Algebra avvolgente
In matematica , possiamo costruire l' algebra avvolgente di un'algebra di Lie . Si tratta di un'algebra associativa unitaria che rende possibile spiegare la maggior parte delle proprietà di .
U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})} g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
Algebre di Lie
Sia K un campo commutativo con caratteristica diversa da 2. Un'algebra di Lie su K è uno spazio vettoriale dotato di una mappa bilineare di in cui soddisfa le seguenti proprietà:
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(X,y)↦[X,y]{\ displaystyle (x, y) \ mapsto [x, y]}g×g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
-
∀X∈g, [X,X]=0{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0} ;
-
∀X,y,z∈g, [X,[y,z]]+[y,[z,X]]+[z,[X,y]]=0{\ Displaystyle \ forall x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0}.
Qualsiasi spazio vettoriale può essere dotato di una struttura di algebra di Lie, ponendo . Tale algebra di Lie, dove la parentesi di Lie è identicamente zero, è chiamata abeliana .
V{\ displaystyle V}∀X,y∈V, [X,y]=0{\ displaystyle \ forall x, y \ in V, \ [x, y] = 0}
Un altro esempio, fondamentale per quanto segue, è il seguente. Lasciare V uno spazio vettoriale su K . L'algebra associativa di endomorphism di V può essere provvisto di una struttura di algebra Lie, dalla regolazione: . Indichiamo anche l'algebra di Lie così ottenuta. Quando V è dimensione finita n , identifica la dimensione di matrici a coefficienti in K . Viene quindi annotato .
Enond(V){\ displaystyle End (V)}[u,v]=u∘v-v∘u{\ displaystyle [u, v] = u \ circ vv \ circ u}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}non×non{\ displaystyle n \ times n}gl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}
La costruzione di un'algebra avvolgente risponde al problema reciproco: da un'algebra di Lie , possiamo costruire un'algebra associativa il cui commutatore corrisponde alla parentesi di Lie di ?
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
L'algebra avvolgente
Costruzione
Dall'algebra di Lie , possiamo costruire il prodotto tensoriale e più in generale . Prendiamo atto per convenzione . Consideriamo quindi l' algebra tensoriale di , definita da
. Indichiamo l'applicazione canonica di in . L'algebra tensoriale soddisfa una proprietà universale: per ogni mappa lineare di in un'algebra associativa unitaria A , esiste un unico morfismo di algebre tale che e .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g⊗g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ otimes {\ mathfrak {g}}}g⊗non=g⊗⋯⊗g⏟non{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ otimes n} = \ underbrace {{\ mathfrak {g}} \ otimes \ cdots \ otimes {\ mathfrak {g}}} _ {n}}g⊗0=K{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ otimes 0} = K}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g)=K⊕g⊕g⊗2⊕⋯=∑non=0∞ g⊗non{\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}}) = K \ oplus {\ mathfrak {g}} \ oplus {\ mathfrak {g}} ^ {\ otimes 2} \ oplus \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ {\ mathfrak {g}} ^ {\ otimes n}}σ{\ displaystyle \ sigma}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}τ{\ displaystyle \ tau}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}τ¯{\ displaystyle {\ bar {\ tau}}}τ¯(1)=1{\ displaystyle {\ bar {\ tau}} (1) = 1}τ=τ¯∘σ{\ displaystyle \ tau = {\ bar {\ tau}} \ circ \ sigma}
Per costruire l'algebra avvolgente, è anche necessario prendere in considerazione la struttura dell'algebra di Lie di . Vogliamo quindi forzare per essere alla pari . Più formalmente, sia J l' ideale bilaterale generato da , per . L'algebra avvolgente è poi il quoziente di l'ideale J . La canonica iniezione di in passa al quoziente e quindi fornisce un morfismo .
