Rappresentazione dell'algebra di Lie

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In matematica , una rappresentazione di un'algebra di Lie è un modo di scrivere questa algebra come un'algebra di matrici , o più in generale di endomorfismi di uno spazio vettoriale , con la parentesi di Lie data dal commutatore .

Algebre della bugia

Sia K un campo commutativo con caratteristica diversa da 2. Un'algebra di Lie su K è uno spazio vettoriale dotato di una mappa bilineare di in cui soddisfa le seguenti proprietà: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(X,sì)↦[X,sì]{\ displaystyle (x, y) \ mapsto [x, y]}g×g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ volte {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

1. ∀X∈g, [X,X]=0{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, x] = 0} ;
2. ∀X,sì,z∈g, [X,[sì,z]]+[sì,[z,X]]+[z,[X,sì]]=0.{\ displaystyle \ forall x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}, \ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.}

Qualsiasi spazio vettoriale può essere dotato di una struttura di algebra di Lie, ponendo . Tale algebra di Lie, dove la parentesi di Lie è identicamente zero, è detta abeliana . Un altro esempio, fondamentale per quanto segue, è il seguente. Sia V uno spazio vettoriale su K . Lo spazio vettoriale End (V) di endomorphism di V può essere provvisto di una struttura di algebra Lie, dalla regolazione: . Indichiamo anche l'algebra di Lie così ottenuta. Quando V è dimensione finita n , identifica la dimensione delle matrici con coefficienti in K . Va poi notato .V{\ stile di visualizzazione V}∀X,sì∈V, [X,sì]=0{\ displaystyle \ forall x, y \ in V, \ [x, y] = 0}[tu,v]=tu∘v-v∘tu{\ displaystyle [u, v] = u \ circ vv \ circ u}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}non×non{\ stile di visualizzazione n \ volte n}gl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

Un algebra sub-Lie di un sottospazio vettoriale di stabile staffa Lie, cioè tale che . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀X,sì∈h, [X,sì]∈h{\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {h}}, \ [x, y] \ in {\ mathfrak {h}}}

Esempi

• Se è un'algebra di Lie abeliana, allora qualsiasi sottospazio vettoriale di è automaticamente una subalgebra di Lie.g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Il sottospazio delle matrici senza traccia addestrate è una sub-algebra di Lie perché per tutte le matrici A e B . Questa sottoalgebra è nota .gl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}gl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}tr(AB)=tr(BA){\ stile di visualizzazione tr (AB) = tr (BA)}Sl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, K)}

Un ideale di un'algebra di Lie è un sottospazio vettoriale di tale che . Qualsiasi ideale di un'algebra di Lie è in particolare una sottoalgebra di Lie (ma il contrario è falso). g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀X∈g,sì∈h, [X,sì]∈h{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, y \ in {\ mathfrak {h}}, \ [x, y] \ in {\ mathfrak {h}}}

Esempi

• Se è un'algebra di Lie abeliana, allora qualsiasi sottospazio vettoriale di è automaticamente un ideale.g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• La sottoalgebra di Lie di è un ideale.Sl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (n, K)}gl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}

Un morfismo tra due algebre di Lie ed è una mappa lineare tale che . Il nucleo di un morfismo di algebra di Lie è quindi un ideale dell'algebra di Lie sorgente e l'immagine una sottoalgebra di Lie dell'algebra di Lie obiettivo. Un isomorfismo tra due algebre di Lie è un morfismo di algebre di Lie che è un isomorfismo di spazi vettoriali. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}φ:g→h{\ displaystyle \ varphi: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}∀X,sì∈g, φ([X,sì])=[φ(X),φ(sì)]{\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi ([x, y]) = [\ varphi (x), \ varphi (y)]}

Esempi

• Se è una sottoalgebra di Lie di allora l'inclusione di in è un morfismo di algebre di Lie, con kernel zero e con un'immagine .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• Se è un ideale di allora esiste una struttura unica dell'algebra di Lie sullo spazio vettoriale quoziente tale che la proiezione canonica è un morfismo delle algebre di Lie. Il kernel di p è quindi e la sua immagine . L'algebra di Lie così definita è detta quoziente algebra di Lie di on . Ad esempio il quoziente algebra di Lie è isomorfo all'algebra di Lie abeliana .h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}p:g→g/h{\ displaystyle p: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}g/h{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}gl(non,K)/Sl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K) / {\ mathfrak {sl}} (n, K)}K{\ stile di visualizzazione K}

rappresentazioni

Definizioni

Una rappresentazione dell'algebra di Lie in uno spazio vettoriale V sono i dati di un morfismo . In altre parole, è una mappa lineare che controlla anche . Notiamo questa rappresentazione o semplicemente quando non c'è possibile ambiguità su . Diciamo anche che V è un - modulo o semplicemente un modulo . A volte notiamo invece l'azione dell'elemento sul vettore . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} π:g→gl(V){\ displaystyle \ pi \,: \, {\ mathfrak {g}} \ a {\ mathfrak {gl}} (V)}π{\ displaystyle \ pi}∀X,sì∈g, π([X,sì])=π(X)∘π(sì)-π(sì)∘π(X){\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi ([x, y]) = \ pi (x) \ circ \ pi (y) - \ pi (y) \ circ \ pi (x)}(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}V{\ stile di visualizzazione V}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}X⋅v{\ displaystyle x \ cdot v}π(X)(v){\ displaystyle \ pi (x) (v)}X∈g{\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}v∈V{\ stile di visualizzazione v \ in V}

