In matematica , una funzione monotona è una funzione tra insiemi ordinati che conserva o inverte l'ordine. Nel primo caso si parla di funzione crescente e nell'altro di funzione decrescente . Questo concetto è apparso per la prima volta nell'analisi reale per le funzioni numeriche ed è stato poi generalizzato nel quadro più astratto della teoria dell'ordine .
Intuitivamente (vedi figure a fianco), la rappresentazione grafica di una funzione monotona su un intervallo è una curva che "sale" o "scende" costantemente. Se questo aspetto grafico è subito parlando, non è però l'unica forma in cui si rivela la proprietà della monotonia: una funzione monotona è una funzione che ha sempre lo stesso effetto sul rapporto d'ordine . Per una funzione crescente, l'ordine che esiste tra due variabili si trova nell'ordine delle loro immagini , per una funzione decrescente, l'ordine delle immagini è invertito rispetto all'ordine degli antecedenti .
Per una funzione differenziabile su un intervallo , lo studio della monotonia è legato allo studio del segno della derivata, che è costante: sempre positivo o sempre negativo.
Lasciare che un intervallo di ℝ e f una funzione con valori reali, il dominio di definizione contiene dell'intervallo I .
Monotonia in senso lato. Diciamo che f è:
Esempio : per ogni x reale , indichiamo qui E ( x ) la parte intera di x (è l'unico intero relativo k tale che k ≤ x <k + 1). La funzione E: ℝ → ℝ è crescente su ℝ ma non strettamente crescente (cfr infra ), perché è costante su ogni intervallo [ i , i + 1 [di interi fini.
Monotonia rigorosa. Diciamo che f è:
Esempi : sia n un intero strettamente positivo.
Nota 1 : per una funzione f è crescente (rispettivamente decrescente ) su I è necessario e sufficiente che - fo decrescente (rispettivamente decrescente) Su I .
Nota 2 : in modo che una funzione monotona f di I in ℝ non è strettamente così, è necessario (e naturalmente è sufficiente) che ho contengono un intervallo non banale (cioè non vuota e non ridotto a un punto) in cui f è costante.
Date due funzioni crescenti su I . Allora :
Abbiamo una proprietà analoga per funzioni strettamente crescenti.
ComposizioneSiano f due funzioni : I → ℝ eg : J → ℝ, dove I e J sono due intervalli reali tali che f ( I ) ⊂ J ; possiamo definire la funzione composta g ∘ f : I → ℝ.
Se f è monotono su I e g monotono su J , allora g ∘ f è monotono su I . Più precisamente :
Abbiamo una proprietà analoga per le funzioni strettamente monotone.
iniettivitàUna funzione strettamente monotona su un intervallo I è iniettiva , vale a dire che due elementi distinti di I hanno immagini distinte.
Infatti, se x , y sono due elementi distinti di I abbiamo (assumendo ad esempio f strettamente crescente)
se x < y allora f ( x ) < f ( y ),
se x > y allora f ( x )> f ( y ),
quindi in entrambi i casi f ( x ) e f ( y ) sono distinti.
Questa proprietà, associata al teorema dei valori intermedi , è utile per trovare il numero di zeri in una funzione .
Sia] a , b [essere un intervallo aperto (limitato o meno) e una funzione crescente f :] a , b [→ ℝ. Allora :
Un analogo teorema per le funzioni decrescenti segue immediatamente sostituendo f con -f .
Un corollario di questo teorema è la continuità di ogni suriezione monotona di un intervallo su un intervallo .
Un'altra applicazione tipica riguarda le funzioni di distribuzione di variabili casuali .
Punti di discontinuitàTeorema di Froda (1929): l'insieme D dei punti di discontinuità di una funzione monotona è finito o numerabile (diciamo che è al più numerabile ). Infatti, notando ε x = f ( x + ) - f ( x - ), la famiglia (ε x ) x ∈ D ∩ [ c , d ] dei reali strettamente positivi è quindi sommabile al massimo numerabile per tutti [ c , d ] compreso nell'intervallo di monotonicità. Froda ha infatti dimostrato che per ogni funzione reale l'insieme dei punti di discontinuità della prima specie è al più numerabile. Tuttavia, per una funzione monotona, il teorema del limite monotono dice esattamente che questo tipo di discontinuità è l'unico possibile.
Un uso classico e importante del calcolo differenziale è la caratterizzazione, tra le funzioni derivabili (di variabile reale, e con valori reali), di quelle monotone (in senso lato o in senso stretto) su un intervallo.
Teorema - Sia I un intervallo reale e f : I → ℝ una mappa differenziabile.
Il punto 1 è classico (si usa il passaggio al limite nelle disequazioni e il teorema degli incrementi finiti ).
Il punto 2 può essere dedotto da ciò utilizzando l' osservazione 2 di cui sopra . Dettaglio: in senso diretto: se f ' si annulla su un intervallo non banale allora f è costante su questo intervallo quindi non è strettamente monotono. Viceversa, supponiamo che f sia monotona ma non strettamente. Dall'Osservazione 2, esiste un intervallo non banale su cui f è costante; su tale intervallo, f ' è zero.
OsservazioniUna funzione crescente è differenziabile quasi ovunque (dimostriamo prima - grazie alla massima disuguaglianza di Hardy-Littlewood - che le sue quattro derivate Dini sono finite quasi ovunque, poi - grazie al teorema di recupero di Vitali - che sono un altro metodo per questo secondo passo è quello di dimostrarlo nel caso in cui la funzione è continua - grazie al lemma del sole nascente - poi notare che ogni funzione crescente è la somma di una funzione crescente continua e di un "salto di funzione" e che quest'ultimo è quasi ovunque di derivata nulla ).
Ne deduciamo due corollari:
Un'applicazione tra due spazi topologici è detto essere monotona se ciascuna delle sue fibre è collegato, vale a dire che per tutto nel set (che può essere vuoto ) è collegato.
In analisi funzionale , un operatore su uno spazio vettoriale topologico (che può essere non lineare) è detto operatore monotono se
Il teorema di Kachurovskii (en) mostra che le derivate delle funzioni convesse sugli spazi di Banach sono operatori monotoni.
La teoria dell'ordine si occupa di insiemi parzialmente ordinati e di insiemi preordinati generali, oltre agli intervalli di reali. La suddetta definizione di monotonia è rilevante anche in questi casi. Ad esempio, considera una mappatura f da un insieme ordinato ( A , ≤ A ) a un insieme ordinato ( B , ≤ B ).
Le applicazioni monotone sono centrali nella teoria dell'ordine. Alcune applicazioni monotone notevoli sono le immersioni d' ordine (applicazioni per le quali x ≤ y se e solo se f ( x ) ≤ f ( y )) e gli isomorfismi d'ordine (immersioni d' ordine che sono suriettive).