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}X⊗Y-Y⊗X{\ displaystyle X \ otimes YY \ otimes X}[X,Y]{\ displaystyle [X, Y]}X⊗Y-Y⊗X-[X,Y]{\ displaystyle X \ otimes YY \ otimes X- [X, Y]}X, Y∈ g{\ displaystyle X, \ Y \ in \ {\ mathfrak {g}}}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}σ:g→U(g){\ displaystyle \ sigma: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow U ({\ mathfrak {g}})}
Notare l'immagine di in . Quando l'algebra di Lie è di dimensione finita, è un sottospazio vettoriale di dimensione finita di . In ogni caso, si ha la filtrazione seguente: .Unon(g){\ displaystyle U ^ {n} ({\ mathfrak {g}})}∑K=0non g⊗K{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ {\ mathfrak {g}} ^ {\ otimes k}}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Unon(g){\ displaystyle U ^ {n} ({\ mathfrak {g}})}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}U(g)=∪K=0∞ UK(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}}) = \ cup _ {k = 0} ^ {\ infty} \ U ^ {k} ({\ mathfrak {g}})}
Esempio Si consideri l'algebra di Lie abeliana K , di dimensione 1. In questo caso, la parentesi di Lie è identicamente zero. L'ideale J è quindi generato dai vettori , per . Verifichiamo quindi in questo caso che (l'algebra dei polinomi in un indeterminato).
X⊗Y-Y⊗X{\ displaystyle X \ otimes YY \ otimes X}X, Y∈ K{\ displaystyle X, \ Y \ in \ K}U(K)≅K[T]{\ displaystyle U (K) \ cong K [T]}
Proprietà universale
Per quanto riguarda l'algebra tensoriale, possiamo caratterizzare l'algebra avvolgente da una proprietà universale:
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
Proprietà universale dell'algebra avvolgente -
Sia una mappa lineare di in un'algebra associativa con unità A tale che
φ{\ displaystyle \ varphi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
φ([X,Y])=φ(X)φ(Y)-φ(Y)φ(X){\ Displaystyle \ varphi ([X, Y]) = \ varphi (X) \ varphi (Y) - \ varphi (Y) \ varphi (X)}, per tutto . Allora esiste un unico morfismo di algebre tale che e .
X, Y∈ g{\ displaystyle X, \ Y \ in \ {\ mathfrak {g}}}φ~:U(g)↦A{\ displaystyle {\ tilde {\ varphi}}: U ({\ mathfrak {g}}) \ mapsto A}φ~(1)=1{\ displaystyle {\ tilde {\ varphi}} (1) = 1}φ=φ~∘σ{\ displaystyle \ varphi = {\ tilde {\ varphi}} \ circ \ sigma}
Nota L'unicità deriva dal fatto che è generata da 1 e . L'esistenza è ottenuta dalla proprietà universale dell'algebra tensoriale.U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}σ(g){\ displaystyle \ sigma ({\ mathfrak {g}})}
Questa proprietà universale ha un'importante conseguenza nella teoria delle rappresentazioni, vale a dire che qualsiasi rappresentazione di in uno spazio vettoriale V si estende in modo univoco in un morfismo di algebre tra e .
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}Enond(V){\ displaystyle End (V)}
Teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt e sue conseguenze
Il teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt (PBW) fornisce una base per l'algebra avvolgente e quindi ci permette di comprenderne meglio la struttura. Per semplificare un po 'l'affermazione, la forniamo per un'algebra di Lie di dimensione finita.
Teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt -
L'applicazione è iniettiva. Sia una base di . Poi i monomi , formano una base .
σ:g↦U(g){\ displaystyle \ sigma: {\ mathfrak {g}} \ mapsto U ({\ mathfrak {g}})}X1,..., Xnon{\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, \ X_ {n}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}X1j1⋯Xnonjnon{\ displaystyle X_ {1} ^ {j_ {1}} \ cdots X_ {n} ^ {j_ {n}}}jK≥0{\ displaystyle j_ {k} \ geq 0}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}
Ecco alcune importanti conseguenze di PBW:
- Sia una subalgebra di Lie di . Quindi viene identificato con una subalgebra associativa di .h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(h){\ displaystyle U ({\ mathfrak {h}})}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}
- Supponiamo che è la somma diretta di due sottoalgebre: . Allora l'algebra è isomorfa al prodotto tensoriale .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g=a⊕b{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {a}} \ oplus {\ mathfrak {b}}}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}U(a)⊗U(b){\ displaystyle U ({\ mathfrak {a}}) \ otimes U ({\ mathfrak {b}})}
