logica fuzzy

La logica fuzzy ( fuzzy logic , in inglese) è una logica multivalore in cui i valori di verità delle variabili - invece di essere veri o falsi - sono reali tra 0 e 1. In questo senso estende la tradizionale logica booleana con valori di verità parziali. Consiste nel prendere in considerazione vari fattori numerici per arrivare a una decisione che si desidera accettabile.

introduzione

Per i suoi aspetti numerici, la logica fuzzy si oppone alla logica modale .

Formalizzato da Lotfi Zadeh nel 1965 , uno strumento di intelligenza artificiale , viene utilizzato in campi diversi come:

l' automatico (freni ABS , controllo di processo)
la robotica (riconoscimento),
gestione del traffico stradale (semaforo rosso),
l' ATC ( gestione del traffico aereo )
l'ambiente ( meteorologia , climatologia , sismologia , analisi del ciclo di vita ),
il medicinale ( diagnosi di aiuto )
l' assicurazione (selezione e prevenzione dei rischi ) e molti altri.

È formalizzato da una teoria matematica degli insiemi fuzzy di Lotfi Zadeh che presenta un'estensione della teoria degli insiemi classici agli insiemi imprecisamente definiti .

Partendo da un concetto di funzione di appartenenza con valore in [0, 1], Lotfi Zadeh :

ridefinisce cos'è un sottoinsieme di un dato universo,
costruisce un modello completo di proprietà e definizioni formali,
mostra che questa teoria dei sottoinsiemi fuzzy si riduce alla teoria dei sottoinsiemi classici nel caso in cui le funzioni di appartenenza assumano solo valori binari di {0,1}.

La logica fuzzy ha il vantaggio di essere di facile attuazione, senza pretendere il rigore di una logica probabilistica (che ammette anche valori di verità sull'intervallo [0,1]), sebbene quest'ultima da sola sia stricto sensu coerente (vedi Cox-Jaynes teorema ). Ad esempio la curva Ev (p) può essere sostituita da tre segmenti di linea retta senza eccessiva perdita di precisione per molte applicazioni considerate sopra.

Principio

Ammorbidendo l'algebra booleana , la logica fuzzy sostituisce il valore di verità di una proposizione da scegliere in { true , false } con un grado di verità, da scegliere ad esempio in [0, 1]. Nella logica fuzzy, ci sono quindi gradi nella soddisfazione di una condizione.

Un esempio semplice e antico è la docimologia , vale a dire la valutazione degli studenti di una classe: in ogni disciplina questa viene valutata con un voto compreso tra 0 (cattivo) e 20 (eccezionale) e si stima il livello dello studente per un dato orientamento ponderando questi punteggi con vari coefficienti a seconda dell'orientamento considerato.

Proprietà

Prendiamo l'esempio della velocità di un veicolo su una strada dove la velocità normale è di 90 km/h . La velocità è considerata elevata sopra i 100 km/h e regolamentare sotto gli 80 km/h . Vogliamo caratterizzare la velocità del veicolo rispondendo, ad esempio, alla domanda "La velocità è alta?" ".

Fico. 1

In questo modello di codice stradale, in logica booleana, la risposta alla domanda è la seguente (vedi fig. 1 ):

La velocità è aumentata del 100% sopra i 100 km/he dello 0% sotto.

In logica fuzzy, diversi gradi di risposta alla domanda "La velocità è alta?" "(Vedi fig. 2 ):

La velocità è regolamentare al di sotto degli 80 km/h . Possiamo quindi affermare che al di sotto degli 80 km/h la velocità è elevata con un tasso di confidenza dello 0%.

Fico. 2

La velocità è alta sopra i 100 km/h . La velocità è illegale con un tasso di confidenza del 100% superiore a 100 km/h .
Nelle fasi intermedie, la velocità è considerata illegale al 50% di confidenza a 90 km/he 25% di confidenza a 85 km/h .