Una rappresentazione si dice fedele se il morfismo è iniettivo. In questo caso, l'algebra di Lie può essere vista come una sottoalgebra di Lie di . (π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

Una sottorappresentazione di una rappresentazione di è il dato di un sottospazio vettoriale W di V stabile per l'azione di , cioè tale che . In particolare, affinché una retta vettoriale D generata da un vettore v sia stabile, è necessario e sufficiente che v sia un autovettore comune a tutti gli endomorfismi . Una rappresentazione è irriducibile se non ammette alcuna sottorappresentazione netta, cioè diversa dai sottospazi e da V . In particolare ogni rappresentazione della dimensione 1 è irriducibile, perché in questo caso gli unici sottospazi di V sono appunto e V . Sia una sottorappresentazione di . La rappresentazione quoziente è la rappresentazione di nello spazio quoziente definito da . (π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀X∈g, π(X)(W)⊂W{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) (W) \ sottoinsieme W}π(X){\ displaystyle \ pi (x)}(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}{0}{\ stile di visualizzazione \ {0 \}}(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}{0}{\ stile di visualizzazione \ {0 \}}V'{\ stile di visualizzazione V '}(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}π¯{\ displaystyle {\ bar {\ pi}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}V/V'{\ stile di visualizzazione V / V '}∀X∈g, ∀v∈V, π¯(X)(v+V')=π(X)(v)+V'{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ {\ bar {\ pi}} (x) (v + V ') = \ pi (x) (v ) + V '}

Un morfismo tra due rappresentazioni e della stessa algebra di Lie è il dato di una mappa lineare che commuta nell'azione di , cioè tale che . Quando è un isomorfismo di spazi vettoriali, si dice che le due rappresentazioni sono isomorfe. L'insieme di tutti i morfismi tra rappresentazioni e forma uno spazio vettoriale, denotato .(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}(π',V'){\ stile di visualizzazione (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ:V→V'{\ displaystyle \ varphi: V \ freccia destra V '}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀X∈g, φ∘π(X)=π'(X)∘φ{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ varphi \ circ \ pi (x) = \ pi '(x) \ circ \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}(π',V'){\ stile di visualizzazione (\ pi ', V')}Homg(V,V'){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Il lemma di Schur è un risultato importante per la comprensione di questo spazio . Ecco il comunicato: Homg(V,V'){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}

Lemma di Schur  - 

• Siano e due rappresentazioni irriducibili di un'algebra di Lie . Entrambi i casi . Allora è o la mappa nulla o un isomorfismo. In particolare, se e non sono isomorfi .V{\ stile di visualizzazione V}V'{\ stile di visualizzazione V '}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ∈Homg(V,V'){\ displaystyle \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}φ{\ displaystyle \ varphi}V{\ stile di visualizzazione V}V'{\ stile di visualizzazione V '}Homg(V,V')={0}{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ') = \ {0 \}}
• Supponiamo qui che il campo K sia algebricamente chiuso . Sia una rappresentazione dimensionale finita irriducibile di . Quindi ogni morfismo è un multiplo di identità. In altre parole, .V{\ stile di visualizzazione V}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}φ∈Homg(V,V){\ displaystyle \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V)}Homg(V,V)≅K{\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V) \ cong K}

Osservazioni

• Il primo punto del lemma di Schur deriva dal fatto che è una sottorappresentazione e una sottorappresentazione di .Ker(φ){\ displaystyle ker (\ varphi)}V{\ stile di visualizzazione V}iom(φ){\ displaystyle Im (\ varphi)}V'{\ stile di visualizzazione V '}
• Il secondo punto del lemma di Schur risulta dal fatto che ogni endomorfismo di uno spazio vettoriale a dimensione finita ammette almeno un autovalore su un campo algebricamente chiuso. Quindi è un morfismo da V in V che non è un isomorfismo. Secondo il primo punto, è quindi la mappa nulla, cioè . Questo risultato è ancora valido in dimensione infinita ma richiede la potenza del teorema spettrale .λ{\ displaystyle \ lambda}φ-λiod{\ displaystyle \ varphi - \ lambda id}φ=λiod{\ displaystyle \ varphi = \ lambda id}
• Il secondo punto del lemma di Schur è falso per un campo non algebricamente chiuso. Supponiamo per esempio . Considera la rappresentazione data dalla formula . Verifichiamo che è una rappresentazione irriducibile dell'algebra di Lie abeliana . Considera e poni . Poiché l'algebra di Lie è abeliana, è un morfismo di V in V . Possiamo anche verificare che è effettivamente un isomorfismo. Tuttavia non è un multiplo di identità. Si noti a tal proposito che non ha autovalori reali (il che spiega perché la dimostrazione del secondo punto del lemma non è valida in questo caso).K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}∀X∈R, π(X)=(cos⁡X-peccato⁡Xpeccato⁡Xcos⁡X)∈gl(2,R){\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})}(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}sì=45o{\ stile di visualizzazione y = 45 ^ {o}}φ: =π(sì){\ displaystyle \ varphi: = \ pi (y)}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}φ{\ displaystyle \ varphi}

