Funzione olomorfa
Nell'analisi complessa , una funzione olomorfa è una funzione con valori complessi , definita e differenziabile in qualsiasi punto di un aperto del piano complesso .
Questa condizione è molto più forte della reale derivabilità . Implica (tramite la teoria di Cauchy) che la funzione è analitica : è indefinitamente differenziabile ed è uguale all'intorno di un qualsiasi punto dell'aperto alla somma delle sue serie di Taylor . Segue un fatto notevole: le nozioni di funzione analitica complessa e di funzione olomorfa coincidono. Per questo motivo, le funzioni olomorfe costituiscono il pilastro centrale dell'analisi complessa.
Definizione
Definizione - Sia un insieme aperto dell'insieme dei numeri complessi e una mappa di in .
tu{\ stile di visualizzazione U}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
f{\ stile di visualizzazione f}
tu{\ stile di visualizzazione U}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
- Diciamo che è differenziabile (in senso complesso) o olomorfa in un punto del se la seguente limite , chiamato derivato di a esiste:f{\ stile di visualizzazione f}
z0{\ displaystyle z_ {0}}
tu{\ stile di visualizzazione U}
f{\ stile di visualizzazione f}
z0{\ displaystyle z_ {0}}![z_0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e72d1d86e86355892b39b8eb32b964834e113bf)
f'(z0)=limiz→z0f(z)-f(z0)z-z0.{\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ lim _ {z \ a z_ {0}} {f (z) -f (z_ {0}) \ over z-z_ {0}}.}
- Diciamo che è olomorfo se è olomorfo in qualsiasi punto di .f{\ stile di visualizzazione f}
tu{\ stile di visualizzazione U}
tu{\ stile di visualizzazione U}
- In particolare, chiamiamo una funzione intera una funzione olomorfa su .VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
Si noterà che alcuni autori richiedono che la funzione così ottenuta sia continua. È infatti solo un modo per semplificare le dimostrazioni; infatti, la definizione qui presentata implica comunque la sua continuità (in virtù del teorema di Morera ).
f'{\ stile di visualizzazione f '}![f '](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258eaada38956fb69b8cb1a2eef46bcb97d3126b)
Esempi
Funzioni razionali
Qualsiasi funzione polinomiale con coefficienti complessi è completa.
Ogni funzione razionale a coefficienti complessi è olomorfa sul complemento dell'insieme dei suoi poli (cioè gli zeri del suo denominatore, quando è scritta in forma irriducibile). Ad esempio, la funzione inversa è olomorfa su *.
z↦1/z{\ displaystyle z \ mapsto 1 / z}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}![\ mathbb {C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7)
Funzioni definite da un'intera serie
Lasciato essere un intero serie con coefficienti complessi di non-zero raggio di convergenza (finita o meno); indichiamo il suo disco di convergenza. La funzione di in definito è olomorfa e per tutti , .In effetti, questa funzione è infinitamente differenziabile su .
Σnon≥0anonznon{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}
D{\ stile di visualizzazione D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
f{\ stile di visualizzazione f}
D{\ stile di visualizzazione D}
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
f(z)=Σnon≥0anonznon{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n \ geq 0} a_ {n} z ^ {n}}
z∈D{\ displaystyle z \ in D}
f'(z)=Σnon≥1nonanonznon-1{\ displaystyle f '(z) = \ sum _ {n \ geq 1} na_ {n} z ^ {n-1}}
D{\ stile di visualizzazione D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
La funzione esponenziale è intera. Lo stesso vale per le funzioni trigonometriche (definibili dalla funzione esponenziale mediante le formule di Eulero ) e per le funzioni iperboliche .
logaritmo complesso
Chiamiamo determinazione del logaritmo complesso su un aperto U di ℂ * una qualsiasi funzione olomorfa L di U in ℂ tale che per ogni z ∈ U , exp ( L ( z )) = z o quanto è equivalente (nel caso di un aperto relative ), funzione L olomorfa su U derivata z ↦1 / z per cui esistono z 0 ∈ U come exp ( L ( z 0 )) = z 0 .