Allo stesso modo, possiamo definire una funzione corrispondente alla domanda "La velocità è bassa?" Come segue (vedi fig. 3 ):

La velocità è bassa, sotto gli 80 km/h . È quindi basso al 100%.

Fico. 3

La velocità è considerata per nulla bassa sopra i 100 km/h . È quindi basso allo 0%.
La velocità è quindi bassa al 50% a 90 km/h , e 25% a 95 km/h .

Possiamo anche definire una funzione corrispondente alla domanda "La velocità è media?" "(Vedi fig. 4):

La velocità è media a 90 km/h . A questo ritmo, la velocità è media del 100%.

Fico. 4

La velocità non è affatto media inferiore a 80 km/h e superiore a 100 km/h . Al di fuori di questo intervallo, la velocità è media allo 0%.
La velocità è nella media quindi del 50% a 85, km a / h e il 95 km a / h .

La transizione non deve essere lineare. Possono essere utilizzate transizioni iperboliche (come una sigmoide o una tangente iperbolica ), esponenziale , gaussiana (nel caso di uno stato medio) o qualsiasi altro tipo di transizione (vedi fig. 5 ).

Fico. 5

Relazioni

Il grado di verità di una relazione fuzzy tra due o t oggetti è il grado di appartenenza della coppia o del t-uplo all'insieme fuzzy associato alla relazione.

Sia la relazione 1 (is-a / is-a). Per dire che ogni sedia è un mobile e che il 30% dei mobili sono sedie, si concede un grado di verità da 1 a est1 (sedia, mobile) e un grado di 0,3 a est1 (pezzo di mobili, sedia) .

La conoscenza topografica che un agente possiede di un mondo chiuso può basarsi sull'attribuzione di gradi di verità ad una relazione dello stile x est_near_of y than_de z , costruita e/o affinata dall'apprendimento.

In generale, le relazioni fuzzy consentiranno di codificare conoscenze graduate, empiriche o tipiche, acquisite direttamente o per euristiche, induzioni ...

Combinazione di dichiarazioni

Nel caso di una combinazione di affermazioni (ad esempio: "Se il cielo è azzurro e se ho tempo "), si presentano tre casi:

Le affermazioni sono legate da un “AND”: in questo caso a questa congiunzione può essere assegnato il grado di verità più basso. Infatti, è sufficiente scegliere un operatore tale che where sia chiamato t-norm . è il più ottimista degli standard t. $\superiore$ $\ top (x, y) \ leq \ min (x, y)$ $\superiore$ $\ min$
Le voci sono collegate da un “OR”: in questo caso, a questa aggiunta può essere assegnato il più alto grado di verità. Infatti, è sufficiente scegliere un operatore tale che where sia chiamato t-conorm . è il più pessimista delle t-conforms. $\ bot$ $\ bot (x, y) \ geq \ max (x, y)$ $\ bot$ $\ max$
Una o più dichiarazioni possono essere negate. In questo caso, per mantenere un massimo di proprietà logiche, associamo la negazione al complemento del grado di verità dell'enunciato.

Primo sistema

Definendo gli operatori logici di base come segue:

{\ displaystyle AND: = min; OR: = max; NOT (x): = 1-x}

diventa possibile rappresentare tutte le operazioni logiche di base in logica fuzzy:

Operatore	Abbreviazione	Applicazione
O	ORO	A O B [ ] $= massimo (A, B)$
E		A E B $= minimo (A, B)$
NO		NO A $= 1-A$
O esclusivo	OUEX	A OUEX B $= max (A, B) -min (A, B)$
O	NON-O	A NI B $= 1-max (A, B)$
NOI	NAND	A ON B $= 1 minuto (A, B)$
EQV	NON-OUEX	A EQV B $= 1 + min (A, B) -max (A, B)$
RIPETITORE	RAPPRESENTANTE	REP A $= A$

Proprietà e limitazioni Questo sistema conserva molte proprietà booleane, ma non la non contraddizione : se ha per grado di verità , ha per grado di verità e loro congiunzione , con valore in ...