Esempi

• Una rappresentazione di un'algebra di Lie abeliana è una mappatura lineare dei valori in un sottospazio dell'endomorfismo commutativo dello spazio di uno spazio vettoriale V . Ad esempio, se V è di dimensione finita, si può rappresentare con matrici diagonali (che commutano tra loro).g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}
• La banale rappresentazione di in uno spazio vettoriale V è la rappresentazione definita da .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}∀X∈g, π(X)=0{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = 0}
• Se , definiamo la rappresentazione naturale di come la rappresentazione definita da . Più in generale, la rappresentazione naturale di una sottoalgebra di Lie di è definita come l'inclusione di in . È quindi con valori in .g=gl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {gl}} (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π, Knon){\ stile di visualizzazione (\ pi, \ K ^ {n})}∀X∈g, π(X)=X{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ pi (x) = x}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}Knon{\ stile di visualizzazione K ^ {n}}
• La rappresentazione  associativa (en) di un'algebra di Lie è la rappresentazione definita da .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(ad,g){\ displaystyle (ad, {\ mathfrak {g}})}∀X∈g, ad(X): sì∈g↦[X,sì]∈g{\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ ad (x): \ y \ in {\ mathfrak {g}} \ mapsto [x, y] \ in {\ mathfrak {g}}}
• Sia l'algebra di Lie abeliana di dimensione 1, definita su . Considera lo spazio . Definiamo una rappresentazione di in V con la formula , dove .g=R{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}V=L2(R){\ displaystyle V = L ^ {2} (\ mathbb {R})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}∀X∈R, π(X)(f)=f∘τX {\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ pi (x) (f) = f \ circ \ tau _ {x} \}τX: sì∈R↦sì-X∈R{\ displaystyle \ tau _ {x}: \ y \ in \ mathbb {R} \ mapsto yx \ in \ mathbb {R}}

Costruzioni di rappresentazioni

• Somma diretta  : let e due rappresentazioni di . Definiamo la rappresentazione della somma diretta nello spazio vettoriale con la formula . In questo caso, e sono sub-rappresentazioni di .(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}(π',V'){\ stile di visualizzazione (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π⊕π'{\ displaystyle \ pi \ oplus \ pi '}V⊕V'{\ displaystyle V \ oplus V '}∀X∈g, ∀v∈V, ∀v'∈V', (π⊕π')(X)(v,v')=(π(X)(v),π'(X)(v')){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ oplus \ pi ') (x) (v, v ') = (\ pi (x) (v), \ pi' (x) (v '))}V⊕{0}{\ displaystyle V \ oplus \ {0 \}}{0}⊕V'{\ displaystyle \ {0 \} \ oplus V '}(π⊕π',V⊕V'){\ displaystyle (\ pi \ oplus \ pi ', V \ oplus V')}
• Prodotto tensoriale  : let e due rappresentazioni di . Definiamo la rappresentazione del prodotto tensoriale nello spazio vettoriale con la formula .(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}(π',V'){\ stile di visualizzazione (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π⊗π'{\ displaystyle \ pi \ otimes \ pi '}V⊗V'{\ displaystyle V \ volte V '}∀X∈g, ∀v∈V, ∀v'∈V', (π⊗π')(X)(v⊗v')=π(X)(v)⊗v'+v⊗π'(X)(v'){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v \ in V, \ \ forall v '\ in V', \ (\ pi \ otimes \ pi ') (x) (v \ volte v ') = \ pi (x) (v) \ volte v' + v \ volte \ pi '(x) (v')}
• Contragrediente  : o una rappresentazione di . Definiamo la rappresentazione controgrediente nello spazio vettoriale duale con la formula .(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}} π*{\ displaystyle \ pi ^ {*}}V*{\ stile di visualizzazione V ^ {*}}∀X∈g, ∀v*∈V*, π*(X)(v*)=-v*∘π(X){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall v ^ {*} \ in V ^ {*}, \ \ pi ^ {*} (x) (v ^ {*}) = -v ^ {*} \ circ \ pi (x)}
• Spazio dei morfismi  : let e due rappresentazioni di . Abbiamo visto come definire lo spazio vettoriale dei morfimi da V in . Definiamo una rappresentazione ancora indicata con su questo spazio dalla formula .(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}(π',V'){\ stile di visualizzazione (\ pi ', V')}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Homg(V,V'){\ displaystyle Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V ')}V'{\ stile di visualizzazione V '}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}∀X∈g, ∀φ∈Homg(V,V'), π(X)(φ)=-φ∘π(X){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ \ forall \ varphi \ in Hom _ {\ mathfrak {g}} (V, V '), \ \ pi (x) (\ varphi) = - \ varphi \ circ \ pi (x)}
• Restrizione a una sottoalgebra di Lie  : sia una rappresentazione di . Sia una sottoalgebra di Lie di . Allora è una rappresentazione di , chiamata restrizione di a . A volte è notato da abuso di rating.(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π|h,V){\ displaystyle (\ pi _ {| {\ mathfrak {h}}}, V)}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}V|h{\ displaystyle V_ {| {\ mathfrak {h}}}}

