Distanza da Lévy-Prokhorov
In matematica , la distanza di Levy-Prokhorov , a volte chiamata distanza di Prokhorov , è una distanza sull'insieme delle misure di probabilità di un dato spazio metrico . Questo oggetto matematico deve il suo nome al matematico francese Paul Lévy e al matematico sovietico Yuri Prokhorov . È una generalizzazione della distanza di Lévy, a spazi diversi da , dovuta a Prokhorovov.
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Definizione
Sia uno spazio metrico e l'insieme delle misure di probabilità sullo spazio misurabile , dove denota la tribù Boreliana su .
(M,d){\ stile di visualizzazione (M, d)}P(M){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (M)} (M,B(M)){\ displaystyle (M, {\ mathcal {B}} (M))}B(M){\ displaystyle {\ mathcal {B}} (M)}M{\ stile di visualizzazione M}
Per un sottoinsieme e , denotano il - zona di definito come segue :, dove è aperta palla con il centro e il raggio del raggio .
A⊆M{\ displaystyle A \ subsetq M}ε>0{\ displaystyle \ epsilon> 0}Aε{\ displaystyle A ^ {\ varepsilon}}ε{\ displaystyle \ varepsilon}A{\ stile di visualizzazione A}Aε: ={p∈M|∃q∈Ad(p,q)<ε}=⋃p∈ABε(p){\ textstyle A ^ {\ varepsilon}: = \ {p \ in M \ mid \ esiste q \ in A \ quad d (p, q) <\ varepsilon \} = \ bigcup _ {p \ in A} B_ {\varepsilon} (p)}Bε(p){\ displaystyle B _ {\ varepsilon} (p)}p{\ stile di visualizzazione p} ε{\ displaystyle \ varepsilon}
La metrica di Lévy-Prokhorov è definita come:
π:P(M)2→[0,+∞[{\ displaystyle \ pi: {\ mathcal {P}} (M) ^ {2} \ a \ a sinistra [0, + \ infty \ a destra [}
π(μ,ν): =inf{ε>0|∀A∈B(M)μ(A)≤ν(Aε)+εeν(A)≤μ(Aε)+ε}{\ displaystyle \ pi (\ mu, \ nu): = \ inf \ left \ {\ varepsilon> 0 \ mid \ forall A \ in {\ mathcal {B}} (M) \ quad \ mu (A) \ leq \ nu (A ^ {\ varepsilon}) + \ varepsilon \; {\ text {e}} \; \ nu (A) \ leq \ mu (A ^ {\ varepsilon}) + \ varepsilon \ right \}},
Possiamo verificare che è una distanza limitata da 1.
Proprietà
Il risultato principale che giustifica l'introduzione di questa distanza è il seguente: se è separabile , allora la convergenza debole sullo spazio è equivalente alla convergenza secondo .
M{\ stile di visualizzazione M}P(M){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (M)}π{\ displaystyle \ pi}
Inoltre è quindi separabile e se è completo, allora lo è anche. Questa discussione può essere riassunta come segue: se è uno spazio polacco , allora è anche provvisto di convergenza in diritto.
P(M){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (M)}M{\ stile di visualizzazione M}P(M){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (M)}M{\ stile di visualizzazione M}P(M){\ displaystyle {\ mathcal {P}} (M)}
Alcuni autori rimuovono una delle disuguaglianze nella definizione di , o limitano la quantizzazione a open o closed from senza modificare le proprietà di cui sopra.
π{\ displaystyle \ pi}A{\ stile di visualizzazione A}M{\ stile di visualizzazione M}
Note e riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
“ Lévy – Prokhorov metric ” ( vedi elenco degli autori ) .
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(in) "Levy metric" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi online ).
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(in) "Metrica Levy-Prokhorov" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi online ).
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(in) Billingsley, Patrick, Convergence of Probability Measures , New York/Chichester/Weinheim ecc., John Wiley & Sons, Inc., New York,1999, 277 pag. ( ISBN 0-471-19745-9 , OCLC 41238534 )
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