Switch (operatore)
Uno switch è un operatore introdotto in matematica ed esteso alla meccanica quantistica .
In matematica
In matematica , il commutatore dà un'idea piuttosto imprecisa di come una legge non sia commutativa . Esistono diverse definizioni utilizzate nella teoria dei gruppi e nella teoria degli anelli .
Nella teoria dei gruppi
Sia un gruppo ed essere e due elementi del gruppo. Chiamiamo switch of e l'elemento del gruppo definito da:
(G,⋆){\ displaystyle (G, \ star)}g{\ displaystyle g}h{\ displaystyle h}g{\ displaystyle g}h{\ displaystyle h}
[g,h]=g⋆h⋆g-1⋆h-1{\ displaystyle [g, h] = g \ star h \ star g ^ {- 1} \ star h ^ {- 1}}.
Nota : un interruttore rappresenta in realtà il difetto di "permutabilità" di due elementi del gruppo:
g⋆h=[g,h]⋆h⋆g{\ Displaystyle g \ star h = [g, h] \ star h \ star g}
L'interruttore è uguale all'elemento neutro del gruppo se e solo se e sono permutabili (cioè se ).
g{\ displaystyle g}h{\ displaystyle h}g⋆h=h⋆g{\ displaystyle g \ star h = h \ star g}
D'altra parte, il sottogruppo generato dall'insieme di interruttori è chiamato il gruppo derivato annotato o il sottogruppo di interruttori di .
D(G){\ displaystyle D (G)}G{\ displaystyle G}
Se è ridotto all'elemento neutro, il gruppo è un gruppo abeliano .
D(G){\ displaystyle D (G)}G{\ displaystyle G}
Si noti che dobbiamo considerare il sottogruppo generato dagli interruttori perché in generale l'insieme degli interruttori non è chiuso per questa legge. Gli interruttori vengono utilizzati per definire gruppi nilpotenti .
Nota: alcuni autori preferiscono definire l'opzione e da
g{\ displaystyle g}h{\ displaystyle h}
[g,h]=g-1⋆h-1⋆g⋆h{\ displaystyle [g, h] = g ^ {- 1} \ star h ^ {- 1} \ star g \ star h}.
Identità
Di seguito, la legge è denotata dalla moltiplicazione e l'espressione designa il coniugato (per ) dell'elemento, vale a dire .
⋆{\ displaystyle \ star}aX{\ displaystyle a ^ {x}}X{\ displaystyle x}a{\ displaystyle a}XaX-1{\ displaystyle xax ^ {- 1}}
- [y,X]=[X,y]-1{\ displaystyle [y, x] = [x, y] ^ {- 1}}
- [[X,y-1],z]y[[y,z-1],X]z[[z,X-1],y]X=1{\ displaystyle [[x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} [[y, z ^ {- 1}], x] ^ {z} [[z, x ^ {- 1}] , y] ^ {x} = 1}
- [Xy,z]=[y,z]X[X,z]{\ displaystyle [xy, z] = [y, z] ^ {x} [x, z]}
- [X,yz]=[X,y][X,z]y{\ displaystyle [x, yz] = [x, y] [x, z] ^ {y}}
La seconda identità è anche conosciuta come identità Hall-Witt . Questa è un'identità della teoria dei gruppi analoga all'identità di Jacobi della teoria degli interruttori negli anelli (vedere la sezione successiva).
Nella teoria degli anelli
L' interruttore di due elementi e un anello è definito da
a{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
[a,b]=ab-ba {\ displaystyle [a, b] = ab-ba ~}
È zero se e solo se e sono permutabili.
a{\ displaystyle a}b{\ displaystyle b}
Usando il commutatore come parentesi di Lie , qualsiasi algebra associativa su un campo può essere considerata un'algebra di Lie . Il commutatore di due operatori su uno spazio di Hilbert è un concetto importante nella meccanica quantistica poiché misura la misura in cui due descrizioni di osservabili da parte degli operatori possono essere misurate simultaneamente. Il principio di indeterminazione è in definitiva un teorema di scambio.
