Potenza di due

In aritmetica , una potenza di due denota un numero annotato nella forma $2 n$ dove $n$ è un numero naturale . È il prodotto del numero $2$ ripetuto $n$ volte con se stesso, vale a dire: . $\ underbrace {2 \ times \ cdots \ times 2} _ {{n \ {\ mathrm {fattori}}}}$

Questo caso particolare di potenze intere di due si generalizza nell'insieme dei numeri reali , per la funzione esponenziale in base 2 , la cui funzione reciproca è il logaritmo binario .

Per convenzione e per garantire la continuità di questa funzione esponenziale in base 2, la potenza nulla di 2 si assume uguale a 1, cioè $2 0 = 1$ .

Poiché $2$ è la base del sistema binario , le potenze di due sono comuni in informatica . In forma binaria si scrivono sempre “10000…0”, come avviene per una potenza di dieci scritta nel sistema decimale .

Le solite notazioni

A seconda del campo di attività, si nota una potenza di due:

2 n
2^ n
2 ** n
2 [3] n
2 ↑ n ( notazione dei poteri iterati di Knuth )
potenza (2, n)
potenza (2, n)
1 << n
$H 3 (2, n )$
$2 \to n \to 1$ ( notazione delle frecce a catena di Conway )

Ci sono diverse pronunce:

2 esponente n
2 potenza n
2 alla potenza di n
2 elevato al potere n
ennesima potenza di 2

Informatica

Il computer si basa sul sistema binario utilizza sempre le potenze di due. In particolare, 2 n fornisce il numero di modi in cui possono essere disposti i bit in un intero binario di lunghezza n . Ad esempio, un byte contiene 8 bit e può quindi memorizzare 2 8 valori diversi (ovvero 256).

Inoltre, un kibibyte contiene 1024 (2 10 ) byte.

Tutte le dimensioni nell'informatica sono somme di potenze di 2, sia per la dimensione della memoria (2, 4, 8 o 12 gigabyte), la risoluzione video (per uno schermo da 14 pollici, di solito ci sono 640 per 480 pixel, dove 640 = 512 + 128 e 480 = 256 + 128 + 64 + 32) o il dimensionamento delle memorie di massa .

Prime potenze di due

Le prime 33 potenze di due sono:

2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
2 6 = 64
2 7 = 128
2 8 = 256
2 9 = 512
2 10 = 1.024
2 11 = 2048
2 12 = 4096
2 13 = 8 192
2 14 = 16 384
2 15 = 32 768
2 16 = 65.536
2 17 = 131.072
2 18 = 262 144
2 19 = 524 288
2 20 = 1,048,576
2 21 = 2 097 152
2 22 = 4,194,304
2 23 = 8 388 608
2 24 = 16.777.216
2 25 = 33 554 432
2 26 = 67 108 864
2 27 = 134 217 728
2 28 = 268 435 456
2 29 = 536 870 912
2 30 = 1.073.741.824
2 31 = 2 147 483 648
2 32 = 4 294 967 296

Potenza di due avente come esponente una potenza di due

Le moderne celle di memoria e registri spesso manipolano un numero di bit che è una potenza di due. Le potenze che compaiono più frequentemente sono quelle il cui esponente è anche una potenza di due.

la notazione ${\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}} \ quad {\ rm {significa}} \ quad 2 ^ {(2 ^ {n})}}$ (e non (2 2 ) n , quest'ultima espressione essendo infatti 4 n ).

Esempi

n = 6: 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616
n = 7: 2 128 = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456

Altri notevoli poteri di due

2 24 = 16.777.216, il numero di colori univoci che possono essere visualizzati in true color , utilizzato dalla maggior parte dei monitor dei computer .
Questo numero è il risultato dell'utilizzo del sistema RGB a tre canali , con 8 bit per ogni canale, o 24 bit in totale.
2 a 64 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615, è il numero di chicchi di grano che Sissa , il mitico inventore del gioco di scacchi , ha chiesto il suo signore con un problema matematico : una (2 0 ) nel primo tasto, due (2 1 ) sul secondo tasto, poi quattro (2 2 ), otto (2 3 ), sedici (2 4 ), ecc. fino a 263 perché una scacchiera ha 64 caselle. Dovrebbe quindi aver ricevuto 2,64-1 chicchi, un numero così alto che anche nel 2012 rappresenta 1.000 volte la produzione mondiale annuale di grano .

teoremi

La somma delle prime $n$ potenze di 2 è uguale alla seguente potenza di 2 meno 1: $S_ {n} = \ somma _ {{i = 0}} ^ {{n-1}} 2 ^ {i} = 2 ^ {n} -1$ o ancora: qualsiasi potenza di 2 è uguale alla somma di tutte le potenze inferiori di 2 più 1: ${\ stile di visualizzazione 2 ^ {n} = S_ {n} +1.}$ Le potenze di 2 sono quindi numeri quasi perfetti .
Un intero è divisibile per 2 n se e solo se le sue ultime n cifre binarie sono tutte zero.
Le potenze di 2 sono gli unici numeri che non possono essere divisibili per un numero dispari diverso da 1.
Le cifre delle unità di potenze successive di 2 formano una sequenza periodica (2, 4, 8 e 6).
Ogni potenza di 2 è una somma di coefficienti binomiali : ${\ displaystyle 2 ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ scegli k}.}$
Il numero reale 0.12481632641282565121024… formato successivamente (2 n ) n ∈ℕ delle potenze di 2 è un numero dell'universo .

Numero primo di Mersenne

Un numero primo di Mersenne è un numero primo della forma 2 N - 1. Ad esempio, il numero primo 31 , che è scritto come 2 5 - 1.

Poiché 2 N -1 è primo, è necessario che N lo sia, ma questa condizione non è sufficiente . Il controesempio più piccolo è
2 11 - 1 = 2047 = 23 × 89.

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Power of two " ( vedi l'elenco degli autori ) .

L' elenco dei primi 1000 potenze di due si possono trovare nei link esterni della A000079 Suite del OEIS .
L' elenco fino a può essere trovato $2^ {2^n}$ ${\ stile di visualizzazione n = 13}$ nei collegamenti esterni della suite OEIS A001146 .
Nel suo libro Tracking the Automatic ANT And Other Mathematical Explorations , David Gale dà una dimostrazione, e cita un programma di cinque righe di Stephan Heilmayr scritto in linguaggio Mathematica , che dà il più piccolo esponente di 2 voluto quando viene data la sequenza desiderata.