Logica

La logica , la greca λογική  / logiké , è un termine derivato dal λόγος  / lógos - significa sia "  ragione  ", "  lingua  " e "  ragionare  " - è, in un primo approccio, lo studio delle regole formali che devono essere rispettate tutte le corrette argomento . Il termine sarebbe stato usato per la prima volta da Senocrate .

La logica antica si scompone prima in dialettica e retorica .

Fin dall'antichità è stata una delle grandi discipline della filosofia , insieme all'etica ( filosofia morale ) e alla fisica ( scienza della natura ).

Nel Medioevo non era esplicitamente elencato tra le sette arti liberali  :

L'opera di George Boole , Jevons permesso dal momento che il XIX E  secolo l'abbagliante sviluppo di un matematico approccio della logica. Il suo operato la convergenza con il calcolatore a partire dalla fine del XX °  secolo, gli ha dato una rinnovata vitalità.

E 'dal XX °  secolo molte applicazioni in ingegneria , in lingua , in psicologia cognitiva , in filosofia analitica o di comunicazione .

Definizione

La logica è lo studio dell'inferenza .

Storia

antichità

La logica è all'origine la ricerca di regole generali e formali che permettano di distinguere un ragionamento conclusivo da quello che non lo è. Trova i suoi primi tentativi nella matematica e soprattutto nella geometria ma è soprattutto sotto l'impulso dei Megarici e poi di Aristotele che prende il volo .

La logica è stata usata molto presto contro se stessa, cioè contro le condizioni stesse del discorso: il sofista Gorgia la usa nel suo Trattato del non-essere per dimostrare che non c'è ontologia possibile: «non è l'essere che è l'oggetto dei nostri pensieri»  : la verità materiale della logica è così rovinata. Il linguaggio acquista così una sua legge, quella della logica, indipendente dalla realtà. Ma i sofisti furono esclusi dalla storia della filosofia (i sofisti assunse un significato peggiorativo), cosicché la logica, nell'accezione che ne avevamo ad esempio nel medioevo , rimase soggetta al pensiero di essere .

epoca contemporanea

Nel XVII °  secolo , il filosofo Gottfried Wilhelm Leibniz svolge ricerca di base nella logica che rivoluziona la logica profondamente aristotelica. Esige costantemente dalla tradizione dei sillogismi di Aristotele e cerca di integrare il proprio sistema. È il primo a immaginare e sviluppare una logica formale .

Immanuel Kant , da parte sua, definisce la logica come "una scienza che espone nei dettagli e dimostra rigorosamente le regole formali di ogni pensiero" . Le sei opere di Aristotele raggruppate sotto il titolo di Organon , comprese le Categorie e lo studio del sillogismo , sono state a lungo considerate il riferimento su questo argomento.

Nel 1847 fu pubblicato il libro di George Boole , intitolato Analisi matematica della logica , quindi un'indagine sulle leggi del pensiero, su cui si fondano le teorie matematiche della logica e delle probabilità . Boole vi sviluppa una nuova forma di logica, sia simbolica che matematica. Il suo obiettivo è tradurre idee e concetti in espressioni ed equazioni , applicare loro determinati calcoli e tradurre il risultato in termini logici, segnando così l'inizio della logica moderna, basata su un approccio algebrico e semantico , che in seguito abbiamo chiamato algebra booleana in suo onore.

I diversi approcci

In generale, ci sono quattro approcci alla logica:

Storico

Questo primo approccio sottolinea l'evoluzione e lo sviluppo della logica, con particolare enfasi sulla sillogistica aristotelica e sui tentativi, a partire da Leibniz , di fare della logica un vero e proprio calcolo algoritmico . Questo approccio storico è particolarmente interessante per la filosofia perché anche Aristotele , gli Stoici o Leibniz hanno lavorato come filosofi e come logici, in tutta la storia della logica .

Matematico

La logica matematica contemporanea è legata alla matematica , all'informatica e all'ingegneria . L'approccio matematico ha una posizione un po' particolare dal punto di vista epistemologico , poiché è sia uno strumento per definire la matematica , sia una branca di questa stessa matematica, quindi un oggetto.

Filosofico

La filosofia , e soprattutto la filosofia analitica che studia essenzialmente il linguaggio proposizionale , si affidano a uno strumento di analisi argomentativa e da un lato agli sviluppi logici compiuti nella storia della filosofia e, dall'altro, ai recenti sviluppi della logica matematica. Inoltre, la filosofia e soprattutto la filosofia della logica si prefiggono il compito di illuminare i concetti ei metodi fondamentali della logica.

Informatica

L'approccio informatico studia l' automazione dei calcoli e delle dimostrazioni, i fondamenti teorici della progettazione dei sistemi, la programmazione e l'intelligenza artificiale . L'approccio è cruciale perché oggi, cercando di meccanizzare il ragionamento , anche l' automazione , la logica e la matematica stanno vivendo una rivoluzione a partire dalla fine del XX °  secolo. E in particolare a seguito dell'uso della corrispondenza prova-programma . Le conseguenze epistemologiche di questi sviluppi sono ancora in gran parte insospettate.