A

v

NO (A)

1-v

min (v, 1-v)

[0,0.5]

Secondo sistema

Inoltre, la dimensione numerica delle variabili di logica fuzzy consente l'utilizzo di altre operazioni:

Il prodotto: A × B per AND (che perde l' idempotenza : A AND A diventa quindi un'interpretazione di molto A );
La composizione: A + B - A × B per OR (la semplice addizione supererebbe i limiti dell'intervallo [0 1] in alcuni casi).
Mantenendo NON (v) = 1-v, manteniamo ancora molte proprietà logiche.

Altri sistemi

Per combattere certi problemi di inferenza, potremmo volere un operatore AND più duro, associando l'operazione A AND B al grado . $massimo (LA + SI-1,0)$

In tal caso, OR e NOT devono essere scelti in modo da preservare o meno determinate proprietà, ad esempio per garantire il ragionamento. Si trovano nella Teoria delle Possibilità (op. Cit.) Le relazioni tra assiomi logici desiderati ed equazioni funzionali che gli operatori corrispondenti devono rispettare.

Possiamo anche cambiare lo spazio della verità, preferendo ad esempio [-1 +1] per certe proprietà bipolari.

Operatori fuzzy

Gli operatori fuzzy possono essere definiti in vari modi, poiché dotano, secondo Goguen, lo spazio della verità prescelto di una struttura reticolare, auspicabile per l' AND e l' OR , reticolo preferibilmente complementato per un NOT involutivo.

Le famiglie parametriche di operatori fuzzy consentiranno allo stesso motore di inferenza di incorporare logiche più o meno rigide. La stessa applicazione potrà così fare appello a diverse implementazioni scelte con giudizio in base al contesto.

L'esempio che segue mostra attraverso 3 modalità di risoluzione l'influenza della scelta degli operatori, al di là di un approccio ingenuo ad un problema.

Esempio di utilizzo

Questo esempio mostra come combinare operatori fuzzy di vario tipo attraverso il problema "conferma l'appartenenza di una persona a un gruppo":

stati Una persona sarà più o meno membro (a un livello fzMember , compreso tra 0 e 1, inclusi) di un gruppo, diciamo amanti dei fiori , o se, per qualsiasi motivo, ne fa già più o meno parte (a un fzDejaMembre livello ), o se ha una discreta conoscenza delle orchidee ( fzConnaitOrchidees ) e quella conoscenza delle orchidee è un criterio abbastanza decisivo ( fzOrchideesAmis ) per appartenere al gruppo degli amanti dei fiori . Soluzione 1 fzMembre = Zadeh_OR(fzDejaMembre, Multiply_AND(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))

Zadeh OR
Moltiplicare AND
(paraboloide iperbolico)

ImplementazionefzMembre = max(fzDejaMembre, (fzConnaitOrchidees * fzOrchideesAmis)) pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.7 pour fzDejaMembre=0.7, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.72 pour fzDejaMembre=0.72, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on retrouve 0.72 pour fzDejaMembre=0.72, fzConnaitOrchidees=0.5 et fzOrchideesAmis=0.9, on conserve 0.72 (ce qui est le résultat vraisemblablement attendu) Soluzione 2 - Utilizzare solo operatori Zadeh

Una soluzione che utilizzerebbe solo gli operatori Zadeh sarebbe:

fzMembre = Zadeh_OR(fzDejaMembre, Zadeh_AND(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))

Zadeh OR
Zadeh AND

ImplementazionefzMembre = max(fzDejaMembre, min(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis)) pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on trouve 0.778 pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve aussi 0.778 (ce qui est trop élevé) pour fzDejaMembre=0.778, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.8 pour fzDejaMembre=0.8, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on retrouve 0.8 pour fzDejaMembre=0.8, fzConnaitOrchidees=0.5 et fzOrchideesAmis=0.9, on conserve 0.8 (ce qui est stable mais trop élevé) Soluzione 3 - Operatori rappresentabili da paraboloidi iperbolici

