + c_ {2}$ $x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}$

$a_ {2} = {\ frac {P [x_ {0}, x_ {1}] - P [x_ {1}, x_ {2}]} {x_ {0} -x_ {2}}} = P [ x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}]$
$b_ {2} = P [x_ {1}, x_ {2}] - a_ {2} \ times (x_ {1} + x_ {2})$
$c_ {2} = P (x_ {2}) - a_ {2} \ times x_ {2} ^ {2} -b_ {2} \ times x_ {2}$

con: $f [u, v] = {\ frac {f (u) -f (v)} {uv}}.$

Ma usando questo polinomio di approssimazione, la scelta della radice di questo polinomio è problematica. Müller ha poi avuto l'idea di utilizzare lo stesso polinomio, ma nella forma: con il quale tenderà verso la radice. Particolarità di questo algoritmo: può essere un numero complesso. Coefficienti: $a_ {n} (x-x_ {n}) ^ {2} + b_ {n} (x-x_ {n}) + c_ {n}$ $x_ {n}$ $x_ {n}$

$a_ {n} = P [x _ {{n-2}}, x _ {{n-1}}, x_ {n}]$
$b_ {n} = P [x _ {{n-1}}, x_ {n}] - a_ {n} \ times (x _ {{n-1}} - x_ {n})$
$c_ {n} = P (x_ {n})$

Questo metodo è autoconvergente: il calcolo della radice verrà affinato a poco a poco. Possiamo quindi cominciare con , e e . Finché il polinomio non scompare , passiamo all'iterazione successiva con: $x_ {0} = - 1$ $x_1 = 0$ $x_ {2} = 1$ $n = 2$ $x_ {n}$ $n + 1$

r=bnon2-4anonvsnon{\ displaystyle r = {\ sqrt {b_ {n} ^ {2} -4a_ {n} c_ {n}}}} $r = {\ sqrt {b_ {n} ^ {2} -4a_ {n} c_ {n}}}$ , dove può essere negativo o complesso. bnon2-4anonvsnon{\ displaystyle b_ {n} ^ {2} -4a_ {n} c_ {n}} $b_ {n} ^ {2} -4a_ {n} c_ {n}$
- $d = {\ frac {-2c_ {n}} {b_ {n} -r}}$ Se $| b_ {n} + r | <| b_ {n} -r |$
- $d = {\ frac {-2c_ {n}} {b_ {n} + r}}$ altrimenti
$x _ {{n + 1}} = x_ {n} + d.$

Infine, lo zero è $x_ {n}.$

Note e riferimenti

N. Bourbaki , Algebra ( leggi in linea ) , cap. IV, p. A.IV.14 .
Gilles Godefroy , L'avventura dei numeri , Odile Jacob ,1997( leggi in linea ) , p. 211.
La prima sconosciuta dalla IREM di Poitiers p. 27 .
Bourbaki , p. A.IV.16.
Aviva Szpirglas , Algebra L3: Corso completo con 400 prove ed esercizi corretti [ dettaglio dell'edizione ], Proposizione 10.25.

Vedi anche

Link esterno

Radici intere di un polinomio a coefficienti interi su gecif.net