In matematica , uno spazio topologico X ha basi numerabili di quartieri se ogni punto x di X ha una numerabile base quartieri , ossia se esiste una sequenza V 0 , V 1 , V 2 , ... di quartieri di x tali che qualsiasi intorno di x contiene uno di V n . Questa nozione è stata introdotta nel 1914 da Felix Hausdorff .
Qualsiasi spazio metrico (quindi anche qualsiasi spazio metrizzabile ) ha basi numerabili di quartieri (si prenda ad esempio V n = una palla (aperta o chiusa) di centro xe raggio 2 - n ).
Ogni spazio discreto ha una base numerabile di quartieri.
Qualsiasi spazio con una base numerabile ha una base numerabile di quartieri ma il contrario è falso:
Qualsiasi spazio perfettamente normale che sia compatto e numerabile ha una base numerabile di quartieri.
La topologia co-finita su un insieme non numerabile non ha una base numerabile di intorni.
Un altro controesempio è lo spazio compatto [0, ω 1 ] = ω 1 + 1 (fornito con la topologia dell'ordine ) dove ω 1 indica il primo ordinale non numerabile . L'elemento ω 1 è un punto limite del sottoinsieme [0, ω 1 [ma nessuna sequenza di elementi di questo sottoinsieme converge a ω 1 . In particolare, il punto ω 1 nello spazio [0, ω 1 ] = ω 1 + 1 non ha basi numerabili di intorno. Poiché ω 1 è l'unico punto di [0, ω 1 ] che non ha tale base, il sottospazio [0, ω 1 [, d'altra parte, ha basi numerabili di intorno.
Il bouquet di cerchi ℝ / ℤ dove la linea reale ℝ è dotata della sua usuale topologia e tutti gli interi sono identificati 0, non è una base numerabile di quartieri ma solo "Frechet-Urysohn" ( vedi sotto).
Qualsiasi spazio con basi numerabili di quartieri è uno spazio di Fréchet-Urysohn , cioè qualsiasi punto aderente a una parte A di questo spazio X è vincolato da una sequenza di valori in A , che fornisce a questo spazio una "caratterizzazione sequenziale" del nozione di limite (quindi anche di quella di continuità ): così che il limite in un punto x di una mappa f : X → Y esiste ed è uguale a y , (è necessario e) basta che, per qualsiasi successione di punti ( x n ) in X convergente ax , la successione ( f ( x n )) converge a y .
In uno spazio con basi numerabili di intorni, i valori di aderenza di una successione sono i limiti delle sue sottosequenze convergenti.
Uno spazio con basi numerabili di quartieri è sequenzialmente compatto se e solo se è numerabilmente compatto.
Uno spazio Lindelöf separato (in particolare uno spazio compatto ) con basi numerabili di quartieri ha al massimo il potere del continuum .
Qualsiasi spazio separato X con basi numerabili di quartieri è uno spazio di Kelley , cioè una parte di X è chiusa se e solo se la sua intersezione con qualsiasi compatto di X è chiusa.
La proprietà di essere con basi numerabili di quartieri è preservata da sottospazi e da prodotti numerabili , mentre un prodotto infinito innumerevole di spazi non grossolani non è mai con basi numerabili di quartieri , né tantomeno sequenziale .