Una rappresentazione di è indecomponibile se non è isomorfa alla somma diretta di due sottorappresentazioni proprie. In particolare, ogni rappresentazione irriducibile è indecomponibile, ma è falso il contrario. Una rappresentazione è semisemplice (o completamente riducibile ) se è isomorfa a una somma diretta di sottorappresentazioni irriducibili (possibilmente in numero infinito). Una rappresentazione indecomponibile e semisemplice è necessariamente irriducibile. g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Esempi

• Sia l'algebra di Lie abeliana di dimensione 1 sul campo . Definiamo una rappresentazione di in con la formula . Questa rappresentazione non è irriducibile. Ad esempio, la linea generata dal vettore è stabile, proprio come la linea generata dal vettore . Si tratta quindi di due sub-rappresentazioni di , irriducibili a causa della dimensione 1. Ora abbiamo . Quindi la rappresentazione è semi-semplice.g=R{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R}}K=R{\ displaystyle K = \ mathbb {R}}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π(X)=(X00-X)∈gl(2,R){\ displaystyle \ pi (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} x & 0 \\ 0 & -x \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ mathbb {R})}D1{\ stile di visualizzazione D_ {1}}(10){\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} 1 \\ 0 \ end {array}} \ right)}D2{\ displaystyle D_ {2}}(01){\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\ 1 \ end {array}} \ right)}π{\ displaystyle \ pi}D1⊕D2=R2{\ displaystyle D_ {1} \ oplus D_ {2} = \ mathbb {R} ^ {2}}π{\ displaystyle \ pi}
• Con le notazioni dell'esempio precedente, possiamo anche considerare la rappresentazione in definita dalla formula . Anche in questo caso la linea è un sottospazio stabile. Quindi la rappresentazione non è irriducibile. Più in generale, possiamo verificare che è l'unica linea stabile e quindi l'unica sottorappresentazione di . Così è indecomponibile.π'{\ displaystyle \ pi '}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π'(X)=(1X01)∈gl(2,R){\ displaystyle \ pi '(x) = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & x \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right) \ in {\ mathfrak {gl}} (2 , \ mathbb { R})}D1{\ stile di visualizzazione D_ {1}}π'{\ displaystyle \ pi '}D1{\ stile di visualizzazione D_ {1}}π'{\ displaystyle \ pi '}π'{\ displaystyle \ pi '}
• Manteniamo sempre le stesse notazioni. Definiamo la rappresentazione di in con la formula . Possiamo verificare che non ci sono linee stabili dalla rappresentazione . In altre parole, è irriducibile.π″{\ displaystyle \ pi ''}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}π″(X)=(cos⁡X-peccato⁡Xpeccato⁡Xcos⁡X)∈gl(2,R){\ displaystyle \ pi '' (x) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos x & - \ sin x \\\ sin x & \ cos x \ end {array}} \ right) \ in {\mathfrak {gl}} (2, \ mathbb {R})}π″{\ displaystyle \ pi ''}π″{\ displaystyle \ pi ''}

Questi tre esempi riflettono il fatto che una matrice reale può essere diagonalizzabile , o trigonalizzabile ma non diagonalizzabile, oppure non ha autovalori reali . Vediamo quindi che la nozione di rappresentazione di un'algebra di Lie generalizza la nozione classica di riduzione degli endomorfismi .

Collegamento con rappresentazioni dell'algebra avvolgente

L'algebra avvolgente di un'algebra di Lie

Sia A un'algebra associativa con unità. Esiste allora su A una struttura dell'algebra di Lie per la quale la parentesi di Lie è data dalla formula . A volte denotiamo questa algebra di Lie. Quindi qualsiasi algebra associativa fornisce un'algebra di Lie. Abbiamo visto che è un esempio di questa costruzione. Possiamo dare un inverso a questo risultato? Possiamo costruire un'algebra associativa da un'algebra di Lie. Questa idea porta alla nozione di algebra avvolgente di un'algebra di Lie. ∀a,b∈A, [a,b]=ab-ba{\ displaystyle \ forall a, b \ in A, \ [a, b] = ab-ba}AL{\ stile di visualizzazione A_ {L}}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}