Su qualsiasi U aperto di ℂ * dove esiste una determinazione L del logaritmo, possiamo definire, per ogni intero relativo k , la funzione z ↦ L ( z ) + 2 k πi . Ognuna di queste funzioni è una determinazione del logaritmo su U , e se U è connesso , sono le uniche.
Non c'è determinazione del logaritmo all'aperto *.
Esiste una determinazione del logaritmo su qualsiasi aperto del tipo ℂ * \ D dove D è una semiretta di ℂ di fine 0 (si parla di " taglio "), in particolare sull'insieme dei numeri complessi privati della metà -linea di reali negativi o nulli. Tra tutte le determinazioni del logaritmo su questo aperto, ce n'è una ed una sola che estende il vero logaritmo naturale .
Più in generale, c'è una determinazione del logaritmo su qualsiasi logaritmo aperto che è semplicemente connesso e non contiene 0.
Potenza e ennesima funzione radice
Su qualsiasi U aperto di ℂ * dove esiste una determinazione L del logaritmo, possiamo definire, per ogni numero complesso a , una determinazione olomorfa su U della potenza dell'esponente a ponendo, per ogni z ∈ U , z a = esp ( a L ( z )) .
In particolare, per ogni intero n > 0 , la funzione z ↦ z 1 / n = exp ((1 / n ) L ( z )) verifica l'identità ∀ z ∈ U , ( z 1 / n ) n = z . Si dice che questa funzione è una determinazione di U della radice n -esima . Possiamo denotare n √ z invece di z 1 / n (se i reali strettamente positivi appartengono a U , potrebbe allora esserci un conflitto tra questa notazione e il suo significato abituale, che serve a denotare l' ennesima radice positiva ).
Analogamente, le funzioni trigonometriche reciproche hanno tagli e sono olomorfe ovunque tranne che in corrispondenza dei tagli.
Derivato complesso
Le regole per il calcolo delle derivate in senso complesso sono identiche a quelle per le derivate delle funzioni di una variabile reale : linearità , derivata di un prodotto , di un quoziente, di una funzione composta. Ne consegue che le somme, i prodotti oi composti di funzioni olomorfe sono olomorfi, e il quoziente di due funzioni olomorfe è olomorfo su qualsiasi aperto in cui il denominatore non svanisce.
Una funzione olomorfa in un punto è a fortiori continua in questo punto.
Vicino a un punto z 0 dove la derivata di una funzione olomorfa f è diversa da zero, f è una trasformazione conforme , cioè conserva gli angoli (orientati) e le forme delle figure piccole (ma non le lunghezze, in generale).
Infatti, il suo differenziale nel punto z 0 è la mappa ℂ-lineare , dove : il differenziale si identifica quindi con una somiglianza diretta del piano, poiché A è diverso da zero.
dfz0:VS→VS,tu↦Atu{\ displaystyle df_ {z_ {0}}: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}, \, u \ mapsto A \, u}
A=f'(z0){\ stile di visualizzazione A = f '(z_ {0})}![A = f '(z_ {0})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28117dc3cf5c343deac42834d8306e6639801745)
Proprietà
Equazioni di Cauchy-Riemann
Se identifichiamo ℂ con ℝ 2 , allora le funzioni olomorfe su un aperto di coincidono con le funzioni di due variabili reali che sono different-differenziabili su questo aperto e verificano lì le equazioni di Cauchy-Riemann, un sistema di due equazioni con derivate parziali :
Consideriamo una funzione di una variabile complessa, dove U è un aperto del piano complesso . Qui vengono utilizzate le seguenti notazioni:
f:tu→VS{\ displaystyle f: U \ a \ mathbb {C}}![{\ displaystyle f: U \ a \ mathbb {C}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0a9baac865b214fba8fce6842fb374f7e740361)
- si indica la variabile complessa , dove x , y sono reali;z{\ stile di visualizzazione z}
X+iosì{\ displaystyle x + {\ rm {i}} \, y}![x + {{\ rm {i}}} \, y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2344c969496ffafd35a5e3de11cfb337704eadfc)
