Corpo di decomposizione

In matematica e più precisamente in algebra nella teoria dei campi commutativi , un campo di decomposizione , o talvolta campo radice o anche campo di dispiegamento , di un polinomio P diverso da zero è un'estensione di campo minima su cui P è suddiviso . Mostriamo che un polinomio diverso da zero ha sempre un corpo di decomposizione, unico fino all'isomorfismo, e che questa è un'estensione finita e normale .

Se inoltre il polinomio è separabile , è un'estensione di Galois . Si applica quindi la teoria di Galois , in particolare il teorema dell'elemento primitivo e il teorema fondamentale della teoria di Galois .

Definizione

Dato un campo commutativo K e un polinomio P diverso da zero con coefficienti in K , un campo di decomposizione da P su K è un'estensione L di K tale che:

• P è suddiviso su L , cioè prodotto di polinomi di primo grado in L [ X ];
• le radici di P a L generano L sopra K , vale a dire che non v'è altro sottocampo di L che si contenente K e radici di P .

In una data chiusura algebrica Ω, esiste un'unica sottoestensione di Ω che è anche un campo di decomposizione di P  : è la sottoestensione di Ω generata dalle radici di P in Ω. In generale, qualsiasi campo di decomposizione di P è isomorfo a questo sottocampo di Ω.

Proposta. - Ogni polinomio P diverso da zero di K [ X ] ha un campo di decomposizione, unico fino all'isomorfismo. Questa è un'estensione finita di K, ed è una sottoestensione di qualsiasi estensione su cui P è diviso.

L'esistenza e l'unicità fino all'isomorfismo possono essere dimostrate direttamente (senza assumere, come sopra, esistenza e unicità fino all'isomorfismo in prossimità di una chiusura algebrica).

• Esistenza di un corpo di decomposizione L di grado finito:
  si dimostra per induzione sul grado del polinomio P , iterando la costruzione dei corpi di frattura .
  Infatti, se P è una costante o livello 1, K è un corpo decomposizione P . Se P è di grado più elevato, allora
  • sia P ha un fattore di grado 1, P = ( X - α) Q , e un campo di decomposizione di Q , che esiste per ipotesi di induzione, è un campo di decomposizione di P  ;
  • o P ha un fattore irriducibile di grado> 1; allora ha un fattore di grado 1 in un campo di frattura di questo fattore irriducibile, cioè K ' contenente K , e concludiamo per ipotesi di induzione come nel caso precedente.
• L è una sottoestensione di qualsiasi estensione su cui P è scisso:
  lo mostriamo per induzione sul grado [ L : K ] dell'Estensione (finita!), Usando quello per un polinomio irriducibile Q ( X ), il corpo di rottura è isomorfo a K [ X ] / ( Q ( X )). Per l'induzione, generalizziamo la proprietà da dimostrare. Siano K e K ' due campi isomorfi di φ, P polinomiale su K , e φ ( P ), la sua immagine per l'isomorfismo indotto (che denotiamo anche con φ). Sia L ' un'estensione di K' su cui φ ( P ) è diviso. Mostreremo, per induzione sul grado [ L : K ], che φ si estende in un morfismo iniettivo da L a L ' .
  • Il risultato è ovvio se questo grado è uguale a 1.
  • Diversamente è perché P ha un fattore irriducibile Q di grado> 1, che quindi ha una radice α in L la cui immagine φ (α) è la radice di φ ( Q ) in L '  ; K [α] è un corpo di frattura di Q su K proprio come K ' [φ (α)] è un corpo di frattura di φ ( Q ), irriducibile su K' . I campi K [α] e K ' [φ (α)] sono quindi isomorfi (perché isomorfi ai due campi isomorfi K [ X ] / ( Q ) e K' [ X ] (φ ( Q ))) per ψ che estende φ. Ora L è un campo di decomposizione di P su K [α] e L ' è un'estensione di K' [φ (α)] su cui φ ( P ) è diviso. Il grado [ L : K [α]] è strettamente minore di [ L : K ] (perché [ L : K ] = [ L : K [α]] [ K [α]: K ] e [ K [α]: K ] è il grado di Q che è> 1). Per ipotesi di induzione, ψ si estende in un morfismo iniettivo da L a L ' , che quindi estende φ.
• Qualsiasi corpo di decomposizione di P è isomorfo a L:
  Sia L 'un altro corpo di decomposizione. Secondo il punto precedente, è un'eccessiva estensione di L , vale a dire che esiste un K -morfismo θ iniettivo da L a L ' . Inoltre, poiché P è diviso su L , tutte le radici di P in L ' appartengono all'immagine di θ (perché sono le immagini delle radici di P in L ), quindi questa immagine è L' intero e che θ è un isomorfismo.

Si noti che un'estensione di un campo K può contenere un solo campo di decomposizione di un polinomio P su K , mentre può contenere diversi campi di rotture (isomorfe tra loro) di questo.

Esempi

Il campo di decomposizione del polinomio X 2 + 1 sul campo dei numeri reali è il campo dei complessi .