È un'algebra di Lie su K . Sia l'algebra tensoriale di . Sia J l'ideale a due facce di generato dai tensori per ogni x e y di . L'algebra avvolgente di è l'algebra associativa unitaria definita come quoziente . Lo notiamo . La composizione è detta applicazione canonica di nella sua avvolgente algebra. Come un'algebra, è generato da 1 e l'immagine . Inoltre, è un morfismo di algebre di Lie da in . L'algebra avvolgente di un'algebra di Lie soddisfa la seguente proprietà universale: g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g){\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}})}X⊗sì-sì⊗X-[X,sì]∈T(g){\ displaystyle x \ otimes yy \ otimes x- [x, y] \ in T ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}T(g)/J{\ displaystyle T ({\ mathfrak {g}}) / J}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι:g↪T(g)→tu(g){\ displaystyle \ iota: {\ mathfrak {g}} \ hookrightarrow T ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}ι(g){\ displaystyle \ iota ({\ mathfrak {g}})}ι{\ displaystyle \ iota}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}tu(g)L{\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) _ {L}}

Proprietà universale dell'algebra avvolgente  -  Sia A un'algebra associativa di una unità. Sia un morfismo di algebre di Lie di in . Allora esiste un unico morfismo di algebre associative da in A tale che e . φ{\ displaystyle \ varphi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}AL{\ stile di visualizzazione A_ {L}}Φ{\ displaystyle \ Phi}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}Φ(1)=1{\ displaystyle \ Phi (1) = 1}Φ∘ι=φ{\ displaystyle \ Phi \ circ \ iota = \ varphi}

Esempio

• Se è un'algebra di Lie abeliana, allora la sua algebra avvolgente si identifica con la sua algebra simmetrica , che a sua volta si identifica (dopo aver scelto una base) con un'algebra di polinomi. In particolare, è isomorfa all'algebra dei polinomi con un indeterminato .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}S(g){\ displaystyle {\ mathcal {S}} ({\ mathfrak {g}})}tu(K){\ displaystyle {\ mathcal {U}} (K)}K[X]{\ stile di visualizzazione K [X]}

Rappresentazioni di un'algebra di Lie vs Rappresentazioni della sua algebra avvolgente