Principali aree della logica

Logica sillogistica

L' Organon è la logica principale dell'opera di Aristotele , includendo in particolare i Prior Analytics  ; costituisce la prima opera esplicita di logica formale , in particolare con l'introduzione della sillogistica .

Le opere di Aristotele sono considerate in Europa e nel Medio Oriente in epoca classica e medievale come l'immagine stessa di un sistema completamente sviluppato . Aristotele non fu però l'unico, né il primo: gli stoici proponevano un sistema di logica proposizionale che fu studiato dai logici medievali. Inoltre, il problema della generalità multipla è stato riconosciuto in epoca medievale .

Proposizione logica

Il calcolo delle proposizioni è un sistema formale in cui le formule rappresentano proposizioni che possono essere formate combinando proposizioni atomiche e utilizzando connettori logici , e in cui un sistema di regole di dimostrazione formale stabilisce alcuni " teoremi ".

Calcolo dei predicati

Un calcolo predicato è un sistema formale , che può essere sia la logica del primo ordine , o la logica del secondo ordine o la logica di ordine superiore , è la logica infinitaria . Esprime per quantificazione un ampio campione di proposizioni in linguaggio naturale . Ad esempio, il paradosso del barbiere di Bertrand Russell , "c'è un uomo che rade tutti gli uomini che non si radono" può essere formalizzato dalla formula  : usare il predicato per indicare che è un uomo, la relazione binaria per indicare che è rasato da e altri simboli per esprimere quantizzazione , congiunzione , implicazione , negazione ed equivalenza .

Logica modale

Nel linguaggio naturale , una modalità è un'inflessione o un'aggiunta per modificare la semantica di una proposizione .

Ad esempio, la frase "Andiamo ai giochi" può essere modificata in "Dobbiamo andare ai giochi", o "Possiamo andare ai giochi" o "Andremo ai giochi" o "Dobbiamo andare ai giochi”.

Più astrattamente, la modalità influenza il quadro entro il quale viene soddisfatta un'asserzione.

In logica formale , una logica modale è una logica estesa dall'aggiunta di operatori , che vengono applicati alle proposizioni per modificarne il significato.

Logica filosofica

La logica filosofica si occupa di descrizioni formali del linguaggio naturale . Questi filosofi ritengono che l'essenza del ragionamento quotidiano possa essere trascritta nella logica, se uno o più metodi riescono (riuscendo) a tradurre il linguaggio ordinario in questa logica. La logica filosofica è essenzialmente un'estensione della logica tradizionale che precede la logica matematica e si occupa della connessione tra linguaggio naturale e logica.

Pertanto, i logici filosofici hanno contribuito notevolmente alla logica non standard dello sviluppo (ad esempio, la logica libera , la logica temporale ) e alle varie estensioni logiche (ad esempio, logiche modali ) e semantiche di queste logiche (ad esempio, supervaluationisme  (en) di Kripke nella semantica della logica).

Nozioni di base di logica formale

Un linguaggio logico è definito da una sintassi , cioè un sistema di simboli e regole per combinarli sotto forma di formule . Inoltre, una semantica è associata alla lingua. Permette di interpretarlo, cioè di attribuire un significato a queste formule così come ai simboli. Un sistema di deduzione permette di ragionare costruendo dimostrazioni.

La logica include convenzionalmente:

A cui si aggiunge:

sintassi

La sintassi della logica delle proposizioni si basa su variabili di proposizione dette anche atomi che indichiamo con lettere minuscole (p, q, r, s, ecc.) Questi simboli rappresentano proposizioni sulle quali non giudichiamo nei confronti - rispetto alla loro verità: possono essere vere o false, ma possiamo anche non voler dire nulla sul loro status. Tali variabili vengono combinate tramite connettori logici che sono, ad esempio:

  1. Il connettore binario disgiuntivo (o), simbolo: ∨;
  2. Il connettore binario connettivo (e), simbolo: ∧;
  3. Il connettore binario dell'implicazione , simbolo: →;
  4. Il connettore unario o monadico della negazione (non), del simbolo: ¬.

Queste variabili poi formano formule complesse.

La sintassi della logica del secondo ordine , a differenza della logica del primo ordine , considera:

Nel seguito indicheremo con V l'insieme delle variabili (x, y, z...), F l'insieme dei simboli di funzione (f, g...) e P l'insieme dei simboli dei predicati (P, Q .. .). Abbiamo anche un cosiddetto m mappa arity . Il significato delle formule è oggetto di semantica e differisce a seconda della lingua considerata.

