In matematica , e più precisamente in topologia , il teorema di invarianza del dominio è un risultato dovuto a LEJ Brouwer (1912), relativo ad applicazioni continue tra sottoinsiemi di R n .
La forma più comune di questo teorema è:
Let U un set-in aperto di R n ed f : U → R n un'iniezione continua , quindi V = f ( U ) è aperto e f è un omeomorfismo fra U e V .La dimostrazione moderna utilizza strumenti di topologia algebrica e teorema del punto fisso di Brouwer ; possiamo affermarlo più semplicemente dicendo che, nelle stesse condizioni, f è una mappa aperta , vale a dire che l'immagine di f di ogni aperto è aperta.
In generale, per dimostrare che f è un omeomorfismo, dobbiamo mostrare che f e il suo reciproco f −1 sono continui; il teorema afferma che, se il dominio U di f è aperto e se le dimensioni degli spazi iniziali e finali sono le stesse, la continuità di f −1 è automatica. Inoltre, afferma che se U e V sono omeomorfi, e se U è aperto, lo è anche V (come sottoinsieme di R n ). Nessuna di queste due affermazioni è banale e non sono più necessariamente vere in spazi più generali.
È essenziale che le dimensioni delle aree di partenza e di arrivo siano le stesse. Si consideri ad esempio l'applicazione f :] 0,1 [→ R 2 definita da f ( t ) = ( t , 0). Questa applicazione è iniettiva e continua, il suo dominio è aperto di R , ma la sua immagine non è aperta di R 2 . Un esempio più estremo è dato da g :] –2,1 [→ R 2 , con g ( t ) = ( t 2 - 1, t 3 - t ): g è iniettiva e continua, ma non è un omeomorfismo da] –2,1 [alla sua immagine (questa è una porzione del tossoide, e il limite di g in 1 è il doppio punto g (–1), che mostra che g −1 non è continuo in questo punto).
Il teorema non si generalizza neanche a spazi di dimensione infinita. Quindi, sia ℓ ∞ lo spazio di Banach delle successioni limitate reali, e f : ℓ ∞ → ℓ ∞ l' operatore di spostamento f ( x 1 , x 2 , ...) = (0, x 1 , x 2 , .. .). Allora f è iniettiva e continua, il dominio di f è aperto (poiché è l'intero spazio), ma l'immagine di f non è aperta in ℓ ∞ .
Una conseguenza importante del teorema di invarianza di dominio è che R n non può essere omeomorfo a R m se m ≠ n . Infatti se m < n possiamo considerare il sottospazio E m = R m × {0} n - m , omeomorfo a R m ; E m è un interno vuoto, cioè non contiene aperture non vuote di R n . Se f : R n → R n assume i suoi valori in E m allora, secondo il teorema, non può essere sia iniettiva che continua. A maggior ragione , non c'è omeomorfismo tra R n e R m . Il ragionamento generalizza ad aprire (non vuoto) di R n e R m .
Il teorema permette anche di dare una condizione sufficiente perché un'applicazione sia aperta: qualsiasi mappa continua iniettiva localmente (tale che ogni punto abbia un intorno su cui la restrizione di f è iniettiva) da R n a R n , e più in generale tra due varietà topologiche della stessa dimensione, è aperto.
Esistono anche generalizzazioni del teorema di invarianza del dominio ad alcune applicazioni continue di uno spazio di Banach in sé.