- le parti reale e immaginaria di sono indicate rispettivamente con e , cioè:, dove sono due funzioni reali di due variabili reali.f(z)=f(X+iosì){\ displaystyle f (z) = f (x + {\ rm {i}} \, y)}
P(X,sì){\ stile di visualizzazione P (x, y)}
Q(X,sì){\ stile di visualizzazione Q (x, y)}
f(z)=P(X,sì)+ioQ(X,sì){\ displaystyle f (z) = P (x, y) + {\ rm {i}} \, Q (x, y)}
P,Q{\ stile di visualizzazione P, \, Q}![P, \, Q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279499ed9e49a00127c6124c101c630a125eb256)
Equazioni di Cauchy-Riemann - Se f è ℝ-differenziabile in un punto z 0 di U , le seguenti quattro proprietà sono equivalenti:
-
f è olomorfo in z 0
- ∂f∂sì(z0)=io∂f∂X(z0){\ displaystyle {\ frac {\ parziale f} {\ parziale y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x}} (z_ {0})}
![{\ frac {\ parziale f} {\ parziale y}} (z_ {0}) = i \, {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x}} (z_ {0})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578967076f91c6a53c02e612da5104b02e9800b8)
-
∂P∂X(X0,sì0)=∂Q∂sì(X0,sì0){\ displaystyle {\ frac {\ parziale P} {\ parziale x}} (x_ {0}, y_ {0}) = {\ frac {\ parziale Q} {\ parziale y}} (x_ {0}, y_ {0})}
e ∂P∂sì(X0,sì0)=-∂Q∂X(X0,sì0){\ displaystyle {\ frac {\ parziale P} {\ parziale y}} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {\ parziale Q} {\ parziale x}} (x_ {0}, y_ {0})}
-
∂¯f(z0)=0{\ displaystyle {\ overline {\ parziale}} f (z_ {0}) = 0}
, dove l' operatore differenziale è, per definizione, uguale a .∂¯{\ displaystyle {\ overline {\ parziale}}}
12(∂∂X+io∂∂sì){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} + {\ rm {i}} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ giusto)}![{\frac 12}\sinistra ({\frac\parziale {\parziale x}} + {{\rm {i}}} {\frac\parziale {\parziale y}}\destra)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7139eeeb442e150fc01dd9ac58526d30f6cb2dff)
Nota, quando f è olomorfo in z 0 :
f'(z0)=∂f∂X(z0)=-io∂f∂sì(z0){\ displaystyle \ f '(z_ {0}) = {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x}} (z_ {0}) = - {\ rm {i}} \, {\ frac {\ parziale f} {\ parziale y}} (z_ {0})}
f'(z0)=∂f(z0){\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ parziale f (z_ {0})}![{\ displaystyle f '(z_ {0}) = \ parziale f (z_ {0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246a7d853c1a2b6bf94ba8646ee561cae276a19f)
, dove l'operatore differenziale è, per definizione, uguale a .
∂{\ displaystyle \ parziale}
12(∂∂X-io∂∂sì){\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} - {\ rm {i}} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ giusto)}
Collegamenti tra funzioni olomorfe e armoniche
Mostriamo inoltre che le funzioni olomorfe sono di classe (vedi la formula integrale di Cauchy).
VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}![C ^ {\ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/971ed05871d69309df32efdfd2020128c9cf69d8)
Una conseguenza delle equazioni di Cauchy-Riemann è che i Laplaciani della parte reale e della parte immaginaria di una funzione olomorfa f sono zero:
Se le parti reale e immaginaria di sono indicate rispettivamente con e , cioè se:, dove sono due funzioni reali di due variabili reali, si ha:
f(z)=f(X+iosì){\ displaystyle f (z) = f (x + {\ rm {i}} \, y)}
P(X,sì){\ stile di visualizzazione P (x, y)}
Q(X,sì){\ stile di visualizzazione Q (x, y)}
f(z)=P(X,sì)+ioQ(X,sì){\ displaystyle f (z) = P (x, y) + {\ rm {i}} \, Q (x, y)}
P,Q{\ stile di visualizzazione P, \, Q}![P, \, Q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279499ed9e49a00127c6124c101c630a125eb256)
ΔP=ΔQ=0{\ displaystyle \ \ Delta P = \ Delta Q = 0}
Diciamo che e sono funzioni armoniche .
