Algebra di Hopf quasi triangolare

In matematica , si dice che un'algebra di Hopf è quasi triangolare se c'è un elemento invertibile che soddisfa: H{\ displaystyle H}R∈H⊗H{\ displaystyle R \ in H \ otimes H}

• ∀X∈H, Δop(X)=RΔ(X)R-1{\ displaystyle \ forall x \ in H, \ \ Delta ^ {op} (x) = R \ Delta (x) R ^ {- 1}}
• (1⊗Δ)(R)=R13R12{\ displaystyle (1 \ otimes \ Delta) (R) = R_ {13} R_ {12}}
• (Δ⊗1)(R)=R13R23{\ displaystyle (\ Delta \ otimes 1) (R) = R_ {13} R_ {23}}

o :

• Δ{\ displaystyle \ Delta} è il co-prodotto di H{\ displaystyle H}
• Se , alloraΔ(X)=∑Xio(1)⊗Xio(2){\ displaystyle \ Delta (x) = \ sum x_ {i} ^ {(1)} \ otimes x_ {i} ^ {(2)}}Δop(X)=∑Xio(2)⊗Xio(1){\ displaystyle \ Delta ^ {op} (x) = \ sum x_ {i} ^ {(2)} \ otimes x_ {i} ^ {(1)}}
• Se , allora R=∑aio⊗bio{\ displaystyle R = \ sum a_ {i} \ otimes b_ {i}}
  • R12=∑aio⊗bio⊗1{\ displaystyle R_ {12} = \ sum a_ {i} \ otimes b_ {i} \ otimes 1}
  • R13=∑aio⊗1⊗bio{\ displaystyle R_ {13} = \ sum a_ {i} \ otimes 1 \ otimes b_ {i}}
  • R23=∑1⊗aio⊗bio{\ displaystyle R_ {23} = \ sum 1 \ otimes a_ {i} \ otimes b_ {i}}

Applicazioni

Meccanica statistica

Dalle relazioni precedenti, dimostriamo che fornisce una soluzione dell'equazione quantistica di Yang-Baxter (in) : R{\ displaystyle R} 

R12R13R23=R23R13R12{\ displaystyle R_ {12} R_ {13} R_ {23} = R_ {23} R_ {13} R_ {12}}

I dati di un'algebra di Hopf quasi triangolare consentono di costruire rappresentazioni del gruppo di trecce . Più precisamente, la categoria delle rappresentazioni di un'algebra di Hopf quasi triangolare è una categoria monoidale intrecciata .

Vedi anche

• Algebra di Hopf
• algebra quasi-Hopf
• Algebra di Lie
• coomologia dei gruppi di Lie

Riferimenti

• (en) Christian Kassel , Quantum Groups , Springer , coll.  "  GTM  " ( n o  155)1995

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