Allo stesso modo, anti-switch è definito come , spesso scritto annotato . Questo non deve essere confuso con il gancio di Poisson .
ab+ba{\ displaystyle ab + ba}{a,b}{\ displaystyle \ {a, b \}}
Identità
Uno switch controlla le seguenti proprietà:
Relazione algebrica di Lie:
- [a,b]=-[b,a]{\ displaystyle [a, b] = - [b, a]}
- [a,a]=0{\ displaystyle [a, a] = 0}
- [a,[b,vs]]+[b,[vs,a]]+[vs,[a,b]]=0{\ displaystyle [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0}
Relazioni aggiuntive:
-
[a,bvs]=abvs-bvsa=(abvs-bavs)+(bavs-bvsa)=[a,b]vs+b[a,vs]{\ Displaystyle \ left [a, bc \ right] = abc-bca = (abc-bac) + (bac-bca) = \ left [a, b \ right] c + b \ left [a, c \ right] }da cui deduciamo (per induzione)[a,bnon]=∑0≤K<nonbK[a,b]bnon-1-K{\ displaystyle [a, b ^ {n}] = \ sum _ {0 \ leq k <n} b ^ {k} \ left [a, b \ right] b ^ {n-1-k}}
- [a,bvs]=[ab,vs]+[vsa,b]{\ displaystyle [a, bc] = [ab, c] + [ca, b]}
- [abvs,d]=ab[vs,d]+a[b,d]vs+[a,d]bvs{\ displaystyle [abc, d] = ab [c, d] + a [b, d] c + [a, d] bc}
Se è un dato elemento di un anello , la prima relazione di addizione può anche essere interpretata come la regola per derivare un prodotto da una data applicazione da . In altre parole, l'applicazione definisce un ramo sull'anello .
a{\ displaystyle a}A{\ displaystyle A}Da:A→A{\ displaystyle D_ {a}: A \ to A}b↦[a,b]{\ displaystyle b \ mapsto [a, b]}Da{\ displaystyle D_ {a}}A{\ displaystyle A}
Algebre graduate
In un'algebra graduata si sostituisce il solito commutatore con il “commutatore graduato”, definito sulle componenti omogenee da[ω,η]gr: =ωη-(-1)degωdegηηω.{\ displaystyle [\ omega, \ eta] _ {gr}: = \ omega \ eta - (- 1) ^ {\ deg \ omega \ deg \ eta} \ eta \ omega.}
Nella meccanica quantistica
In meccanica quantistica , l'interruttore di due operatori e è: . Applicato ad una funzione d'onda, un interruttore permette di sapere se è possibile misurare contemporaneamente due grandezze relative a questa funzione d'onda.
A{\ displaystyle A}B{\ displaystyle B}[A,B]=AB-BA{\ displaystyle [A, B] = AB-BA}
Esempio:
Definiamo nella realizzazione X i due seguenti operatori:
Quindi l'interruttore applicato a una funzione d'onda dà:
Ψ(X){\ displaystyle \ Psi (x)}
[A,B]ψ(X)=[X,-ioℏ∂∂X]ψ(X)=-ioℏX(∂ψ(X)∂X)+ioℏ∂∂X(Xψ(X)){\ displaystyle [A, B] \ psi (x) = \ left [x, -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] \ psi (x) = - i \ hbar x \ left ({\ frac {\ partial \ psi (x)} {\ partial x}} \ right) + i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ bigl (} x \ psi ( x) {\ bigr)}}=-ioℏX∂ψ(X)∂X+ioℏψ(X)+ioℏX∂ψ(X)∂X=ioℏψ(X){\ displaystyle = -i \ hbar x {\ frac {\ partial \ psi (x)} {\ partial x}} + i \ hbar \ psi (x) + i \ hbar x {\ frac {\ partial \ psi ( x)} {\ partial x}} = i \ hbar \ psi (x)}
Quindi finalmente abbiamo . L'interruttore non è zero, quindi i due operatori non sono commutativi . Quindi, secondo al di Heisenberg incertezza linea di principio, le due grandezze che sono la posizione e la velocità non sono misurabili contemporaneamente.
[X,-ioℏ∂∂X]=ioℏ{\ displaystyle \ left [x, -i \ hbar {\ tfrac {\ partial} {\ partial x}} \ right] = i \ hbar}
Riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Commutator " ( vedere l'elenco degli autori ) .
-
Dato come in (en) Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics , Wiley ,[ℏio∂∂X,X]=ℏio{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ hbar} {i}} {\ tfrac {\ partial} {\ partial x}}, x \ right] = {\ frac {\ hbar} {i}}}2003, 3 e ed. , 336 p. ( ISBN 0-471-42945-7 , leggi online ) , p. 51.
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