Spazio misurabile

Uno spazio misurabile (in teoria della misurazione ), chiamato anche uno spazio di probabilità (in teoria della probabilità ), è una coppia in cui è un set e un tribù su . Gli elementi di sono quindi chiamati insiemi misurabili di . $(X, {\ mathcal {A}})$ $X$ ${\ mathcal {A}}$ $X$ ${\ mathcal {A}}$ $X$

Uno spazio misurabile è usato raramente da solo: il più delle volte è integrato da una misura per costruire uno spazio misurato . $\ mu$ $(X, {\ mathcal {A}}, \ mu)$

Caso di probabilità

Nella teoria della probabilità , viene utilizzata una terminologia specifica. Uno spazio misurabile è chiamato spazio di probabilità , il tutto è chiamato universo e gli elementi della tribù sono chiamati eventi . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$ $\Omega$ ${\ mathcal {A}}$

Lo spazio di probabilità , una volta completato con una misura di probabilità (cioè una misura tale che ) forma uno spazio di probabilità . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}})}$ $P$ ${\ displaystyle P (\ Omega) = 1}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P)}$

Esempi

Se qualsiasi set: $X$

${\ displaystyle \ sinistra (X, {\ mathcal {P}} (X) \ destra)}$ , dove si trova l' insieme di parti di è uno spazio misurabile. ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ $X$
${\ displaystyle \ left (X, \ {\ varnothing, X \} \ right)}$ è uno spazio misurabile, dove si trova la tribù grossolana. ${\ displaystyle \ {\ varnothing, \ Omega \}}$

Se è uno spazio topologico , dov'è la tribù di Borel di , è uno spazio misurabile. $X$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {B}} (X))}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (X)}$ $X$

Definizioni alternative

Alcune fonti relativamente antiche offrono definizioni leggermente diverse: per Paul Halmos , Measure Theory , Van Nostrand,1950, p. 73, uno spazio misurabile è un insieme dotato di un'unità σ-anello ; per Sterling Berberian, Measure and Integration , MacMillan,1965, p. 35 è un insieme dotato di un anello σ (senza condizione di esistenza di un'unità). Le relazioni tra le tre definizioni sono spiegate nel lavoro di S. Berberian, p. 35-36.