In geometria , un poligono a stella regolare (da non confondere con una parte a stella ) è un poligono regolare non convesso . I poligoni stellati non regolari non sono definiti formalmente.
Branko Grünbaum identifica due nozioni primarie usate da Keplero , una è il poligono regolare a stella con bordi intersecanti che non generano nuovi vertici, e l'altra è semplice poligono concavo.
Quando il poligono a stella ha pochi vertici o lati, il suo nome può combinare un prefisso numerico, come penta- per un numero cinque di vertici o lati, con il suffisso greco -gone o -gramme (il nome del poligono è quindi pentagono , oppure pentagramma per un pentagono a stella). Il prefisso più comune viene dal greco, ma nona- ad esempio viene dal latino, nel nome " nonagramma " di un poligono con nove vertici, detto anche " enneagramma ".
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Un poligono regolare stellato è un poligono equiangolo ed equilatero che si autointerseca, creato collegando un vertice di un poligono regolare con p lati ad un altro vertice non adiacente e continuando il processo fino a tornare al primo vertice. In alternativa, per i numeri interi p e q , possiamo considerare come una costruzione che collega tutti la q vertici -esimo di un insieme di p vertici distanziati regolarmente e collocato in un cerchio. Ad esempio, in un pentagono regolare, si può ottenere una stella a cinque punte tracciando una linea dal primo punto al terzo, poi dal terzo al quinto, poi dal quinto al secondo, poi dal secondo al quarto, e infine dal quarto al primo. In breve, un poligono a stella regolare può essere ottenuto fissando un poligono regolare convesso.
Un polinomio stellato regolare è indicato dal suo simbolo Schläfli { p / q }, dove p e q sono coprimi e q ≥ 2.
Il gruppo di simmetria di { n / k } è il gruppo diedro D n di ordine 2 n indipendente da k .
I poligoni regolari stellati furono prima studiati sistematicamente da Thomas Bradwardine e poi da Keplero .
Se p e q non sono primi tra loro, un poligono generato risulta dalla coincidenza di vertici e spigoli. Ad esempio, {6/2} apparirà come un triangolo, ma può essere indicato da due insiemi di vertici 1-6. Questo fenomeno dovrebbe essere visto non come due triangoli sovrapposti, ma come un singolo poligono avvolto su se stesso.
Quando le linee che si intersecano vengono rimosse, i poligoni stellati non sono regolari, ma possono essere visti come isotoxaux concavi singoli 2n - gones . Branko Grünbaum rappresenta queste stelle di | n/a |. Hanno la stessa geometria dei poligoni { n / d } con una notazione più generale {n α } che rappresenta una stella con n rami ciascuno con un angolo interno di α <180 (1 - 2 / n ) gradi. Per | n / d |, i vertici interni hanno un angolo esterno di 360 ( d -1) / n
Questi poligoni sono spesso osservati nei modelli di tassellazione. L'angolo parametrico α può essere scelto per corrispondere agli angoli interni dei poligoni vicini in tali modelli.
L'interno di un poligono a stella può essere interpretato in diversi modi. Tre di queste interpretazioni sono illustrate per un pentagramma. Branko Grünbaum e Geoffrey Shephard considerano due di loro poligoni stellati regolari e 2n -goni isogonali concavi .
Questi includono:
Ciascuno degli approcci di cui sopra porta a dare al poligono un'area diversa.
I poligoni stellari occupano un posto di rilievo nell'arte e nella cultura. Che siano regolari o meno, sono sempre altamente simmetrici. Possiamo citare ad esempio:
Un ottagramma rosso {8/3} integrato in un regolare ottagono nero. |
Sigillo di Salomone (con cerchio e punti). |
Testo inglese da tradurre:
Se d è dispari, il troncamento del poligono {p / q} è naturalmente {2n / d}.