Nella logica tradizionale (detta anche logica classica o logica del "terzo escluso"), una formula è vera o falsa. Più formalmente, l'insieme dei valori di verità è un insieme B di due booleani  : vero e falso. Il significato dei connettori è definito utilizzando funzioni da booleane a booleane. Queste funzioni possono essere rappresentate sotto forma di una tabella di verità .

Il significato di una formula dipende quindi dal valore di verità delle sue variabili. Stiamo parlando di interpretazione o assegnazione. Tuttavia, è difficile, nel senso di complessità algoritmica , usare la semantica per decidere se una formula è soddisfacente (o no) o anche valida (o no). Per questo, sarebbe necessario poter enumerare tutte le interpretazioni che sono in numero esponenziale .

Un'alternativa alla semantica consiste nell'esaminare prove ben formate e considerare le loro conclusioni. Questo viene fatto in un sistema di detrazione . Un sistema di deduzione è una coppia (A, R), dove A è un insieme di formule chiamate assiomi e R un insieme di regole di inferenza , cioè di relazioni tra insiemi di formule (le premesse) e formule (la conclusione).

Chiamiamo derivazione da un dato insieme di ipotesi una sequenza non vuota di formule che sono: o assiomi o formule dedotte dalle formule precedenti nella sequenza. Una dimostrazione di una formula ϕ da un insieme di formule Γ è una derivazione da la cui ultima formula è ϕ.

Quantificazione

Introduciamo essenzialmente due quantificatori nella logica moderna:

Grazie alla negazione, i quantificatori esistenziali e universali svolgono un duplice ruolo e quindi, nella logica classica , possiamo basare il calcolo dei predicati su un unico quantificatore.

Uguaglianza

Un predicato binario, chiamato uguaglianza , afferma che due termini sono uguali quando rappresentano lo stesso oggetto. È gestito da assiomi o schemi di assiomi specifici. Tuttavia, tra i predicati binari si tratta di un predicato molto particolare, la cui interpretazione abituale non è solo vincolata dalle sue proprietà dichiarate dagli assiomi: in particolare esiste solitamente un solo predicato di uguaglianza possibile per modello, quello che corrisponde all'atteso interpretazione (identità). La sua aggiunta alla teoria conserva alcune buone proprietà come il classico teorema di completezza del calcolo dei predicati. Consideriamo quindi molto spesso che l'uguaglianza faccia parte della logica di base e studiamo quindi il calcolo dei predicati egualitari .

In una teoria che contiene l'uguaglianza, viene spesso introdotto un quantificatore, che può essere definito dai quantificatori precedenti e dall'uguaglianza:

Altri quantificatori possono essere introdotti nel calcolo dei predicati egualitari (c'è al massimo un oggetto che verifica tale proprietà, esistono due oggetti...), ma quantificatori utili in matematica, come "c'è un infinito..." o "Esiste un numero finito..." non può essere rappresentato lì e richiede altri assiomi (come quelli della teoria degli insiemi ).

Logica non binaria

Non è stato fino agli inizi del XX °  secolo, al principio di bivalenza è chiaramente in discussione in molti modi diversi:

Bibliografia

Note e riferimenti

  1. Jean-Baptiste Gourinat , "  Logica: una creazione dell'antica Grecia  ", Pour la Science , n o  49,2005( presentazione on line )
  2. "  Gorgia - Testo fondatore  " , su www.philo5.com (consultato il 28 maggio 2020 )
  3. Robert Blanche , “  Logica - 4) L'era della cosiddetta‘’logica classica  ” , in Encyclopædia Universalis (consultabile sul 11 marzo 2015 )  : “Egli accetta ciò che è stato fatto, lo prende di nuovo, ma di approfondire lo . La logica tradizionale è solo un esempio di una logica generale, che resta da stabilire. "
  4. Herbert H. Knecht, Logic in Leibniz: Essays on Baroque Rationalism , L'Âge d'Homme, coll.  "Dialettica",diciannove ottantuno( leggi in linea ) , p.  38-39
  5. Kant, prefazione alla seconda edizione della Critique de la raison pure
  6. George Boole , L'analisi matematica della logica: essere un saggio verso un calcolo del ragionamento deduttivo , Macmillan, Barclay, & Macmillan ...,1847( leggi in linea )
  7. Georges Boole, “  HE TEORIE MATEMATICHE DELLA LOGICA E DELLE PROBABILITÀ.  » , Su www.gutenberg.org
  8. vedi (in) Fondamenti logici dell'intelligenza artificiale
  9. La rivoluzione matematica di Julie Rehmeyer Voevodsky Scientific American il 1 ottobre 2013
  10. "  storia della logica  " , sull'Enciclopedia Britannica (consultato l'8 maggio 2016 )
  11. "Atomico" va inteso nel suo antico significato di indiscriminato o primitivo.

Vedi anche

Articoli Correlati

Sulla filosofia:

Sulla logica matematica:

Vedi anche:

link esterno