Il polinomio P ( X ) = X 3 - 2 è irriducibile sul campo ℚ dei numeri razionali (infatti, qualsiasi polinomio di grado 3 che non sia irriducibile ha una radice razionale). Sia r la radice cubica reale di 2 e j una delle due radici cubiche primitive (complesse) dell'unità . Le altre due radici di P sono j r e j 2 r . Il campo di decomposizione di P su ℚ è L = ℚ ( r , j r , j 2 r ).

Il corpo di decomposizione di P può essere costruito come nella prova di esistenza sopra.

Considera l'estensione K 1 uguale a ℚ ( r ), ovvero l'estensione generata da r . Poiché P è irriducibile , è un campo di frattura di P , isomorfo a ℚ [ X ] / ( P ), la cui base è (1, r , r 2 ).

Su K 1 , il polinomio P ha radice r . Una divisione di P ( X ) per il polinomio X - r dà l'uguaglianza:

P(X)=(X-r)(X2+rX+r2)=(X-r)(X+(1/2+S)r)(X+(1/2-S)r) con S=32io.{\ displaystyle P (X) = (Xr) (X ^ {2} + rX + r ^ {2}) = (Xr) (X + (1/2 + s) r) (X + (1 / 2- s) r) {\ mbox {with}} s = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ mathrm {i}.}

Deduciamo che L è uguale a K 1 ( s ) che è un'estensione di grado 2 di K 1 e la cui base è {1, s }.

Abbiamo uguaglianza sui gradi [ L : ℚ] = [ L : K 1 ] [ K 1 : ℚ] = 3 × 2 = 6 ( cfr. Definizioni e prime proprietà delle estensioni algebriche ). Deduciamo che una base di L su ℚ è {1, r, r 2 , s, rs, r 2 s }.

Estensione Galois

• Il campo di scomposizione di un polinomio separabile, ottenuto aggiungendo un numero finito di elementi separabili, è un'estensione separabile finita del campo base. Si applica il teorema dell'elemento primitivo : l'estensione è semplice .
• Qualsiasi corpo in decomposizione è una normale estensione . Siano infatti r 1 ,…, r n le radici di P in Ω. Allora L è uguale a K ( r 1 ,…, r n ). Qualsiasi morfismo da L a Ω permuta le radici, quindi lascia L stabile . Se P è separabile, l'estensione è quindi Galois .
• Assumiamo che il polinomio P sia separabile. Il gruppo di Galois del campo di decomposizione di P opera transitivamente sull'insieme R delle radici di P se, e solo se, il polinomio P è irriducibile.

Infatti, se P non è irriducibile, è il prodotto di due polinomi P 1 e P 2 di gradi strettamente positivi. l'insieme di radici di P 1 è disgiunto dall'insieme di radici di P 2 perché P è separabile. L'immagine da parte di un morfismo, elemento del gruppo Galois, di una radice di P 1 è necessariamente una radice di questo polinomio, quindi non può essere una radice di P 2 , il che dimostra che il gruppo non opera transitivamente. Viceversa, se P è irriducibile, α e β sono due radici di P . Sia m il morfismo di K (α), in K (β) che ad α associa β. La proprietà generale dimostrata sopra (per induzione, nella dimostrazione della proposizione) mostra che il morfismo del campo m si estende in un automorfismo σ del campo di decomposizione. Esiste quindi un elemento σ del gruppo Galois tale che σ (α) = β, che mostra che il gruppo opera transitivamente.

Note e riferimenti

1. Alain Kraus, "  Teoria di Galois: corso intensivo della DEA  " , Università di Parigi 6 ,1998.
2. O "root body"  : Henri Lombardi e Claude Quitté, Commutative Algebra - Constructive Methods - Finite-type projective modules , Calvage & Mounet,2016( 1 a  ed. 2011) ( arXiv  1611.02942 , presentazione online ) , p.  117.
3. A.-M. Simon, "  Bac 2 corso di matematica: un primo contatto con la teoria dei numeri  " , l'ULB ,2010, p.  99, preferisce la terminologia: "body of deployment", ma fa notare che "alcuni autori [lo chiamano]" corps de rupture "( campo di divisione in inglese) o anche" body of roots ", cognome essendo però un po 'ambiguo . " Il termine" forza di rottura "non è da meno come spiegato nell'articolo sul sollevamento del corpo . In inglese, nessun malinteso: il campo di scissione è infatti il ​​corpo di decomposizione.
4. Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ dettaglio di edizioni ], 1981, c. III 7.
5. Questa proprietà appare ad esempio in: Régine and Adrien Douady , Algèbre et theories galoisiennes [ dettaglio delle edizioni ], 2005, p.  307 .

Bibliografia

• Henri Lombardi e Claude Quitté, Algebra commutativa - Metodi costruttivi - Moduli proiettivi di tipo finito , Calvage & Mounet,2016( 1 a  ed. 2011) ( arXiv  1611.02942 , presentazione online ) , p.  105-108 e 433-444 : "L'algebra della decomposizione universale"
• Serge Lang , Algebra [ dettaglio delle edizioni ]
• Pierre Samuel , Teoria algebrica dei numeri [ dettaglio dell'edizione ]