- Sia l'algebra di Lie abeliana di dimensione n . Allora è isomorfo all'algebra dei polinomi .Knon{\ displaystyle K ^ {n}}U(Knon){\ displaystyle U (K ^ {n})}K[T1,...,Tnon]{\ displaystyle K [T_ {1}, \ ldots, T_ {n}]}
- Sia V uno spazio vettoriale. Qualsiasi morfismo di algebre in dare una rappresentazione di restrizione a V . Tenendo conto dell'osservazione della parte precedente, ciò fornisce un'equivalenza di categorie tra la categoria delle rappresentazioni di e quella delle rappresentazioni di algebra .U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}Enond(V){\ displaystyle \ mathop {\ mathrm {End}} (V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}
In alcuni casi, è possibile descrivere esplicitamente l'algebra avvolgente. Sia G un vero gruppo di Lie, dell'algebra di Lie . Notare la complessificazione di . In entrambi i casi . Costruiamo quindi l' operatore differenziale su da:
g0{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g0{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}X∈ g0{\ displaystyle X \ in \ {\ mathfrak {g}} _ {0}} X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}VS∞(G){\ displaystyle C ^ {\ infty} (G)}
X~(f)(X)=ddt|t=0 f(Xexp(tX)){\ displaystyle {\ tilde {X}} (f) (x) = {\ frac {d} {dt}} _ {| _ {t = 0}} \ f (x \ exp (tX))}, per e . L'operatore è un esempio di operatore differenziale invariante a sinistra (cioè pendolarismo con traslazioni a sinistra per vettori di G ). Indichiamo con D (G) l'insieme degli operatori differenziali invarianti a sinistra. Quindi abbiamo un'applicazione . Questa mappa si estende in una mappa di in D (G) . Questa mappa definisce per proprietà universale un morfismo di algebre da in D (G) . Questo morfismo è un fatto un isomorfismo . Così algebra avvolgente si identifica con l'algebra di operatori differenziali invarianti lasciati su G .f∈ VS∞(G){\ Displaystyle f \ in \ C ^ {\ infty} (G)}X∈ G{\ displaystyle x \ in \ G}X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}X∈ g0↦X~∈ D(G){\ displaystyle X \ in \ {\ mathfrak {g}} _ {0} \ mapsto {\ tilde {X}} \ in \ D (G)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
Esempio Diamo un'occhiata al caso semplice dell'algebra di Lie . Il gruppo di Lie ha per l'algebra di Lie , che ha per complessato . Ecco il solito spazio delle funzioni con valori in . Quindi, per , l'operatore è dato da . In altre parole, l'operatore è dato da . D'altra parte, un operatore differenziale su G rimane invariante se e solo se . Quindi, abbiamo ciò con cui si identifica , che è isomorfo a come abbiamo già notato.
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}R∗{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS∞(G){\ displaystyle C ^ {\ infty} (G)}VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}X∈ R{\ displaystyle X \ in \ \ mathbb {R}}X~{\ displaystyle {\ tilde {X}}}X~(f)(X)=XXf′(X){\ displaystyle {\ tilde {X}} (f) (x) = xXf '(x)}X~(f)(X)=X×XddX(f)(X){\ displaystyle {\ tilde {X}} (f) (x) = X \ times x {\ frac {d} {dx}} (f) (x)}D=∑K=0non aK(X)dKdXK{\ Displaystyle D = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ a_ {k} (x) {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}}}aK(X)=aK×XK{\ displaystyle a_ {k} (x) = a_ {k} \ times x ^ {k}}D=∑K=0non aKXKdKdXK{\ Displaystyle D = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ a_ {k} x ^ {k} {\ frac {d ^ {k}} {dx ^ {k}}}}D(R∗){\ displaystyle D (\ mathbb {R} ^ {*})}VS[T]{\ displaystyle \ mathbb {C} [T]}U(VS){\ displaystyle U ({\ mathfrak {\ mathbb {C}}})}
Rappresentanza delegata
L'algebra di Lie agisce su se stessa tramite la rappresentazione aggiunta definita da , per . Questa rappresentazione si estende in una rappresentazione della sua algebra avvolgente, tramite la formula , per e . Questa rappresentazione lascia stabili i sottospazi e quindi anche i quozienti . Quando è di dimensione finita, è anche di dimensione finita. Ciò fornisce quindi un'intera famiglia di rappresentazioni dimensionali finite di .