P{\ stile di visualizzazione P}
Q{\ stile di visualizzazione Q}![Q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed)
Abbiamo anche:
∂P∂X∂Q∂X+∂P∂sì∂Q∂sì=0{\ displaystyle {\ frac {\ parziale P} {\ parziale x}} {\ frac {\ parziale Q} {\ parziale x}} + {\ frac {\ parziale P} {\ parziale y}} {\ frac { \ parziale Q} {\ parziale y}} = 0}
P{\ stile di visualizzazione P}
e sono chiamate armoniche coniugate .
Q{\ stile di visualizzazione Q}![Q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed)
Abbiamo il contrario:
qualsiasi funzione armonica reale della variabile complessa è localmente la parte reale di una funzione olomorfa.
Teorema integrale di Cauchy
Le equazioni di Cauchy-Riemann permettono di dimostrare il lemma di Goursat , che è essenzialmente il teorema dell'integrale di Cauchy sottostante nel caso particolare di un merletto poligonale, e di dedurne:
Teorema dell'integrale di Cauchy - Sia γ un ciclo rettificabile in ℂ e f una funzione olomorfa su un aperto semplicemente connesso contenente γ , allora l' integrale curvilineo di f su γ è zero:
∫γf(z) dz=0.{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = 0.}
Questo teorema rimane valido se, in un numero finito di punti dell'aperto, la funzione non è olomorfa ma solo continua.
In particolare :
Possiamo evitare di usare il lemma di Goursat, ma a costo di un'ipotesi aggiuntiva:
Dimostrazione diretta sotto l'ipotesi aggiuntiva che
f sia
di classe C 1 a tratti
Come nella prova usando lemma di Goursat, si ritorna (per approssimazione poi tagliando ) al caso in cui il ciclo γ è un poligono semplice . Il teorema di Green , unito al Cauchy-Riemann , quindi per concludere: se D denota l'interno del poligono,
∫γf(z) dz=∫γ(fdX+iofdsì)=∬D(∂iof∂X-∂f∂sì) dXdsì=∬D0 dXdsì=0.{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) ~ \ mathrm {d} z = \ int _ {\ gamma} (f \ mathrm {d} x + if \ mathrm {d} y) = \ iint _ {D}\sinistra ({\frac {\parziale if} {\parziale x}} - {\frac {\parziale f} {\parziale y}}\destra) ~\mathrm {d} x\mathrm {d} y = \ iint _ {D} 0 ~ \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = 0.}
Questo teorema è generalizzato dal teorema dei residui a funzioni olomorfe aventi singolarità isolate .
Primitiva di una funzione olomorfa
Dal teorema di cui sopra deduciamo :
Proprietà
- Sia
f una funzione olomorfa su una U aperta connessa e semplicemente connessa,
z 0 un punto di U e
F la funzione definita su U da
F(z)=∫P(z)f(ξ) dξ,{\ displaystyle F (z) = \ int _ {P (z)} f (\ xi) ~ \ mathrm {d} \ xi,}![F (z) = \ int _ {{P (z)}} f (\ xi) ~ {\ mathrm d} \ xi,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88777ffd03e66bd9c430cfa096315b3b5b13646)
dove
P ( z ) è un qualsiasi cammino rettificabile in U da
z 0 a
z . Allora
F è un complesso
primitivo di
f su U .
Questo teorema rimane valido se, in un numero finito di punti dell'aperto, la funzione non è olomorfa ma solo continua.
È importante che l'aperto sia semplicemente connesso, quindi l'integrale di f tra due punti non dipende dal percorso tra questi due punti.
Ad esempio, la funzione h : z ↦ 1 / z è olomorfa su ℂ *, che è connesso ma non semplicemente connesso. L'integrale di h sulla circonferenza di centro 0 e raggio 1 (percorsa in senso trigonometrico), vale 2πi , ma vale 0 su un cammino chiuso che unisce 1 a se stesso senza circondare 0. D'altra parte si può definire una primitiva di h su qualsiasi aperto semplicemente connesso di * (cfr. determinazioni del logaritmo complesso nella sezione “Esempi” sopra ).
