Un assioma (in greco antico : ἀξίωμα / axioma , "principio che serve come base per una dimostrazione , principio evidente in sé" - esso stesso derivato da άξιόω ( axioô ), "giudicare adatto, credere giusto") è una proposizione non dimostrata, usato come base per il ragionamento o la teoria matematica .
Per Euclide e per alcuni antichi filosofi greci , un assioma era un'affermazione che davano per scontata e che non aveva bisogno di dimostrazione.
Per l' epistemologia (ramo della filosofia della scienza ), un assioma è una verità autoevidente su cui altre conoscenze possono poggiare, in altre parole, possono essere costruite. Si noti che non tutti gli epistemologi ammettono l'esistenza di assiomi, in questo senso del termine. In alcune correnti filosofiche, come l' oggettivismo , la parola assioma ha una connotazione particolare. Un'affermazione è assiomatica se è impossibile negarla senza contraddirsi. Esempio: "C'è una verità assoluta" o "Il linguaggio esiste" sono assiomi.
In matematica , la parola assioma denotava una proposizione che è di per sé evidente nella tradizione matematica degli Elementi di Euclide. L'assioma è ora utilizzato, nella logica matematica , per designare una verità primaria, all'interno di una teoria . L'insieme degli assiomi di una teoria è chiamato teoria assiomatica o assiomatica . Questo assiomatico deve essere non contraddittorio . Questo assioma definisce la teoria. Un assioma rappresenta quindi un punto di partenza in un sistema di logica . La rilevanza di una teoria dipende dalla rilevanza dei suoi assiomi e dalla loro interpretazione. L'assioma sta dunque alla logica matematica , ciò che il principio sta alla fisica teorica . In ogni sistema di logica formale , ci sono assiomi come punto di partenza.
Esempio: solita aritmeticaAd esempio, possiamo definire un'aritmetica semplice, comprendente un insieme di “ numeri ”, una legge di composizione : l'addizione segnata “+”, interna a questo insieme, un'uguaglianza che è riflessiva, simmetrica e transitiva, e per impostazione (ispirata di Peano ):
Alcuni teoremi possono essere dimostrati da questi assiomi.
Usando questi assiomi, e definendo le solite parole 1, 2, 3, e così via per designare i successori di 0: succ (0), succ (succ (0)), succ (succ (succ (0)) ) rispettivamente, possiamo dimostrare quanto segue:
succ (X) = X + 1 (assioma 4 e 3)e
| 1 + 2 = 1 + succ (1) | Ampliamento dell'abbreviazione (2 = succ (1)) |
| 1 + 2 = succ (1) + 1 | Assioma 4 |
| 1 + 2 = 2 + 1 | Ampliamento dell'abbreviazione (2 = succ (1)) |
| 1 + 2 = 2 + successo (0) | Espansione dell'abbreviazione (1 = succ (0)) |
| 1 + 2 = 2 + 1 = succ (2) + 0 = 0 + succ (2) | Assioma 4 |
| 1 + 2 = 3 = 0 + 3 | Assioma 3 e uso dell'abbreviazione (succ (2) = 3) |
| 0 + 1 = 1 + 0 = 1 | Assioma 4 e 3 (1 + 0 = 1) |
| X + succ (X) = succ (X) + X | per ogni X Assioma 4 e la simmetria dell'uguaglianza |
Qualsiasi risultato che può essere dedotto dagli assiomi non è un assioma. Qualsiasi affermazione che non può essere dedotta dagli assiomi e la cui negazione non può essere dedotta da questi stessi assiomi può essere aggiunta come un assioma senza modificarne la coerenza. Si dice che tale affermazione è indipendente dagli assiomi precedenti. D'altra parte, l'aggiunta di un nuovo assioma permette di dimostrare nuovi teoremi.
Probabilmente il più antico e famoso sistema di assiomi è uno dei 5 postulati di Euclide . Questi si sono rivelati piuttosto incompleti e sono necessari molti più assiomi per caratterizzare completamente la geometria di Euclide ( Hilbert ne ha usati 26 nella sua assiomatica della geometria euclidea ).
Si sospetta che il quinto postulato (da un punto fuori linea passa esattamente un parallelo a questa linea) sia una conseguenza dei primi 4 per quasi due millenni. Alla fine, il quinto postulato si è rivelato indipendente dai primi quattro. Infatti, possiamo supporre che nessun parallelo passi per un punto situato al di fuori di una retta, o che ci sia un solo parallelo, o che ci sia un infinito. Ognuna di queste scelte ci offre diverse forme alternative di geometria, in cui le misure degli angoli interni di un triangolo si sommano per dare un valore minore, uguale o maggiore della misura dell'angolo formato da una linea (angolo piatto) . Queste geometrie sono note rispettivamente come geometrie ellittiche , euclidee e iperboliche . La relatività generale dice che la massa dà la curvatura dello spazio, vale a dire che lo spazio fisico non è euclideo.
Nel XX ° secolo , l' incompletezza teoremi di Gödel stato lista n esplicita di assiomi sufficienti per provare alcuni teoremi molto di base nel suo complesso (ad esempio, il aritmetica Robinson ) non può essere sia completo (ogni proposta può essere dimostrata o confutata all'interno del sistema) e coerente (nessuna proposizione può essere sia dimostrata che confutata).
Robert Blanche , L'Axiomatique , ed. PUF coll. Quadriga, 112 pagine, 1955.