Una soluzione che utilizzerebbe solo operatori rappresentabili da paraboloidi iperbolici sarebbe:

fzMembre = Add_OR(fzDejaMembre, Multiply_AND(fzConnaitOrchidees, fzOrchideesAmis))

Aggiungi OR
(paraboloide iperbolico)
Moltiplicare AND
(paraboloide iperbolico)

ImplementazionefzMembre = fzDejaMembre + (fzConnaitOrchidees*fzOrchideesAmis) - (fzDejaMembre*fzConnaitOrchidees*fzOrchideesAmis) pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0.778 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.7 pour fzDejaMembre=0.7, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0.916 (ce qui est sûrement trop élevé) pour fzDejaMembre=0.916, fzConnaitOrchidees=0.8 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0,97648 (ce qui est instable et sûrement beaucoup trop élevé) pour fzDejaMembre=0,97648, fzConnaitOrchidees=0.5 et fzOrchideesAmis=0.9, on trouve 0. 987 064 (une augmentation bien malvenue) Convergenza - Revisione delle soluzioni presentate

I tre metodi discussi sopra convergono quando i valori di input sono booleani:

pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=0 (faux) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on trouve 0 (faux) pour fzDejaMembre=0 (faux), fzConnaitOrchidees=1 (vrai) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on trouve 1 (vrai) pour fzDejaMembre=1 (vrai), fzConnaitOrchidees=1 (vrai) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on retrouve 1 (vrai) pour fzDejaMembre=1 (vrai), fzConnaitOrchidees=0 (faux) et fzOrchideesAmis=1 (vrai), on conserve 1 (vrai)

L'operatore coinvolge

Definizione

Per l'esempio dell'orchidea sopra, una situazione normale è che conoscere le orchidee implica l' appartenenza a un gruppo. Vale a dire, più precisamente, che non si possono conoscere le orchidee e , allo stesso tempo, non far parte del gruppo degli amici dei fiori .

fzImpliqueOk = NOT(AND(fzConnaitOrchidees, NOT(fzMembre)))

Proprio come abbiamo visto sopra diversi modi per implementare gli operatori OR e AND, ci sono anche diversi modi per implementare la nozione di implicazione.

fzImpliqueOk = Bool_IMPLIES(fzConnaitOrchidees, fzMembre) fzImpliqueOk = Zadeh_IMPLIES(fzConnaitOrchidees, fzMembre) fzImpliqueOk = HypPar_IMPLIES(fzConnaitOrchidees, fzMembre)

IMPLICAZIONI booleane
Zadeh IMPLICITA
Paraboloide iperbolico
IMPLICA

Implementazione

Gli operatori di cui sopra verranno implementati rispettivamente in questo modo:

fzImpliqueOk = fzConnaitOrchidees ⇐ fzMembre fzImpliqueOk = 1 - min(fzConnaitOrchidees, (1 - fzMembre)) fzImpliqueOk = 1 - fzConnaitOrchidees + (fzConnaitOrchidees*fzMembre)

in un caso estremo ma normale , con fzKnownOrchids = 0.8 e fzMember = 0.995, i valori trovati saranno rispettivamente:

1 (true) 0.995 (Zadeh) 0.996 (Hyperbolic Paraboloid)

in un caso considerato normale , con fzKnownOrchids = 0.8 e fzMember = 0.72, i valori riscontrati saranno rispettivamente:

0 (false) (la personne est moins membre qu'elle ne connait) 0.72 (Zadeh) 0.776 (Hyperbolic Paraboloid)

in un altro caso che rimane normale , la persona può essere anche membro degli amici dei fiori per via del suo amore per i tulipani, con fzKnownOrchids = 0,66 e fzMember = 0,72, i valori trovati saranno rispettivamente:

1 (true)(la personne est plus membre qu'elle ne connait) 0.72 (Zadeh) 0.772 (Hyperbolic Paraboloid)

in un caso piuttosto dubbio , con fzKnownOrchids = 0.5 e fzMember = 0.5, i valori riscontrati saranno rispettivamente:

1 (true) 0.5 (Zadeh) 0.75 (Hyperbolic Paraboloid)

in un caso anomalo , con fzKnownOrchids = 0.8 e fzMember = 0.3, i valori riscontrati saranno rispettivamente:

0 (false) 0.3 (Zadeh) 0.44 (Hyperbolic Paraboloid)

in un caso anomalo ed estremo, con fzKnownOrchids = 0.8 e fzMember = 0.005, i valori riscontrati saranno rispettivamente:

0 (false) 0.2 (Zadeh) 0.204 (Hyperbolic Paraboloid) Uso pratico

Un'applicazione informatica che mirerebbe ad offrire ad un operatore umano il trattamento di casi anomali partendo da quelli più sospetti utilizzerebbe i valori sopra indicati in grassetto ed ottenuti con il metodo identificato come Paraboloide Iperbolico , che risulta particolarmente discriminante.

Non è sicuro che questa applicazione sia di interesse per gli amici dei fiori . Comprensibile invece l'interesse per un servizio di medicina preventiva (o anche per un fioraio). Quando il numero degli esami di casi sospetti deve essere limitato (ad esempio per ragioni di tempo, costo, pericolosità, ecc.) , può rivelarsi utile una preclassificazione intelligente basata se non su una teoria indiscussa, almeno su una tecnologia operativa .

Rappresentazione grafica

L'articolo commons: Fuzzy operator fornisce molte rappresentazioni grafiche di alcune possibili implementazioni di operatori fuzzy. Troveremo di seguito, a titolo esemplificativo, la rappresentazione di otto diverse implementazioni di un'operazione che mirerebbe a valutare la simultaneità di due fatti (giudicati di peso equivalente nelle sei immagini a sinistra ma di peso diverso nelle due immagini. di destra).

zadeh-AND
moltiplicare-AND
yager-AND
mm-PESO-OR-AND

zadeh-OR
add-OR
yager-OR
mm-PESO-E-OR

Operatori linguistici

Sia v (x è caldo) = 0,8. Possiamo porre v (x è molto caldo) = 0.8² = 0.64 e viceversa v (x è abbastanza caldo) = rac2 (0.8) = 0.89, il che facilita la codifica della conoscenza empirica.

Comando sfocato

Una volta valutato il valore dell'ingresso (“La velocità è alta?”), è possibile determinare un valore per una funzione di uscita. Considera la regola "Se la febbre è alta, somministra l'aspirina". Tale regola è chiamata controllo fuzzy . È composto da due parti:

Una voce: "La febbre è alta? ". Riteniamo che la febbre non sia forte sotto i 38 °C , ed è alta sopra i 40 °C .
Un'uscita: "Amministrare l'aspirina"

Queste due parti sono collegate. Possono essere rappresentati insieme come in fig. 6.

Fico. 6

Esistono diverse tecniche per determinare il valore dell'output (nell'esempio: la quantità di aspirina da somministrare):

La retta avente la stessa ordinata del punto della curva di partenza avente come ascissa il valore di ingresso interseca la curva di uscita. L'ascissa di questo punto di intersezione è un possibile valore di output (fig. 7).

Fico. 7

La retta avente la stessa ordinata del punto della curva di partenza avente per ascissa il valore dell'ingresso delimita un trapezio a livello dell'uscita. Il baricentro di questo trapezio è anche un possibile valore di uscita (fig. 8).

Fico. 8

Limiti e critiche alla teoria

Carenze come teoria?

C'è un'opinione che dice che “La teoria degli insiemi fuzzy ha la particolarità di non avere teoremi da proporre. Vale a dire che se può rendere dei servizi tecnici, non può per tutti pretendere alcuno statuto di scienza, e ancor meno di teoria”.

Infatti, è stata formalizzata la logica fuzzy e un teorema (elementare, comunque) mostra che nel caso particolare in cui le proposizioni elaborate non sono fuzzy, la logica fuzzy si riduce alla logica classica.