Formula integrale di Cauchy e applicazioni
Formula integrale
Sia f una funzione olomorfa su una U aperta di , allora se C è un cerchio orientato positivamente, centrato in z e incluso (così come il suo interno) in U.
f(z)=12πio∫VSf(ξ)ξ-z dξ.{\ displaystyle f (z) = {1 \ over 2 \ pi i} \ int _ {C} {f (\ xi) \ over \ xi -z} ~ \ mathrm {d} \ xi.}
Rappresentazione in serie completa
Teorema - Sia f una funzione olomorfa su una U aperta di ℂ, allora f è analitica su U e per ogni punto z 0 di U , denotando R la distanza (euclidea) da z 0 a ℂ \ U :
∀z∈D(z0,R), f(z)=Σnon=0∞vsnon(z-z0)non{\ displaystyle \ forall z \ in D (z_ {0}, R), ~~ f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}
con
∀r∈]0,R[,vsnon=12πio∫VS(z0,r)f(w)(w-z0)non+1 dw.{\ displaystyle \ forall r \ in] 0, R [, \ quad c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} ~ \ mathrm {d} w.}
Pertanto, f è indefinitamente differenziabile su U , con
∀z0∈tu,f(non)(z0)=vsnon.non!=non!2πio∫VS(z0,r)f(w)(w-z0)non+1 dw.{\ displaystyle \ forall z_ {0} \ in U, f ^ {(n)} (z_ {0}) = c_ {n} .n! = {\ frac {n!} {2 \ pi i}} \ int _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {(w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} ~ \ mathrm {d} w.}
Appunti:
Proprietà nella media
Dalla formula integrale di Cauchy, si deduce in particolare che qualsiasi funzione olomorfa su un disco aperto contenente un chiuso è completamente determinata all'interno di questo disco dai suoi valori sul bordo di questo: nella formula sopra per c 0 , il cambiamento del parametro w = z 0 + re iθ dà:
f(z0)=12π∫02πf(z0+reioθ) dθ.{\ displaystyle f (z_ {0}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (z_ {0} + r {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta}) ~ \ mathrm {d} \ theta.}
- L'interesse di questa formula è nel calcolo numerico. Il calcolo di un integrale è infatti più stabile di quello delle derivate.
- Questo risultato rimane chiaramente valido per la parte reale e per la parte immaginaria di f , che sono funzioni armoniche .
Principio massimo
Sia f una funzione olomorfa non costante su un aperto connesso U . Quindi | f | non ammette massimo locale su U . Quindi, se U è limitato, il massimo della funzione f viene raggiunto sul bordo di U . In altre parole, in ogni punto z di U :
|f(z)|≤sup{|f(ω)||ω∈∂tu}{\ displaystyle | f (z) | \ leq \ sup \ {| f (\ omega) | \ mid \ omega \ in \ parziale U \}}![{\ displaystyle | f (z) | \ leq \ sup \ {| f (\ omega) | \ mid \ omega \ in \ parziale U \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df74ae8a03615851005aa694b9c147efe2235f3b)
Dimostrazione
Sia z 0 un punto U . La funzione f - f ( z 0 ) non è identicamente zero quindi, per unicità della continuazione analitica , esiste un intero k > 0 ed un complesso α diverso da zero tale che
f(z)=f(z0)+α(z-z0)K+(z-z0)Kε(z),{\ displaystyle f (z) = f (z_ {0}) + \ alpha (z-z_ {0}) ^ {k} + (z-z_ {0}) ^ {k} \ varepsilon (z),}
dove ε è una funzione limite zero z 0 .
- Se f ( z 0 ) = 0 allora, nell'intorno di z 0 , f non si annulla.
- Se f ( z 0 ) ≠ 0 , lasciate β essere un k -esimo radice di f ( z 0 ) / α . Allora,f(z0+tβ)=f(z0)(1+tK+tKε1(t)),{\ displaystyle f (z_ {0} + t \ beta) = f (z_ {0}) \ sinistra (1 + t ^ {k} + t ^ {k} \ varepsilon _ {1} (t) \ destra) ,}
dove ε 1 è una funzione di limite zero a 0, quindi per ogni reale abbastanza piccolo t > 0 , | f ( z 0 + t β) | > | f ( z 0 ) | .