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}ad:g→gl(g){\ displaystyle ad: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}ad(X)(Y)=[X,Y]{\ displaystyle ad (X) (Y) = [X, Y]}X, Y∈ g{\ displaystyle X, \ Y \ in \ {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}ad(X)(u)=X⊗u-u⊗X{\ displaystyle ad (X) (u) = X \ otimes uu \ otimes X}X∈ g{\ displaystyle X \ in \ {\ mathfrak {g}}}u∈ U(g){\ displaystyle u \ in \ U ({\ mathfrak {g}})}Unon(g){\ displaystyle U ^ {n} ({\ mathfrak {g}})}Unon+1(g)=Unon+1(g)/Unon(g){\ displaystyle U_ {n + 1} ({\ mathfrak {g}}) = U ^ {n + 1} ({\ mathfrak {g}}) / U ^ {n} ({\ mathfrak {g}}) }g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Unon(g){\ displaystyle U_ {n} ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
Algebra simmetrica
Un altro quoziente dell'algebra tensoriale gioca un ruolo importante: l'algebra simmetrica. Sia io l'ideale bilaterale di generato dai vettori . L' algebra simmetrica è l'algebra quoziente . È un'algebra associativa e commutativa. Notiamo sempre l'applicazione canonica di in . Come per l'algebra avvolgente, l'algebra simmetrica soddisfa una proprietà universale:
T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}X⊗Y-Y⊗X{\ displaystyle X \ otimes YY \ otimes X} S(g){\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}})}T(g)/io{\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}}) / I}σ{\ displaystyle \ sigma}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}S(g){\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}})}
Proprietà universale dell'algebra simmetrica -
Sia C un'algebra associativa e commutativa, con unità. Per ogni mappa lineare , esiste un unico morfismo di algebre tale che e .
φ:g→VS{\ displaystyle \ varphi: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow C}φ~:S(g)→VS{\ displaystyle {\ tilde {\ varphi}}: S ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow C}φ~(1)=1{\ displaystyle {\ tilde {\ varphi}} (1) = 1}φ=φ~∘σ{\ displaystyle \ varphi = {\ tilde {\ varphi}} \ circ \ sigma}
Le due algebre simmetriche e avvolgenti sono collegate da una mappa di simmetrizzazione . In effetti, costruiamo un'applicazione come segue:
Sym:S(g)→U(g){\ displaystyle Sym: S ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow U ({\ mathfrak {g}})}
Sym(X1⋯Xnon)=1non!∑S∈ Snon XS(1)⋯XS(non),{\ displaystyle Sym (X_ {1} \ cdots X_ {n}) = {\ frac {1} {n!}} \ displaystyle \ sum _ {s \ in \ {\ mathfrak {S}} _ {n}} \ X_ {s (1)} \ cdots X_ {s (n)},}dove indica il gruppo di permutazioni di n elementi. Infatti, la mappa Sym è un isomorfismo lineare di sur (la struttura algebrica non è conservata in generale perché non è commutativa quando l'algebra di Lie non è abeliana).
Snon{\ displaystyle {\ mathfrak {S}} _ {n}}S(g){\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}})}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
Avvolgente struttura ad anello algebrico
Assumiamo in questa parte che il campo base K abbia caratteristica zero.
Generale
L'algebra avvolgente è in particolare un anello . Lo studio di questa struttura ad anello è fondamentale nella teoria delle rappresentazioni. L'anello U non ha divisore di zero (ovvero, anche il prodotto di due elementi diversi da zero di U è diverso da zero). L'anello U è noetheriano : ogni sequenza crescente di ideali è stazionaria. Tuttavia U non è artiniano : ad esempio, l' ideale bilaterale generato da contiene l'ideale generato da , che contiene l'ideale generato da , ecc.
U=U(g){\ displaystyle U = U ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g⊗2{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ otimes 2}}g⊗3{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ otimes 3}}
Centro di algebra avvolgente
Il centro dell'algebra avvolgente è . In effetti, come genera , abbiamo anche . Anche quando l'algebra di Lie ha un centro banale, l'algebra avvolgente può avere un centro non banale (o anche grande ).
