Superficie (geometria analitica)
In geometria analitica si rappresentano le superfici , cioè gli insiemi di punti sui quali è localmente possibile localizzarsi utilizzando due coordinate reali, per relazioni tra le coordinate dei loro punti, che si chiamano equazioni della superficie
o per mezzo parametrico rappresentazioni.
Questo articolo studia le proprietà delle superfici che questo approccio (spesso chiamato estrinseco ) permette di descrivere. Per risultati più approfonditi, vedere Geometria differenziale delle superfici .
Proprietà affini
Si presume in tutto questo articolo che abbiamo fornito spazio con un sistema di coordinate , in cui sono espresse tutte le coordinate.
Rappresentazione parametrica
Una tovaglia parametrizzata è il dato di tre funzioni di due variabili (definite su un disco aperto, un rettangolo o più in generale un aperto di )
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
X=F(tu,v),sì=G(tu,v)z=h(tu,v){\ displaystyle x = f (u, v), \, y = g (u, v) \, z = h (u, v)}.
che rappresentano le coordinate di un punto M rispetto ad un sistema di coordinate(oh,io→,J→,K→){\ displaystyle (O, {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}})}
Vogliamo dire che una superficie è l'immagine di una tovaglia parametrizzata. Ma sono necessarie alcune precauzioni: se prendiamo f ( u , v ) = u , g ( u , v ) = h ( u , v ) = 0 abbiamo una tovaglia parametrizzata la cui immagine è una linea retta.
Nel caso in cui sia iniettivo, ogni punto M di S ammette un'unica coppia ( u , v ) per antecedente.
F→=(F,G,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}
Un caso particolare importante di strato parametrizzato è quello del grafico di una funzione di due variabili: quando . Otteniamo quindi una superficie rappresentata dall'equazione cartesiana .
X=tu,sì=v,z=h(tu,v){\ displaystyle x = u, y = v, z = h (u, v)} z=h(X,sì){\ stile di visualizzazione z = h (x, y)}
Equazione di una superficie
Data una funzione H di tre variabili, l'insieme dei punti M le cui coordinate, nel sistema di riferimento che ci siamo dati, verificano H (x, y, z) = 0 è una superficie. Quando nell'intorno di un punto di S , l'equazione può essere risolta in z , siamo ricondotti, in questo intorno, all'equazione cartesiana . Questo è il caso in cui .
(X0,sì0,z0){\ stile di visualizzazione (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}h(X,sì,z)=0{\ stile di visualizzazione H (x, y, z) = 0}z=h(X,sì){\ stile di visualizzazione z = h (x, y)}∂h∂z(X0,sì0,z0)≠0{\ displaystyle {\ frac {\ partial H} {\ partial z}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}
Più dettagli
Se ci si accontenta dei punti di vista che precedono, si ottengono esempi che sarebbe meglio escludere (cfr la tovaglia ). Inoltre, passare dalla parametrizzazione a un'equazione o viceversa non è facile.
(tu,v)↦(tu,0,0){\ displaystyle (u, v) \ mapsto (u, 0,0)}
Una tovaglia parametrizzata è regolare se
F→=(F,G,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}
-
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}è classeVS1{\ stile di visualizzazione C ^ {1}}
- i vettori e sono ovunque linearmente indipendenti.∂F→∂tu{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ overrightarrow {F}}} {\ partial u}}}∂F→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ parziali {\ overrightarrow {F}}} {\ parziali v}}}
Esempi
- La tovaglia parametrizzata associata ad una superficie di equazione cartesiana z = h ( x , y ) è regolare (se h è )VS1{\ stile di visualizzazione C ^ {1}}
- Se F è , e se le sue derivate parziali non si annullano contemporaneamente su , allora è localmente un grafo, secondo il teorema della funzione implicita.VS1{\ stile di visualizzazione C ^ {1}}F-1(0){\ stile di visualizzazione F ^ {- 1} (0)}F-1(0){\ stile di visualizzazione F ^ {- 1} (0)}
Infatti, un caso speciale del teorema della funzione implicita è il seguente risultato.
Teorema - Per una parte le seguenti due proprietà sono equivalenti:
S⊂R3{\ displaystyle S \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}
- Per ogni cosa esiste una U aperta di tale che è l'immagine di una normale tovaglia parametrizzata.m∈S{\ stile di visualizzazione M \ in S}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}tu∩S{\ displaystyle U \ cap S}
- Perché esiste una V aperta di come (dopo aver scambiato le coordinate se necessario) il grafico di una funzione .m∈S{\ stile di visualizzazione M \ in S}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}V∩S{\ displaystyle V \ cap S}VS1{\ stile di visualizzazione C ^ {1}}
In pratica, le superfici che vengono studiate sono molto spesso incontri di immagini di strati regolari. Quando questo non è il caso, lo esaminiamo caso per caso.