Quindi, in entrambi i casi, | f | non ammette un massimo locale in z 0 .
Sequenze convergenti di funzioni olomorfe
Se una successione ( f j ) di funzioni olomorfe converge ad una funzione f , uniformemente su ogni compatto dell' aperto U di , allora f è olomorfa e per ogni k , la successione ( f j ( k ) ) delle derivate converge a f (k) , uniformemente sul compatto U .
Lo sviluppo di Laurent attorno a un punto singolare
Teorema - Sia f una funzione olomorfa su U \ A con U un aperto di ℂ e A un chiuso di U i cui elementi sono isolati (A è l'insieme dei punti singolari o delle singolarità isolate di f in U ).
Allora, attorno ad ogni punto z 0 di U , f ammette uno sviluppo di Laurent su una corona con ( che denota la distanza euclidea da al complemento di U in ℂ):
VS(z0,R1,R2)⊂tu-A{\ stile di visualizzazione C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}) \ sottoinsieme UA}
0<R1<R2<d{\ displaystyle 0 <R_ {1} <R_ {2} <d}
d{\ stile di visualizzazione d}
z0{\ displaystyle z_ {0}}
VS-tu{\ displaystyle \ mathbb {C} -U}![{\ displaystyle \ mathbb {C} -U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54c62a60bfa4b84baa57a66a94a3a64d3c99a86)
∀z∈VS(z0,R1,R2), f(z)=Σnon=-∞+∞vsnon(z-z0)non{\ displaystyle \ forall z \ in C (z_ {0}, R_ {1}, R_ {2}), ~~ f (z) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}
con
vsnon=12πio∮VS(z0,r)f(w)(w-z0)non+1dwoR2>r>R1{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ ungere _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {( w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} \, \ mathrm {d} w \ quad {\ text {dove}} \ quad R_ {2}> r> R_ {1}}![{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi \ mathrm {i}}} \ ungere _ {C (z_ {0}, r)} {\ frac {f (w)} {( w-z_ {0}) ^ {n + 1}}} \, \ mathrm {d} w \ quad {\ text {dove}} \ quad R_ {2}> r> R_ {1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca03f253bd4f40bcdb0e2a497e241b35e286a4db)
.
Appunti:
- La notazione designa la somma delle due serie convergenti e .Σnon=-∞+∞vsnon(z-z0)non{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}
Σnon=0+∞vsnon(z-z0)non{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} (z-z_ {0}) ^ {n}}
Σnon=1+∞vs-non(z-z0)-non{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} c _ {- n} (z-z_ {0}) ^ {- n}}![{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} c _ {- n} (z-z_ {0}) ^ {- n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470f8d854eef0074d40955d693bb209a944e24ea)
- Nel caso di una funzione razionale che si cerca di sviluppare in zero, i coefficienti sono calcolati tramite un classico sviluppo in serie in zero degli elementi semplici .vsnon{\ displaystyle c_ {n}}
![c_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7e944bcb1be88e9a6a940638f2adce0ec4211a)
- In pratica, il calcolo dei coefficienti (in qualsiasi punto) può essere effettuato anche grazie al teorema dei residui , spesso più complicato dello sviluppo di funzioni razionali in serie, ma che rimane in generale più semplice dell'uso della formula diretta.