Sia una rappresentazione di . Poiché è un'algebra associativa con unità, la proprietà universale di implica che esiste un unico morfismo di algebre tale che . Questa operazione permette quindi di passare da una rappresentazione di un'algebra di Lie ad un morfismo di algebre associative. Viceversa, qualsiasi morfismo di algebre associative dà per restrizione un morfismo di algebre di Lie, cioè una rappresentazione di . Questo principio viene interpretato come un'equivalenza di categorie tra la categoria delle rappresentazioni di una data algebra di Lie e la categoria delle rappresentazioni della sua algebra avvolgente. (π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}gl(V){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π~:tu(g)→gl(V){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}∀X∈g, π~(X)=π(X){\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathfrak {g}}, \ {\ tilde {\ pi}} (x) = \ pi (x)}π~:tu(g)→gl(V){\ displaystyle {\ tilde {\ pi}}: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Questo nuovo punto di vista è importante perché permette di considerare nuovi oggetti fondamentali. Il primo di questi è l'annullamento di una performance. Sia una rappresentazione di . Notiamo ancora con la lettera la rappresentazione da cui si deduce. Allora il cancellatore di V è l'insieme . È un ideale a due facce di perché è un morfismo di algebre. Qualsiasi ideale che annulla una rappresentazione irriducibile di è chiamato ideale primitivo . (π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}Anonnon(V): ={tu∈tu(g), π(tu)=0}{\ displaystyle Ann (V): = \ {u \ in {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}), \ \ pi (u) = 0 \}}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π{\ displaystyle \ pi}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Sia una rappresentazione di . Notiamo ancora con la lettera la rappresentazione da cui si deduce. Per ogni v in V , l'insieme definisce una sottorappresentazione V diversa da zero . Quando V è irriducibile, abbiamo quindi . Più in generale, una rappresentazione V si dice ciclica se esiste tale che . Il vettore v è detto vettore ciclico . Una rappresentazione V è irriducibile se e solo se qualsiasi vettore di V diverso da zero è ciclico. Una rappresentazione V si dice di tipo finito se esiste un numero finito di vettori di V tale che . Una rappresentazione irriducibile è quindi di tipo finito. Sia V una rappresentazione ciclica e sia v un vettore ciclico. Definiamo quindi un'applicazione con la formula . Il kernel di è il canceller di v , indicato . Questa è una sinistra ideale di . Poiché V è ciclico, l'immagine è uguale a tutti V . Deduciamo quindi che . Così ogni rappresentazione ciclica (e in particolare ogni rappresentazione irriducibile) appare come un quoziente dell'algebra avvolgente di . Inoltre, quando V è irriducibile, l'ideale è massimale. Così la classificazione delle rappresentazioni irriducibili di è equivalente alla classificazione degli ideali massimali di sinistra della sua algebra avvolgente.(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}π{\ displaystyle \ pi}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}π(tu(g))(v){\ displaystyle \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}V=π(tu(g))(v){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}v∈V{\ stile di visualizzazione v \ in V}V=π(tu(g))(v){\ displaystyle V = \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v)}v1,...,vnon{\ displaystyle v_ {1}, \ ldots, v_ {n}}V=ΣK=1non π(tu(g))(vK){\ displaystyle V = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ \ pi ({\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})) (v_ {k})}φ:tu(g)→V{\ displaystyle \ varphi: {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ rightarrow V}φ(tu)=π(tu)(v){\ displaystyle \ varphi (u) = \ pi (u) (v)}φ{\ displaystyle \ varphi}Anonnon(v){\ displaystyle Anna (v)}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}φ{\ displaystyle \ varphi}V≅tu(g)/Anonnon(v){\ displaystyle V \ cong {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) / Ann (v)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Anonnon(v){\ displaystyle Anna (v)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Esempio Consideriamo l'algebra di Lie commutativa . Identificare la sua algebra avvolgente con l'anello dei polinomi . Questo anello è principale e quindi i suoi ideali sono generati da un singolo polinomio. Inoltre, se un polinomio P (X) può decomporsi nella forma , allora l'ideale generato da P è contenuto nell'ideale generato da . Il d'Alembert-teorema di Gauss implica quindi che gli ideali massimali di sono gli ideali della forma , per un tutto che descrive . Il quoziente corrispondente è quindi isomorfo a e l'azione di è data da e . Ora diamo un'occhiata al quoziente dove . Se , il quoziente è una rappresentazione semisemplice, somma diretta delle due rappresentazioni irriducibili e . La situazione è fondamentalmente diversa quando . In questo caso il quoziente è uno spazio vettoriale di dimensione 2 su cui l'operatore dato dalla moltiplicazione per è nilpotente dell'indice 2. In termini di rappresentazione dell'algebra di Lie , tale quoziente corrisponde alla rappresentazione data dalla formula , che è indecomponibile ma non irriducibile. VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}P(X)=Q(X)(X-a){\ stile di visualizzazione P (X) = Q (X) (Xa)}(P){\ stile di visualizzazione (P)}(X-a){\ stile di visualizzazione (Xa)}X-a{\ stile di visualizzazione Xa}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}(X-a){\ stile di visualizzazione (Xa)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]/(X-a){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xa)}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}VS[X]{\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}1⋅1¯=1¯{\ displaystyle 1 \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {1}}}X⋅1¯=a¯{\ displaystyle X \ cdot {\ bar {1}} = {\ bar {a}}}VS[X]/(P){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (P)}P(X)=(X-a)(X-b){\ stile di visualizzazione P (X) = (Xa) (Xb)}a≠b{\ displaystyle a \ not = b}VS[X]/(X-a){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xa)}VS[X]/(X-b){\ displaystyle \ mathbb {C} [X] / (Xb)}a=b{\ stile di visualizzazione a = b}X-a{\ stile di visualizzazione Xa}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}π(z)=(az0a){\ displaystyle \ pi (z) = \ left ({\ begin {array} {cc} a & z \\ 0 & a \ end {array}} \ right)}

Induzione

Sia un'algebra di Lie. Sia una sottoalgebra di Lie di . Sia una rappresentazione di . Abbiamo visto che possiamo ottenere una rappresentazione di per restrizione. La nozione di algebra avvolgente fornirà un modo semplice per considerare il problema reciproco. Sia dunque una rappresentazione di , che vediamo come rappresentazione della sua avvolgente algebra . Una conseguenza del teorema di Poincaré-Birkhoff-Witt è che appare come una sottoalgebra di . D'altra parte, fornisce una rappresentazione di facendo atto per moltiplicazione a sinistra sui tensori. Costruiamo quindi la rappresentazione . Si chiama rappresentazione indotta da a da . g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π,V){\ stile di visualizzazione (\ pi, V)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}(π',V'){\ stile di visualizzazione (\ pi ', V')}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}tu(h){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {h}})}tu(h){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {h}})}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}ionondhg(V'): =tu(g)⊗tu(h)V'{\ displaystyle Ind _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} (V '): = {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}}) \ otimes _ {{\ mathcal { U }} ({\ mathfrak {h}})} V '}h{\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}(π',V'){\ stile di visualizzazione (\ pi ', V')}

Collegamento con rappresentazioni di gruppi di Lie

In questa parte, il corpo K è (o ). Un gruppo di Lie G è una varietà differenziale reale (o complessa) dotata di due mappe e liscia (o olomorfa) tale cioè un gruppo . Il campo K stesso è un gruppo di Lie commutativo. Un altro esempio di gruppi di Lie è il gruppo di matrici invertibili di dimensione n . Un morfismo di gruppo di Lie è un morfismo di gruppo differenziabile (o olomorfo). Una rappresentazione dimensionale finita del gruppo di Lie G è una morfosima di G in . R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}} μ: G×G→G{\ displaystyle \ mu: \ G \ times G \ rightarrow G}io: G→G{\ displaystyle i: \ G \ freccia destra G}(G, μ, io){\ stile di visualizzazione (G, \ \ mu, \ i)}GL(non,K){\ stile di visualizzazione GL (n, K)}GL(non,K){\ stile di visualizzazione GL (n, K)}