Esempi
- La sfera di centro O e raggio 1 ha l'equazione . Possiamo anche considerare la tovaglia parametrizzataX2+sì2+z2=1{\ stile di visualizzazione x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}
(tu,v)↦(costucosv,peccatotucosv,peccatov){\ displaystyle (u, v) \ mapsto (\ cos u \ cos v, \ sin u \ cos v, \ sin v)}
che è regolare e iniettivo ma non suriettivo. I numeri u e v corrispondono alla longitudine e alla latitudine dei geografi. Ma la regolarità è persa per . In ogni caso, è impossibile realizzare l'intera sfera con uno strato iniettivo regolare: tale strato darebbe un omeomorfismo della sfera a pianta aperta.
[0,2π[×]-π2,π2[{\ displaystyle [0,2 \ pi [\ volte] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} [}v=±π2{\ displaystyle v = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}
- l'equazione rappresenta il cono di rivoluzione con asse Oz e angolo .z2=X2+sì2{\ stile di visualizzazione z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}π4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}
Questa è l'immagine della tovaglia parametrizzata
(R,θ)↦(Rcosθ,Rpeccatoθ,R){\ displaystyle (r, \ theta) \ mapsto (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, r)}
che è regolare però .
R≠0{\ displaystyle r \ not = 0}
- una superficie di rivoluzione con asse Oz può essere prodotta da un'equazione della forma (con ) o da un foglio parametrizzato .F(R,z)=0{\ stile di visualizzazione F (r, z) = 0}R=X2+sì2{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}(R,θ)↦(Rcosθ,Rpeccatoθ,F(R)){\ displaystyle (r, \ theta) \ mapsto \ left (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, f (r) \ right)}
Curve coordinate
Sia S la superficie definita da con (costante), questa superficie dell'equazione è chiamata curva coordinata .
ohm→=F→(tu,v){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v)}v=v0{\ stile di visualizzazione v = v_ {0}}ohm→=F→(tu,v0){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v_ {0})}VSv0{\ stile di visualizzazione C_ {v_ {0}}}
Quando attraverso tutti i valori accettabili , la riunione delle curve è la superficie S .
v0{\ stile di visualizzazione v_ {0}}v0,v1,v2,...vnon{\ displaystyle v_ {0}, v_ {1}, v_ {2}, ... v_ {n}}VSv0,VSv1,VSv2,...VSvnon,{\ displaystyle C_ {v_ {0}}, C_ {v_ {1}}, C_ {v_ {2}}, ... C_ {v_ {n}},}
Lo stesso procedimento è valido per la definizione delle curve di equazione .
VStu0{\ displaystyle C_ {u_ {0}}}ohm→=F→(tu0,v){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u_ {0}, v)}
Curva disegnata su una superficie
È definito da un'applicazione ed è composto da tutti i punti M dell'equazione:
T↦F(tu,v){\ displaystyle t \ mapsto f (u, v)}
ohm→=F→(tu(T),v(T)){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u (t), v (t))}Contenuto in S e detto disegnato su S .
Tangenti e piano tangente ad una superficie
Chiamiamo tangente ad una superficie S nel punto qualsiasi tangente ad una curva disegnata su S contenente .
m0{\ stile di visualizzazione M_ {0}}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0}}
Sia una funzione e, nell'intorno di , il vettore e le derivate parziali continue in .
F{\ stile di visualizzazione f}(tu,v)↦ohm→(tu,v){\ displaystyle (u, v) \ mapsto {\ overrightarrow {OM}} (u, v)}tu0,v0{\ stile di visualizzazione u_ {0}, v_ {0}}∂m→∂tu{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parziale M}} {\ parziale u}}}∂m→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parziale M}} {\ parziale v}}}tu0,v0{\ stile di visualizzazione u_ {0}, v_ {0}}
Se i vettori e sono indipendenti (non collineari), tutti i vettori tangenti alle curve tracciate e passanti per questo punto si trovano nel piano passante e contenente questi due vettori. È per definizione il piano tangente al punto .