- Il residuo di f nella singolarità è il coefficiente .z0{\ displaystyle z_ {0}}
vs-1{\ displaystyle c _ {- 1}}![{\ displaystyle c _ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5291b4b5cdabe0347e6e9d639316b402a00395cf)
Funzioni meromorfe
Il calcolo di c n nell'espansione di Laurent può dar luogo a tre possibilità:
-
∀non<0, vsnon=0{\ displaystyle \ forall n <0, ~~ c_ {n} = 0}
: allora f può essere esteso in una funzione analitica su tutti i punti contenuti nel disco , e questi punti si dicono regolari . Esempio di una funzione che presenta tali coefficienti: a 0, 0 è un punto regolare di f .A{\ stile di visualizzazione A}
D(z0,R1){\ stile di visualizzazione D (z_ {0}, R_ {1})}
f(z)=ez-1z{\ displaystyle f (z) = {\ frac {{\ rm {e}} ^ {z} -1} {z}}}![f (z) = {\ frac {{{\ rm {e}}} ^ {z} -1} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31b543ef114c8cc1371f9f5b67f539c0f1569c9)
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∃p∈NON{\ displaystyle \ esiste p \ in \ mathbb {N}}
tale che e abbiamo : allora la funzione può essere estesa in una funzione analitica su tutti i punti di contenuto nel disco . Questo caso infatti generalizza il primo. Questi punti sono poli ordine al massimo di f , possono esistere che siano regolari (ordine 0). Diciamo che f è una funzione meromorfa su U se tutti i punti di A sono poli. Esempi di funzioni che presentano tali coefficienti: a 0 (0 è un polo di ordine k di f ), o più in generale le funzioni razionali ai loro poli.vs-p≠0{\ displaystyle c _ {- p} \ neq 0}
∀non<-p{\ displaystyle \ forall n <-p}
vsnon=0{\ displaystyle \ c_ {n} = 0}
(z-z0)pf(z){\ displaystyle \ (z-z_ {0}) ^ {p} f (z)}
A{\ stile di visualizzazione A}
D(z0,R1){\ stile di visualizzazione D (z_ {0}, R_ {1})}
p{\ stile di visualizzazione p}
f(z)=1zK{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z ^ {k}}}}![f (z) = {\ frac {1} {z ^ {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c356e91073874ebc8e1d295aac9000131cf12b25)
- Negli altri casi esiste tra i punti contenuti nel disco almeno un punto sul quale non è possibile tentare una delle suddette estensioni. Tale punto di A è detto “ punto singolare essenziale ” di f . Esempio: in 0, 0 è un punto singolare essenziale di f .A{\ stile di visualizzazione A}
D(z0,R1){\ stile di visualizzazione D (z_ {0}, R_ {1})}
f(z)=e1z{\ displaystyle f (z) = {\ rm {e}} ^ {\ frac {1} {z}}}![f (z) = {{\ rm {e}}} ^ {{{\ frac 1z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54268bf0cbbd17a5dadefdab29683fad76bc3a10)
Anti-olomorfia
Una funzione f ( z ) è detta anti-olomorfa su un D aperto dove f ( z ) è olomorfa sul coniugato aperto D . È quindi analitico in z .
Una funzione sia olomorfa che anti-olomorfa su D è localmente costante su D , quindi costante su qualsiasi relativo a D .
Note e riferimenti
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Michèle Audin, Analisi complessa ( leggi online ) , pagina 30 page
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Michèle Audin, Analyze Complexe ( leggi online ) , p. 58
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Infatti, sappiamo (a posteriori) che una funzione a valori complessi continua su un aperto del piano complesso e olomorfa sul complemento di un sottoinsieme finito è olomorfa su questo aperto. Possiamo anche sostituire l'assunzione di continuità con quella di essere localmente limitato.
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Henri Cartan , Teoria elementare delle funzioni analitiche di una o più variabili complesse [ dettaglio dell'edizione ], pag. 70 .
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Questa dimostrazione è tratta da Pierre Colmez , Elementi di analisi e algebra (e teoria dei numeri) , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique,2009, 469 pag. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , leggi in linea ) , p. 238. Walter Rudin , Analisi reale e complessa [ dettaglio edizioni ], 1977, pag. 206, ne dà un altro, basato sulla formula della media e dell'uguaglianza di Parseval , ma fa anche notare (p. 209) che il principio del massimo si deduce immediatamente dal teorema dell'immagine aperta . Per un'altra prova, vedi Cartan , p. 83, ed esercizio p. 142 per una generalizzazione alle funzioni subarmoniche .
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Rudin , p. 207, t. 10.27 e corollario.
Vedi anche
Articoli Correlati
Link esterno
grafi-funzioni-olomorfi - Passeggiate matematiche tra funzioni olomorfe, con immagini di supporto.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">