I gruppi di Lie sono legati alle algebre di Lie. Infatti, lo spazio tangente ad un gruppo di Lie G in identità è un'algebra di Lie di dimensione finita, chiamata algebra di Lie del gruppo G e notata . Ad esempio, l'algebra di Lie di K è K stessa; l'algebra di Lie di è . Poiché l'algebra di Lie del gruppo di Lie G è lo spazio tangente nell'identità, in realtà dipende solo dalla componente connessa dell'identità. Così, ad esempio, il gruppo di matrici reali con determinante strettamente positivo ha la stessa algebra di Lie di . D'altra parte, fino all'isomorfismo, esiste un unico gruppo di Lie connesso e semplicemente connesso avente una data algebra di Lie (di dimensione finita). g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}GL(non,K){\ stile di visualizzazione GL (n, K)}gl(non,K){\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, K)}GL+(non,R){\ displaystyle GL ^ {+} (n, \ mathbb {R})}GL(non,R){\ displaystyle GL (n, \ mathbb {R})}

Poiché ogni morfismo tra gruppi di Lie è per ipotesi differenziabile, induce una mappatura tra le algebre di Lie sottostanti . Questa mappa è infatti un morfismo di algebre di Lie. In particolare, per , ogni rappresentazione di un gruppo di Lie G dà luogo a una rappresentazione a dimensione finita della sua algebra di Lie . Al contrario, qualsiasi rappresentazione dimensionale finita di un'algebra di Lie deriva da una rappresentazione dell'unico gruppo di Lie semplicemente connesso avente l'algebra di Lie come sua algebra di Lie . φ: G→H{\ displaystyle \ varphi: \ G \ freccia destra H}dφ: g→h{\ displaystyle d \ varphi: \ {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {h}}}dφ{\ displaystyle d \ varphi}H=GL(non,K){\ stile di visualizzazione H = GL (n, K)}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}

Osservazione Esistono nozioni più forti di rappresentazioni dei gruppi di Lie che consentono di estendere la teoria a dimensione infinita, pur mantenendo un analogo di quest'ultimo risultato. Si tratta, ad esempio, delle rappresentazioni ammissibili e della nozione di -moduli. (g,K){\ displaystyle ({\ mathfrak {g}}, K)}

Categoria del modulo

Sia un'algebra di Lie. L'insieme di tutti i moduli (o equivalentemente di tutte le rappresentazioni di ) forma una categoria , indicata . Questa categoria è abeliana . In particolare, si possono considerare sequenze esatte di moduli. Una sequenza esatta in è data da tre moduli M , N , P e da due morfismi iniettivo e suriettivo. Notiamo una tale sequenza. Un modulo P è proiettivo se viene scissa una qualsiasi sequenza esatta , cioè se esiste un morfismo tale che . Una definizione equivalente è la seguente: il modulo P è proiettivo se per ogni morfismo suriettivo e per ogni morfismo esiste un unico morfismo tale che . In duplice modo, un modulo I è iniettivo se una qualsiasi sequenza esatta è divisa. Una definizione equivalente è la seguente: il modulo I è iniettivo se per ogni morfismo iniettivo e per ogni morfismo esiste un unico morfismo tale che .g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}g{\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}Mod(g){\ Displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ Displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}io:NON→M{\ displaystyle i: N \ freccia destra M}p:M→P{\ displaystyle p: M \ freccia destra P}0→NON→M→P→0{\ displaystyle 0 \ freccia destra N \ freccia destra M \ freccia destra P \ freccia destra 0}0→NON→M→P→0{\ displaystyle 0 \ freccia destra N \ freccia destra M \ freccia destra P \ freccia destra 0}S:P→M{\ displaystyle s: P \ freccia destra M}p∘S=iod{\ displaystyle p \ circ s = id}f:NON→M{\ displaystyle f: N \ freccia destra M}h:P→M{\ displaystyle h: P \ freccia destra M}h':P→NON{\ displaystyle h ': P \ freccia destra N}f∘h'=h{\ displaystyle f \ circ h '= h}0→io→M→P→0{\ displaystyle 0 \ freccia destra I \ freccia destra M \ freccia destra P \ freccia destra 0}f:NON→M{\ displaystyle f: N \ freccia destra M}h:NON→io{\ displaystyle h: N \ freccia destra I}h':M→io{\ displaystyle h ': M \ freccia destra I}h'∘f=h{\ displaystyle h '\ circ f = h}

