Algebra di Kac-Moody

In matematica , un'algebra di Kac-Moody è un'algebra di Lie , solitamente di dimensione infinita, che può essere definita da generatori e relazioni tramite una matrice di Cartan generalizzata. Le algebre di Kac-Moody prendono il nome da Victor Kac e Robert Moody , che le scoprirono indipendentemente. Queste algebre sono una generalizzazione delle algebre di Lie semi-semplici di dimensione finita, e molte proprietà relative alla struttura delle algebre di Lie, in particolare il suo sistema di radici , le sue rappresentazioni irriducibili, i suoi legami con le varietà di bandiere hanno equivalenti nel Kac-Moody sistema. Una classe di Kac-Moody chiamata algebra di Lie affine  (in) è particolarmente importante in matematica e fisica teorica , in particolare nelle teorie di campo coerenti e nei sistemi completamente integrabili . Kac ha trovato un'elegante dimostrazione di certe identità combinatorie, le identità di Macdonald  (in) , basata sulla teoria della rappresentazione dell'algebra di Lie affine. Howard Garland e James LePowSki  (in) hanno dimostrato a loro volta che le identità Rogers-Ramanujan potrebbero essere dimostrate in modo simile.

Definizione

Un'algebra di Kac-Moody è determinata come segue:

1. Una matrice di Cartan di dimensioni diffuse , di rango r .non×non{\ stile di visualizzazione n \ volte n}VS=(vsioj){\ displaystyle C = (c_ {ij})}
2. Uno spazio vettoriale over di dimensione 2 n - r .E{\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
3. Un insieme di n vettori disponibili da e un insieme di n vettori liberi dello spazio duale associato a , come , . Le sono chiamate coracines , mentre le sono chiamate radici .αio{\ displaystyle \ alfa _ {i}}E{\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}αio*{\ displaystyle \ alfa _ {i} ^ {*}}E{\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}∀io,j∈({1⋯ non})2{\ displaystyle \ forall {i, j} \ in (\ {1 \ cdots \ n \}) ^ {2}}αio*(αj)=vsioj{\ displaystyle \ alpha _ {i} ^ {*} (\ alpha _ {j}) = c_ {ij}}αio{\ displaystyle \ alfa _ {i}}αio*{\ displaystyle \ alfa _ {i} ^ {*}}

L'algebra Kac-Moody è l'algebra di Lie definito dai vettori generatore ed e gli elementi di come pure i rapporti: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}eio{\ displaystyle e_ {i}}fio{\ displaystyle f_ {i}}E{\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}

• [eio,fio]=αio {\ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = \ alfa _ {i} \}
• ∀io≠j,[eio,fj]=0{\ displaystyle \ forall {i} \ neq j, [e_ {i}, f_ {j}] = 0}
• ∀X∈E,[eio,X]=αio*(X)eio{\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {E}}, [e_ {i}, x] = \ alpha _ {i} ^ {*} (x) e_ {i}}
• ∀X∈E,[fio,X]=-αio*(X)fio{\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {E}}, [f_ {i}, x] = - \ alpha _ {i} ^ {*} (x) f_ {i}}
• ∀X,X'∈E,[X,X']=0{\ displaystyle \ forall {x, x '} \ in {\ mathfrak {E}}, [x, x'] = 0}
• anno Domini(eio)1-vsioj(ej)=0{\ displaystyle {\ textrm {ad}} (e_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (e_ {j}) = 0}
• anno Domini(fio)1-vsioj(fj)=0{\ displaystyle {\ textrm {ad}} (f_ {i}) ^ {1-c_ {ij}} (f_ {j}) = 0}

Dov'è la rappresentanza supplente di . anno Domini:g→bello(g),anno Domini(X)(sì)=[X,sì]{\ displaystyle {\ textrm {annuncio}}: {\ mathfrak {g}} \ a {\ textrm {gl}} ({\ mathfrak {g}}), {\ textrm {annuncio}} (x) (y) = [x, y]}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

A Lie (di dimensione infinita e non) sul campo dei numeri reali è anche considerato un'algebra di Kac-Moody se complessizzate è un'algebra di Kac-Moody.

Interpretazione

O una sub-algebra Cartan (en) algebra Kac-Moody. h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}} 

Se g è un elemento dell'algebra di Kac-Moody tale che , dove è un elemento di , allora diciamo che g ha un peso . L'algebra di Kac-Moody può essere diagonalizzata in autovettori di peso. La subalgebra di Cartan ha peso zero, ha peso e ha peso . Se il gancio di Lie di due autovettori è diverso da zero, il suo peso è la somma dei loro pesi. La condizione significa semplicemente che sono radici semplici. ∀X∈h,[g,X]=ω(X)g{\ displaystyle \ forall {x} \ in {\ mathfrak {h}}, [g, x] = \ omega (x) g}ω{\ displaystyle \ omega}h*{\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}ω{\ displaystyle \ omega}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}eio{\ displaystyle e_ {i}}αio*{\ displaystyle \ alfa _ {i} ^ {*}}fio{\ displaystyle f_ {i}}-αio*{\ displaystyle - \ alfa _ {i} ^ {*}}[eio,fj]=0 ∀io≠j{\ displaystyle [e_ {i}, f_ {j}] = 0 \ \ forall {i} \ neq {j}}αio*{\ displaystyle \ alfa _ {i} ^ {*}}

Tipi di algebre di Kac-Moody

La matrice di Cartan associata all'algebra di Kac-Moody può essere scomposta come prodotto di due matrici D e S dove D è una matrice diagonale positiva e S una matrice simmetrica . La natura di S determina il tipo dell'algebra di Kac-Moody in questione: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

• g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}è una semplice algebra di Lie di dimensione finita se S è definita positiva
• g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}è affine se S è semidefinita positiva di corang 1

Esiste anche un'altra classe di algebra di Kac Moody chiamata algebra iperbolica. S non può mai essere definita negativa o semidefinita negativa poiché i suoi coefficienti diagonali sono positivi.

Questi tipi di algebre di Kac Moody sono caratterizzati anche dai loro diagrammi di Dynkin  :

• conosciamo l'elenco esatto dei diagrammi di Dynkin corrispondenti a semplici algebre di Lie
• quando un sottodiagramma del diagramma di Dynkin di è il diagramma di una semplice algebra di Lie, allora è affineg{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• quando un sottodiagramma del diagramma di Dynkin di è il diagramma di un'algebra affine, allora è iperbolicog{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Le algebre affini sono le più note delle algebre di Kac-Moody.

Riferimenti

• (it) AJ Wassermann, Kac-Moody e Virasoro Algebras , arXiv : 1004.1287
• (it) Victor G. Kac , Algebre di Lie dimensionali infinite , CUP ,1994, 3 e  ed. , 400  pag. ( ISBN  978-0-521-46693-6 , presentazione online )
• (it) “Kac – Moody algebra” , in Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , leggi online )
• (it) VG Kac , "  Algebre di Lie graduate semplici irriducibili di crescita finita  " , Math. URSS Izv. , 2 nd serie,1968, pag.  1271-1311, Izv. Akad. Nauk URSS Ser. Albero. , volo. 32, 1968, pag.  1923-1967
• (it) RV Moody , “  Una nuova classe di algebre di Lie  ” , J. of Algebra , vol.  10,1968, pag.  211-230

Articoli Correlati

• Algebra generalizzata Kac-Moody  (en)
• Formula dei caratteri di Weyl  (in)

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