Equivalente

In matematica analisi , equivalenza collega due funzioni o due sequenze che hanno lo stesso comportamento in prossimità di un punto o di infinito.

Questa nozione interviene nel calcolo delle espansioni asintotiche , di cui le espansioni limitate sono casi speciali. L' equivalente delle operazioni è uno strumento di calcolo.

Equivalenza per le suite

Definizioni

Siano e due successioni con valori reali o complessi . unon{\ displaystyle u_ {n}}vnon{\ displaystyle v_ {n}}

Diciamo che è equivalente a , e notiamo , se la sequenza è trascurabile davanti alla sequenza . unon{\ displaystyle u_ {n}}vnon{\ displaystyle v_ {n}}unon∼vnon{\ displaystyle u_ {n} \ sim v_ {n}}unon-vnon{\ displaystyle u_ {n} -v_ {n}}vnon{\ displaystyle v_ {n}}

Usando la piccola "o" notazione, si scrive :, e risulta l'esistenza di una sequenza che tende a zero e verifica da un certo rango. unon=vnon+o(vnon){\ displaystyle u_ {n} = v_ {n} + o (v_ {n})}εnon{\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}unon=(1+εnon)vnon{\ displaystyle u_ {n} = (1+ \ varepsilon _ {n}) v_ {n}}

Esempi

• Un equivalente della somma dell'ordine parziale della serie armonica èHnon{\ displaystyle H_ {n}}non{\ displaystyle n}ln⁡(non).{\ displaystyle \ ln (n).}
• Un famoso equivalente è dato dalla formula di Stirling  :non!∼2πnon(none)non.{\ Displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \, \ left ({n \ over e} \ right) ^ {n}.}
• Sia π la successione il cui n-esimo termine è uguale al numero di numeri primi minori o uguali a n . Il teorema dei numeri primi lo affermaπ(non)∼nonln⁡non.{\ displaystyle \ pi (n) \ sim {\ frac {n} {\ ln n}}.}

Proprietà

• Nel caso particolare in cui la sequenza non svanisce da un certo rango, abbiamo:vnon{\ displaystyle v_ {n}}

unon∼vnon⇔limnon→+∞unonvnon=1.{\ displaystyle u_ {n} \ sim v_ {n} \ Leftrightarrow \ lim _ {n \ to + \ infty} {\ frac {u_ {n}} {v_ {n}}} = 1.}

• In particolare se è una costante diversa da zero:ℓ{\ displaystyle \ ell}

unon{\ displaystyle u_ {n}} converge a se e solo se è equivalente alla successione costante uguale a .ℓ{\ displaystyle \ ell}ℓ{\ displaystyle \ ell}

• La relazione "essere equivalente a" è una relazione di equivalenza sull'insieme di sequenze con valori reali (o complessi) che sono diversi da zero da un certo rango.

Equivalenza per funzioni

Definizione

Let f e g essere due funzioni, definite su una parte A di ℝ, e con valori K = ℝ o ℂ, e sia un essere un punto aderente ad A ( una può essere un vero o + ∞ o -∞ ) .

Diciamo che f è equivalente a g in a , e notiamo (o semplicemente quando non c'è ambiguità sul punto a che consideriamo) se esiste una funzione definita su un intorno V di ha tale che: f∼ag{\ displaystyle f \ sim _ {a} g}f∼g{\ displaystyle f \ sim g}ε{\ displaystyle \ varepsilon}

• limaε=0{\ displaystyle \ lim _ {a} \ varepsilon = 0}
• ∀X∈(V∩A)∖{a}, f(X)=(1+ε(X))g(X).{\ displaystyle \ forall x \ in (V \ cap A) \ setminus \ {a \}, ~ f (x) = (1+ \ varepsilon (x)) g (x).}

Esempio

Un equivalente in ± ∞ di una funzione polinomiale è il suo massimo grado monomiale .

Proprietà

• Nel caso particolare in cui g è diverso da zero nell'intorno di a , abbiamo:
  f∼ag⇔limX→af(X)g(X)=1.{\ Displaystyle f \ sim _ {a} g \ Leftrightarrow \ lim _ {x \ to a} {\ frac {f (x)} {g (x)}} = 1.}
• In particolare, se è un elemento diverso da zero di K :ℓ{\ displaystyle \ ell}
  f∼aℓ⇔limaf=ℓ.{\ Displaystyle f \ sim _ {a} \ ell \ Leftrightarrow \ lim _ {a} f = \ ell.}
• La relazione è una relazione di equivalenza .∼a{\ displaystyle \ sim _ {a}}
• Se f e g sono valori reali e se sono equivalenti in una , allora
  • hanno anche un segno "localmente intorno a ", vale a dire su un certo quartiere di a ,
  • se con allora .limag=l{\ displaystyle \ lim _ {a} g = l}l∈R∪{±∞}{\ displaystyle l \ in \ mathbb {R} \ cup \ {\ pm \ infty \}}limaf=l{\ Displaystyle \ lim _ {a} f = l}
• In generale (vedi articolo Operazioni equivalenti ), le operazioni di moltiplicazione per un'altra funzione o uno scalare, di inversione, di divisione sono compatibili con la relazione "essere equivalente a". Tuttavia, l'aggiunta e la composizione sono problematiche.

Osservazioni

• Possiamo generalizzare questa definizione considerando le funzioni:
  • definito su una parte A di uno spazio topologico diverso da ℝ;
  • con valori in uno spazio vettoriale normalizzato su K , o anche in uno spazio vettoriale topologico su un campo valorizzato K diverso da ℝ o ℂ.
• La nozione di equivalenza di successioni è un caso speciale di quella di equivalenza di funzioni.

Vedi anche

Confronto asintotico

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