Poiché ogni modulo è anche un modulo sull'anello , possiamo usare le nozioni generali di moduli su un anello . Un modulo M è di lunghezza finita se esiste una serie finita di sottomoduli tali che i quozienti successivi siano moduli irriducibili. Tale sequenza è chiamata Jordan-Hölder da M . Per un modulo di lunghezza finita, il quoziente della classe di isomorfismi dipende solo dal modulo M . In particolare, l'intero n dipende solo dal modulo M e prende il nome di lunghezza del modulo M . Ad esempio, qualsiasi modulo irriducibile è di lunghezza 1, qualsiasi somma diretta di due moduli irriducibili è di lunghezza 2.tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯⊂Mnon=M{\ displaystyle \ {0 \} \ sottoinsieme M_ {1} \ sottoinsieme M_ {2} \ sottoinsieme \ cdots \ sottoinsieme M_ {n} = M}Mio+1/Mio{\ displaystyle M_ {i + 1} / M_ {i}}

Un modulo M è artiniano se una qualsiasi sequenza decrescente di sottomoduli è stazionaria. Ad esempio, qualsiasi modulo dimensionale finito è artiniano. Un modulo M è noetheriano se una qualsiasi sequenza crescente di sottomoduli è stazionaria. Poiché l'algebra avvolgente è un anello noetheriano , un modulo M è noetheriano se e solo se è di tipo finito. Un modulo è di lunghezza finita se e solo se è noetheriano e artiniano.M⊃M1⊃M2⊃⋯{\ displaystyle M \ supset M_ {1} \ supset M_ {2} \ supset \ cdots}{0}⊂M1⊂M2⊂⋯{\ displaystyle \ {0 \} \ subset M_ {1} \ subset M_ {2} \ subset \ cdots}tu(g){\ displaystyle {\ mathcal {U}} ({\ mathfrak {g}})}

Esempio Un modulo a dimensione finita è sempre noetheriano e artiniano, ed è quindi sempre di lunghezza finita. Questo non è più valido in dimensione infinita, anche per un'algebra di Lie abeliana. Supponiamo ad esempio che . Si consideri il modulo in cui l'azione di è data dalla moltiplicazione per lo scalare z . L'azione di è quindi data dalla moltiplicazione a sinistra. Quindi ogni ideale sinistro è un sottomodulo L . Nota (P) l'ideale generato dal polinomio P . Sia una serie infinita di numeri complessi. Abbiamo allora la seguente successione decrescente: . È una serie non stazionaria di sottomoduli, i cui quozienti successivi sono moduli irriducibili (a causa della dimensione 1). Quindi L non è artiniano e non è di lunghezza finita. Si noti che L è noetheriano perché è un modulo di tipo finito (infatti ciclico, generato dal polinomio costante 1 ).g=VS{\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {C}}L=VS[X]{\ displaystyle L = \ mathbb {C} [X]}z∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C}}tu(VS)=VS[X]{\ displaystyle {\ mathcal {U}} (\ mathbb {C}) = \ mathbb {C} [X]}a1,a2,...{\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots}⋯⊂(X-a1)⋯(X-anon)⊂⋯⊂(X-a1)(X-a2)⊂(X-a1)⊂L{\ displaystyle \ cdots \ subset (X-a_ {1}) \ cdots (X-a_ {n}) \ subset \ cdots \ subset (X-a_ {1}) (X-a_ {2}) \ subset ( X-a_ {1}) \ sottoinsieme L}

Una sottocategoria piena di è artiniana (rispettivamente noetheriana) se tutti i suoi oggetti sono moduli artiniani (rispettivamente noetheriani). In una sottocategoria piena di artinian e noetherian ogni oggetto è di lunghezza finita. Una sottocategoria di full ha abbastanza proiettivo se per qualsiasi oggetto M nella sottocategoria c'è un modulo proiettivo P nella sottocategoria e un morfismo suriettivo P su M . Ha abbastanza iniettivo se per ogni oggetto M nella sottocategoria c'è un modulo iniettivo I nella sottocategoria e un morfismo iniettivo M in I . Mod(g){\ Displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ Displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}Mod(g){\ Displaystyle Mod ({\ mathfrak {g}})}

Riferimenti

• N. Bourbaki , Elementi di matematica , Gruppi e algebre di Lie, Capitolo 1, Springer, 2007 ( ISBN  978-3-540-35335-5 )
• Jacques Dixmier , Algebre avvolgenti , Jacques Gabay, 1996 ( ISBN  2-87647-014-4 )
• Brian Hall, Gruppi di bugie, Algebre di bugia e rappresentazioni , Springer, 2003 ( ISBN  978-0-387-40122-5 )
• James Humphreys, Introduzione alle algebre di Lie e alla teoria della rappresentazione , seconda edizione, rivista. Testi di laurea in matematica, 9. Springer, 1978 ( ISBN  0-387-90053-5 )
• Nathan Jacobson , Lie algebre , Ripubblicazione dell'originale del 1962, Dover, 1979 ( ISBN  0-486-63832-4 )

Articoli Correlati

• Teoria della rappresentazione
• Rappresentanza di gruppo
• Rappresentazione di un gruppo di Lie
• Rappresentazioni di un gruppo finito

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