Nel suo lavoro Rational Decisions in Uncertainty , Myron Tribus ricorda che il teorema di Cox-Jaynes mostra da un lato che possiamo rappresentare uno stato di conoscenza incerta con una probabilità, e dall'altro che qualsiasi mezzo utilizzato per prendere decisioni sarà isomorfo alla teoria della probabilità o inconsistente. La conoscenza sfocata non è propriamente una conoscenza incerta : possiamo per esempio sapere con precisione che un uomo è alto 1,74 m . Tuttavia, ciò che non è chiaro è se sarà considerato "grande" o "piccolo".

Viceversa , dire: "l'età di questa persona è vicina ai 30 anni" rappresenta una stima vaga dell'età effettiva della persona, che è per parte sua molto precisa. L'imprecisione riguarda la stima stessa e non l'età effettiva.

Potremmo anche dire: "l'età di questa persona è compresa tra i 27 ei 33 anni, con una probabilità di 0,8". Anche in questo caso, la probabilità misura uno stato di conoscenza dell'osservatore e non una caratteristica di ciò che si osserva.

Jim Bezdek distingue da parte sua probabilità e imprecisione: “Siamo in un deserto, dopo giorni di vagabondaggio… Quasi morti di sete, troviamo poi due bottiglie piene di un liquido. Sulla bottiglia A, un'etichetta dice " Bevibile con un grado di 0,9", e sulla bottiglia B, l'etichetta dice "Bevibile con una probabilità di 0,9". Quale di queste due bottiglie dovremmo scegliere? ". Se traduciamo le indicazioni delle etichette, togliamo che bevendo la bottiglia A, possiamo cavarcela con gli unici rischi, alcuni problemi intestinali non fatali... D'altra parte, bevendo la bottiglia B, ci sono un non- probabilità trascurabile (10% di probabilità) che il liquido possa essere molto nocivo (acido…) e assolutamente non potabile.

Una teoria delle possibilità è stata introdotta (anche da Lotfi Zadeh nel 1978) per consentire la considerazione combinata dell'imprecisione e dell'incertezza nella conoscenza.

La logica fuzzy non è l'unica a parlare di incertezza

La logica modale è stata introdotta da Aristotele , e poi continuata da Leibniz e dai ricercatori contemporanei per riflettere le menomazioni o le asserzioni dei miglioramenti presenti nei linguaggi naturali, concentrandosi ad esempio sui rapporti di vero, falso, necessario e possibile.

La teoria della complessità algoritmica (o complessità di Kolmogorov ) è anche un metodo più o meno rigoroso per considerare la difficoltà di dare la descrizione precisa di una cosa (X può apparire più complesso di Y per una macchina A e meno complesso di Y per una macchina B, ad esempio un computer quantistico, è quindi una complessità relativa ad una data macchina di riferimento .

Infine, le probabilità bayesiane utilizzate in un futuro incerto utilizzano approcci simili a quelli della logica fuzzy, ma questa volta senza alcuna arbitrarietà: le distribuzioni di probabilità a priori devono essere quella della massima entropia...

Note e riferimenti

Novák, V. , Perfilieva, I. e Močkoř, J. , Principi matematici della logica fuzzy , Dordrecht, Kluwer Academic,1999, 320 pag. ( ISBN 978-0-7923-8595-0 , leggi online )
Sistema Zadeh che può essere considerato ispirato a Lukasiewicz
scrittura di luce: a rigor di termini, dobbiamo distinguere la dichiarazione A e il suo grado di verità v (A), e scrivere v (A o B) = max (v (A), v (B))
in uno stile vicino a George Boole (1854), o Vallée che chiama questa composizione produel nella sua Analisi binaria ; a volte visto anche come probabilistico

Vedi anche

Godjevac J., Idee sulla logica fuzzy , PPUR: Lausanne, collection informatique, 1999, 128p., ( ISBN 2-88074-378-8 ) . Prade H., Dubois D. & al., Teoria delle possibilità: applicazioni alla rappresentazione della conoscenza in informatica , coll. (Metodo + programmi), Masson: Paris, 1985.