Gruppo risolvibile

In matematica , un gruppo risolvibile è un gruppo che può essere costruito da gruppi abeliani un risultato finito con estensioni .

Storia

La teoria dei gruppi nasce dalla ricerca di soluzioni generali (o della loro assenza) per le radici dei polinomi di grado 5 o più. Il concetto di gruppo risolvibile deriva da una proprietà condivisa dai gruppi di automorfismi di polinomi le cui radici possono essere espresse utilizzando solo un numero finito di operazioni elementari ( radice n -esima , addizione , moltiplicazione , ecc .).

Definizione

Un gruppo G è risolvibile quando esiste una successione finita G 0 , G 1 ,…, G n di sottogruppi di G tali che:

{\ displaystyle \ {e \} = G_ {0} \ triangolo sinistro G_ {1} \ triangolo sinistro \ ldots \ triangolo sinistro G_ {n-1} \ triangolo sinistro G_ {n} = G}

dove la notazione significa che per ogni i ∈ [0, n –1], G i è un sottogruppo normale di G i +1 , e il gruppo quoziente G i + 1 / G i è abeliano ( è il sottogruppo banale di G ) . ${\ displaystyle \ triangolosinistra}$ $\ {e \}$

G 0 , G 1 ,…, G n è quindi una catena normale (en) di cui tutti i fattori sono abeliani.

Più G 0 , G 1 , ..., G n è detto solvibilità su di G . Se per tutti i ∈ [0, n –1], G i ≠ G i +1 (vale a dire che sono sottogruppi propri), la chiamiamo sequenza di risolubilità senza ripetizione .

Un gruppo è risolvibile se e solo se la sua sequenza derivata è stazionaria in { e }. Il più piccolo numero naturale n tale che D n ( G ) = { e } è allora chiamato classe di risolubilità di G . Un gruppo non banale G è quindi risolvibile di classe n (≥ 1) se e solo se il suo gruppo derivato D ( G ) è risolvibile di classe n - 1.

Proprietà

I gruppi risolubili della classe ≤ 1 sono gruppi abeliani.
Qualsiasi sottogruppo di un gruppo risolvibile è risolvibile.
Qualsiasi gruppo quoziente di un gruppo risolvibile (da un sottogruppo normale) è risolvibile (che può essere riformulato come: se esiste un morfismo di gruppo suriettivo di un gruppo risolvibile su G , allora G è risolvibile).
Se H si distingue in G ed è risolvibile di classe q e G / H è risolvibile di classe p , allora G è risolvibile di classe minore o uguale a p + q .
Un gruppo semplice è risolubile se e solo se è commutativo, il che avviene se e solo se è un gruppo di ordine primo (quindi ciclico finito ).
Un gruppo finito è risolvibile se e solo se, nella “sua” sequenza di Jordan-Hölder , ogni gruppo quoziente è di ordine primo (poiché per un gruppo risolvibile, i quozienti di una sequenza di Jordan-Hölder sono sia semplici che risolvibili).
Un gruppo di ordine n è risolubile se e solo se soddisfa il seguente parziale “reciproco” del teorema di Lagrange : per ogni divisore d di n tale che d e n / d sono coprimi , G ha un sottogruppo (de Hall) di ordine d .

Esempi

Qualsiasi gruppo di ordini rigorosamente inferiore a 60 è risolvibile.
Per n ≥ 5, il gruppo alternato A n è semplice e non abeliano, quindi non risolvibile.
Il gruppo simmetrico S n è quindi risolvibile solo se n ≤ 4.
Tutti i gruppi nilpotenti sono risolvibili.
Il gruppo di matrici triangolari superiori invertibili n × n con coefficienti in un anello commutativo A è risolvibile, come estensione del gruppo abeliano ( A × ) n per il gruppo nilpotente H n ( A ) .
Se G è un gruppo finito di cui tutti i sottogruppi propri sono nilpotenti, allora G è risolvibile (questo è il teorema di Schmidt ).

Teorema di Feit-Thompson

Qualsiasi gruppo finito di ordine dispari è risolvibile.

Ne consegue che qualsiasi semplice gruppo finito non abeliano è anche ordine e quindi contiene almeno un'involuzione (vale a dire un elemento di ordine 2).

Vedi anche

Bibliografia

(it) K. Doerk e T. Hawkes, Gruppi solubili finiti , Berlino, de Gruyter, 1992
(it) JC Lennox e DJS Robinson, La teoria dei gruppi solubili infiniti , Oxford University Press, 2004