In logica, la congiunzione è un'operazione implementata dal connettore binario e . Il connettore ed è quindi un operatore binario che collega due proposizioni per crearne un'altra. Se ammettiamo ciascuna delle due proposizioni, allora ammetteremo la proposizione che è la sua congiunzione. Nella logica matematica , il connettore di congiunzione è indicato con & o ∧.
Nella teoria della dimostrazione , più particolarmente nel calcolo delle successioni , la congiunzione è governata da regole di introduzione e regole di eliminazione .
Nella logica classica , l'interpretazione del connettore ∧ può essere fatta da una tabella di verità , dove F denota il falso e V denota il vero:
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| F | F | F |
| F | V | F |
| V | F | F |
| V | V | V |
Siano P , Q e R tre proposizioni.
Nella logica, abbiamo le seguenti proprietà:
Idempotenza di "e" ( P ∧ P ) ⇔ P Commutatività del "e" ( P ∧ Q ) ⇔ ( Q ∧ P ) Associatività di "e" (( P ∧ Q ) ∧ R ) ⇔ ( P ∧ ( Q ∧ R )) Distributività di "o" rispetto a "e" ( P ∨ ( Q ∧ R )) ⇒ (( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R )) Distributività di "e" rispetto a "o" (( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R )) ⇒ ( P ∧ ( Q ∨ R )) La disgiunzione delle negazioni implica la negazione di una congiunzione ((¬ P ) ∨ (¬ Q )) ⇒ ¬ ( P ∧ Q ) La negazione di una disgiunzione implica la congiunzione di negazioni ¬ ( P ∨ Q ) ⇒ ((¬ P ) ∧ (¬ Q )) Legge di non contraddizione, P ∧ (¬ P ) ⇔ F Modus ponens ( P ∧ ( P ⇒ Q )) ⇒ QInoltre, nella logica classica :
La negazione di una congiunzione implica la disgiunzione delle negazioni ¬ ( P ∧ Q ) ⇒ ((¬ P ) ∨ (¬ Q )) La congiunzione delle negazioni implica la negazione di una disgiunzione ((¬ P ) ∧ (¬ Q )) ⇒ ¬ ( P ∨ Q ) Distributività di "o" rispetto a "e" (( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R )) ⇒ ( P ∨ ( Q ∧ R )) Distributività di "e" rispetto a "o" ( P ∧ ( Q ∨ R )) ⇒ (( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R ))Possiamo vedere la quantificazione universale come una generalizzazione della congiunzione.