Immersione Kuratowski
In matematica , l' incorporamento di Kuratowski per identificare qualsiasi spazio metrico in una parte di uno spazio di Banach (non così canonico ).
Teorema di Kuratowski-Wojdysławski
Se ( X , d ) è uno spazio metrico, ha un punto di X e ℓ ∞ ( X ) lo spazio di Banach delle mappe limitate di X in ℝ , dotato della norma di convergenza uniforme , allora la mappa
Φ:X→ℓ∞(X){\ displaystyle \ Phi: X \ to \ ell ^ {\ infty} (X)}
definito da
∀X,y∈XΦ(X)(y)=d(X,y)-d(a,y){\ Displaystyle \ forall x, y \ in X \ quad \ Phi (x) (y) = d (x, y) -d (a, y)}
è un'isometria , la cui immagine è chiusa nel suo involucro convesso .
Se ( X , d ) è limitato , possiamo definire una tale isometria più semplicemente, ponendo Φ ( x ) ( y ) = d ( x , y ) .
Ovviamente si può restringere il codominio al vettore subspaziale chiuso l ∞ ( X ) costituito da mappature limitate continue .
Utilizza
Questi incorporamenti sono utili perché gli spazi di Banach hanno determinate proprietà che non tutti gli spazi metrici hanno: sono spazi vettoriali - il che rende possibile aggiungere punti e praticare la geometria elementare su linee , piani , ecc. - e sono completi . Data una mappa f il cui insieme di destinazione è X , potremmo voler estendere f ad un più ampio insieme di definizione , che spesso richiede espandendo il suo insieme di destinazione, allo stesso tempo, in uno spazio di Banach contenente X .
Storia
Formalmente, Kazimierz Kuratowski è stato il primo a introdurre questo incorporamento, ma Maurice Fréchet aveva già formulato una variante molto simile, in un articolo in cui ha dato la prima definizione della nozione di spazio metrico.
Note e riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Kuratowski embedding " ( vedere l'elenco degli autori ) .
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(it) K. Morita e J.-I. Nagata , Topics in General Topology , Elsevier ,1989, 746 p. ( ISBN 978-0-08-087988-8 , leggi online ) , p. 49.
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(en) Karol Borsuk , Teoria dei ritratti ,1967, Teorema III.8.1 .
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(in) Juha Heinonen, " Incorporamenti geometrici di spazi metrici " ,gennaio 2003.
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Casimir Kuratowski, " Alcuni problemi relativi agli spazi metrici inseparabili ", Fundam. Matematica. , vol. 25,1935, p. 534-545 ( leggi in linea ).
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Maurice Fréchet, “ Su alcuni punti del calcolo funzionale ”, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo (en) , vol. 22,1906, p. 1-74 ( DOI 10.1007 / BF03018603 ).
Vedi anche
Articoli Correlati
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Inviluppo metrico (en) , un incorporamento di uno spazio metrico in uno spazio metrico iniettivo (en) , definito in modo analogo all'inclusione di Kuratowski
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Teorema di gotta , un esempio di utilizzo
link esterno
- (it) Richard F. Arens e James Eells , " Sull'inclusione di spazi uniformi e topologici " , Pacific J. Math. , vol. 6, n o 3,1956, p. 397-403 ( leggi in linea )
- (it) James Dugundji , " Un'estensione del teorema di Tietze " , Pacific J. Math. , vol. 1, n o 3,1951, p. 353-367 ( leggi in linea )
- ( fr ) Kinjirô Kunugui, " Applicazioni di spazi a un'infinità di dimensioni per impostare la teoria " , Proc. Imp. Acad. , vol. 11, n o 9,1935, p. 351-353 ( DOI 10.3792 / pia / 1195580328 )
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