Z(U(g))={u∈ U(g) : uv=vu, ∀ v∈ U(g)}{\ displaystyle Z (U ({\ mathfrak {g}})) = \ {u \ in \ U ({\ mathfrak {g}}) \: \ uv = vu, \ \ forall \ v \ in \ U ( {\ mathfrak {g}}) \}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}Z(U(g))={u∈ U(g) : uX=Xu, ∀ X∈ g}={u∈ U(g) : ad(X)(u)=0, ∀ X∈ g}{\ displaystyle Z (U ({\ mathfrak {g}})) = \ {u \ in \ U ({\ mathfrak {g}}) \: \ uX = Xu, \ \ forall \ X \ in \ {\ mathfrak {g}} \} = \ {u \ in \ U ({\ mathfrak {g}}) \: \ ad (X) (u) = 0, \ \ forall \ X \ in \ {\ mathfrak {g }} \}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
Esempio Si consideri l'algebra di Lie di marices complesse di dimensione , traccia zero. Una base di è data dalle seguenti matrici:
g=Sl(2,VS){\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}2×2{\ displaystyle 2 \ times 2}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
H=(100-1), E=(0100), F=(0010).{\ displaystyle H = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {array}} \ right), \ E = \ left ({\ begin {array} {cc } 0 & 1 \ \ 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ F = \ left ({\ begin {array} {cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {array}} \ right ).}
Il dato vettore è un elemento dal centro : . Più precisamente, possiamo dimostrarlo . In altre parole, il vettore genera algebra . Questo è un caso speciale di un risultato di Harish-Chandra e di un risultato di Chevalley al centro di algebre avvolgenti di algebre di Lie semi-semplici .Z(U(g)){\ displaystyle Z (U ({\ mathfrak {g}}))}Ω=12H⊗H+E⊗F+F⊗E{\ displaystyle \ Omega = {\ frac {1} {2}} H \ otimes H + E \ otimes F + F \ otimes E}Z(U(g))=VS[Ω]{\ displaystyle Z (U ({\ mathfrak {g}})) = \ mathbb {C} [\ Omega]}Ω{\ displaystyle \ Omega}Z(U(g)){\ displaystyle Z (U ({\ mathfrak {g}}))}
L'algebra gioca un ruolo fondamentale nella teoria della rappresentazione. In effetti, il lemma di Schur afferma che qualsiasi operatore che commuta a una rappresentazione irriducibile di un'algebra di Lie complessa è un'omotetia. Secondo quanto sopra, se è una rappresentazione irriducibile di Lie complesso , allora l'operatore associato a qualsiasi vettore Z di interruttori a tutti , . Quindi è una dilatazione. Questo è vero per ogni Z al centro dell'algebra avvolgente. Si ottiene così un carattere del centro, cioè un morfismo di algebre di in , che chiamiamo carattere infinitesimale della rappresentazione . Così lo studio dei caratteri del centro di algebra avvolgente fornisce importanti informazioni per lo studio delle rappresentazioni irriducibili di .
Z(U(g)){\ displaystyle Z (U ({\ mathfrak {g}}))}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π(Z){\ displaystyle \ pi (Z)}Z(U(g)){\ displaystyle Z (U ({\ mathfrak {g}}))}π(X){\ displaystyle \ pi (X)}X∈ g{\ displaystyle X \ in \ {\ mathfrak {g}}}π(Z){\ displaystyle \ pi (Z)}Z(U(g)){\ displaystyle Z (U ({\ mathfrak {g}}))}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
Ideali dell'algebra avvolgente
Qualsiasi rappresentazione di canonicamente si estende in una rappresentazione di , cioè, un morfismo di algebre . Il nucleo di è un ideale di . D'altra parte, se la rappresentazione è irriducibile (o anche solo ciclica ), esiste un vettore v di V tale che la mappa sia suriettiva. La rappresentazione V viene quindi identificata con il quoziente del kernel di questa mappa. Questi due fatti mostrano l'importanza di comprendere gli ideali di .
g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}π:U(g)→Enond(V){\ displaystyle \ pi: U ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow End (V)}π{\ displaystyle \ pi}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}(π,V){\ displaystyle (\ pi, V)}π:u∈ U(g)↦π(u)(v)∈V{\ displaystyle \ pi: u \ in \ U ({\ mathfrak {g}}) \ mapsto \ pi (u) (v) \ in V}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}U(g){\ displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}
Riferimenti
- N. Bourbaki , Gruppi e algebre di Lie
- Jacques Dixmier, Enveloping Algebras Éditions Jacques Gabay, Parigi, 1996. ( ISBN 2-87647-014-4 )
- James E. Humphreys, Introduzione alle algebre di Lie e teoria della rappresentazione , seconda ristampa, rivista. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ( ISBN 0-387-90053-5 )
-
Nathan Jacobson , Lie algebras , Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ( ISBN 0-486-63832-4 )
- Anthony Knapp, Teoria della rappresentazione di gruppi semisemplici: una panoramica basata su esempi , Princeton University Press, 2001. Ristampa dell'originale del 1986. ( ISBN 0-691-09089-0 )
Vedi anche
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