∂m→∂tu{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parziale M}} {\ parziale u}}}∂m→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parziale M}} {\ parziale v}}}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0}}S{\ stile di visualizzazione S}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0}}S{\ stile di visualizzazione S}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0}}
Sia un piano tangente definito dal punto , e due vettori non collineari:
m0(X0,sì0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}
∂m→∂tu0=(∂X∂tu0,∂sì∂tu0,∂z∂tu0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u_ {0}}} = \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial u_ {0}}}, {\ frac { \ parziale y} {\ parziale u_ {0}}}, {\ frac {\ parziale z} {\ parziale u_ {0}}} \ destra)}, e
∂m→∂v0=(∂X∂v0,∂sì∂v0,∂z∂v0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parziale M}} {\ parziale v_ {0}}} = \ sinistro ({\ frac {\ parziale x} {\ parziale v_ {0}}}, {\ frac { \ parziale y} {\ parziale v_ {0}}}, {\ frac {\ parziale z} {\ parziale v_ {0}}} \ destra)}
La sua equazione è:
|X-X0∂X∂tu0∂X∂v0sì-sì0∂sì∂tu0∂sì∂v0z-z0∂z∂tu0∂z∂v0|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & {\ frac {\ parziali x} {\ parziali u_ {0}}} & {\ frac {\ parziali x} {\ parziali v_ {0}} } \\ y-y_ {0} & {\ frac {\ partial y} {\ partial u_ {0}}} & {\ frac {\ partial y} {\ partial v_ {0}}} \\ z-z_ {0} & {\ frac {\ parziali z} {\ parziali u_ {0}}} & {\ frac {\ parziali z} {\ parziali v_ {0}}} \ end {vmatrix}} = 0 \,}Ad esempio se l'equazione di è della forma , ponendo
e abbiamo:
S{\ stile di visualizzazione S \,}z=h(X,sì){\ stile di visualizzazione z = h (x, y) \,}P=hX'(X0,sì0),{\ displaystyle p = h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}Q=hsì'(X0,sì0),{\ displaystyle q = h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}
z-z0=P(X-X0)+Q(sì-sì0){\ stile di visualizzazione z-z_ {0} = p (x-x_ {0}) + q (y-y_ {0}) \,}
Se l'equazione è in forma implicita e se una derivata parziale di f in non è zero, possiamo ridurre al caso precedente con il teorema della funzione implicita. Ad esempio se , possiamo scrivere , e abbiamo
S{\ stile di visualizzazione S \,}F(X,sì,z)=0{\ stile di visualizzazione f (x, y, z) = 0 \,}(X0,sì0,z0){\ stile di visualizzazione (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}Fz'(X0,sì0,z0)≠0{\ displaystyle f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}z=h(X,sì){\ stile di visualizzazione z = h (x, y) \,}
hX'(X0,sì0)=-FX'(X0,sì0,z0)Fz'(X0,sì0,z0) eT hsì'(X0,sì0)=-Fsì'(X0,sì0,z0)Fz'(X0,sì0,z0){\ displaystyle h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} )} {f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \ \ mathrm {e} \ h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} {f' _ {z} (x_ {0}, y_ {0} , z_ {0})}} \,}.
Si scrive quindi l'equazione del piano tangente
(X-X0)FX'(X0,sì0,z0)+(sì-sì0)Fsì'(X0,sì0,z0)+(z-z0)Fz'(X0,sì0,z0)=0{\ displaystyle (x-x_ {0}) f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (y-y_ {0}) f' _ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (z-z_ {0}) f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = 0},
o, in forma vettoriale,
m0m→⋅GRaD F(m0)=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) = 0}.
Proprietà metriche
Normale a una superficie
Il piano tangente alla superficie nel punto è generato dai vettori e .
S{\ stile di visualizzazione S \,}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0} \,}∂m→∂tu0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ partial M}} {\ partial u_ {0}}}}∂m→∂v0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parziale M}} {\ parziale v_ {0}}}}
Si chiama normale alla superficie nel punto normale al piano tangente: ammette quindi per vettore direzionale .
S{\ stile di visualizzazione S \,}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0} \,}∂m→∂tu0∧∂m→∂v0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ parziali M}} {\ parziali u_ {0}}} \ wedge {\ frac {\ overrightarrow {\ parziali M}} {\ parziali v_ {0}}}}
Le sue equazioni sono:
X-X0∂(sì,z)∂(tu0,v0)=sì-sì0∂(z,X)∂(tu0,v0)=z-z0∂(X,sì)∂(tu0,v0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ parziale (y, z)} {\ parziale (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ parziale (z, x)} {\ parziale (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ parziale (x, y)} {\ parziale (u_ {0}, v_ {0})}}}},
con, ad esempio, lo Jacobiano uguale a .
∂(sì,z)∂(tu0,v0){\ displaystyle {\ frac {\ parziale (y, z)} {\ parziale (u_ {0}, v_ {0})}}}|∂sì∂tu0∂sì∂v0∂z∂tu0∂z∂v0|{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ partial y} {\ partial u_ {0}}} & {\ frac {\ partial y} {\ partial v_ {0}}} \\ {\ frac { \ parziale z} {\ parziale u_ {0}}} & {\ frac {\ parziale z} {\ parziale v_ {0}}} \ fine {vmatrix}}}
Nel caso in cui la superficie sia definita da un'equazione cartesiana , l'equazione della normale nel punto è data da
S{\ stile di visualizzazione S \,}z=h(X,sì){\ stile di visualizzazione z = h (x, y)}S{\ stile di visualizzazione S \,}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0} \,}
X-X0P=sì-sì0Q=z-z0-1{\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {p}} = {\ frac {y-y_ {0}} {q}} = {\ frac {z-z_ {0}} {- 1} } \,}
Nel caso in cui la superficie sia definita da un'equazione implicita , la normale in nel punto ha per vettore direzionale il gradiente di in , e l'equazione si scrive
S{\ stile di visualizzazione S \,}F(X,sì,z){\ stile di visualizzazione f (x, y, z)}S{\ stile di visualizzazione S \,}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0} \,}F{\ stile di visualizzazione f \,}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0} \,}
(X-X0)FX'(X0,sì0,z0)=(sì-sì0)Fsì'(X0,sì0,z0)=(z-z0)Fz'(X0,sì0,z0){\ displaystyle {\ frac {(x-x_ {0})} {f_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {( y-y_ {0})} {f_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {(z-z_ {0})} {f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \,},
oppure, in forma vettoriale:
m0m→=ρ⋅GRaD F(m0),ρ∈R{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = \ rho \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ rho \ in \ mathbb {R}}.
Intersezione di due superfici
Sia la curva , intersezione di superfici e le cui equazioni sono:
VS{\ stile di visualizzazione C \,}S1{\ stile di visualizzazione S_ {1} \,}S2{\ displaystyle S_ {2} \,}
S1↦F(X,sì,z)=0{\ displaystyle S_ {1} \ mapsto f (x, y, z) = 0}, e .
S2↦G(X,sì,z)=0{\ displaystyle S_ {2} \ mapsto g (x, y, z) = 0}Queste due superfici ammettono ciascuna un piano tangente in , rispettivamente indicato e .
m0(X0,sì0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}P1{\ stile di visualizzazione P_ {1} \,}P2{\ displaystyle P_ {2} \,}
La linea risultante dall'intersezione dei piani ed è la tangente a .
P1{\ stile di visualizzazione P_ {1} \,}P2{\ displaystyle P_ {2} \,}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0}}VS{\ stile di visualizzazione C \,}
Ammette come vettore guida:
W→=GRaD F(m0)∧GRaD G(m0){\ displaystyle {\ overrightarrow {W}} = \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) \ wedge \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0})}
Sia l'equazione:
X-X0∂(F,G)∂(sì0,z0)=sì-sì0∂(F,G)∂(z0,X0)=z-z0∂(F,G)∂(X0,sì0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ parziale (f, g)} {\ parziale (y_ {0}, z_ {0})}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ parziale (f, g)} {\ parziale (z_ {0}, x_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ parziale (f, g)} {\ parziale (x_ {0}, y_ {0})}}}}
L'equazione del piano normale a nel piano è definita ,
VS{\ stile di visualizzazione C \,}m0{\ stile di visualizzazione M_ {0} \,}m0,GRaD F(m0),GRaD G(m0){\ displaystyle M_ {0}, \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0}) \,}
La sua equazione è:
|X-X0∂F∂X(m0)∂G∂X(m0)sì-sì0∂F∂sì(m0)∂G∂sì(m0)z-z0∂F∂z(m0)∂G∂z(m0)|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x}} (M_ {0}) & {\ frac {\ parziale g} {\ parziale x} } (M_ {0}) \\ y-y_ {0} & {\ frac {\ parziale f} {\ parziale y}} (M_ {0}) & {\ frac {\ parziale g} {\ parziale y} } (M_ {0}) \\ z-z_ {0} & {\ frac {\ parziale f} {\ parziale z}} (M_ {0}) & {\ frac {\ parziale g} {\ parziale z} } (M_ {0}) \ fine {vmatrix}} = 0 \,}Vedi anche
Bibliografia
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