In matematica , il gruppo lineare generale - o gruppo lineare - grado n di un campo commutativo K (o più in generale: un anello commutativo unitale ) è il gruppo di matrici n × n invertibili con coefficienti in K , fornito con la moltiplicazione della matrice. Lo denotiamo GL n ( K ), o GL n (qui GL ( n , K )). Questi gruppi sono importanti nella teoria delle rappresentazioni di gruppo e compaiono quando si studiano simmetrie e polinomi .
GL ( n , K ) e i suoi sottogruppi sono spesso indicati come "gruppi lineari" o "gruppi di matrici". Il gruppo speciale lineare , indicato con SL ( n , K ) e costituito dalle matrici del determinante 1, è un normale sottogruppo di GL ( n , K ).
Per commutativa Unital anello R , GL ( n , R ) è un gruppo per la moltiplicazione matriciale: il gruppo di unità delle schiere anello n × n con coefficienti a R .
Se n ≥ 2, GL ( n , R ) non è abeliano (tranne ovviamente se R è zero ).
Per ogni campo commutativo K , GL ( n , K ) è generato dalle matrici elementari di transvezioni e dilatazioni (perché le trasvezioni generano lo speciale gruppo lineare ).
Se E è uno spazio vettoriale sul campo K , chiamiamo gruppo lineare generale di E e indichiamo con GL ( E ) o Aut ( E ), il gruppo di automorfismi di E dotato della composizione delle mappe .
Se E è di dimensione n , allora GL ( E ) e GL ( n , K ) sono isomorfi . Questo isomorfismo non è canonica e dipende dalla scelta di una base di E . Una volta scelta questa base, qualsiasi automorfismo di E può essere rappresentato da una matrice invertibile n × n che determina l'isomorfismo.
Se il campo K è ℝ ( numeri reali ) o ℂ ( numeri complessi ), allora GL ( n, K ) è un gruppo di Lie reale o complesso di dimensione n 2 . Infatti, GL ( n ) è costituito da matrici con determinante diverso da zero. Essendo il determinante una mappa continua (e persino polinomiale), GL ( n ) è un sottoinsieme aperto non vuoto della varietà M ( n ) di matrici n × n , ma questa varietà è di dimensione n 2 .
L' algebra di Lie associata a GL ( n ) è M ( n ).
GL ( n ) è denso in M ( n ).
GL ( n , ℂ) è connesso ma non semplicemente connesso : il suo gruppo fondamentale è infinito monogeneo .
GL ( n , ℝ) ha due componenti connesse : le matrici del determinante positivo e quelle del determinante negativo. Le matrici reali n × n di determinante positivo formano un sottogruppo di GL ( n , ℝ), indicato con GL + ( n , ℝ). Anche quest'ultimo è un gruppo di Lie di dimensione n 2 e ha la stessa algebra di Lie di GL ( n , ℝ). Il suo gruppo fondamentale è monogenico: banale per n = 1, infinito per n = 2 e di ordine 2 per n > 2.
Se K è un campo finito con q elementi, allora a volte scriviamo GL ( n , q ) invece di GL ( n , K ). È un gruppo finito di ordine ( q n - 1) ( q n - q ) ( q n - q 2 )… ( q n - q n –1 ), che può essere dimostrato contando le basi di uno spazio vettoriale finito .
Lo speciale gruppo lineare di ordine n sull'anello commutativo R , indicato con SL ( n , R ), è costituito da matrici di determinante 1.
Questo è un normale sottogruppo di GL ( n , R ), poiché è il nucleo del gruppo morfismo "determinante", GL ( n , R ) nel gruppo moltiplicativo R × degli elementi invertibili di R . Secondo il primo teorema dell'isomorfismo , il gruppo quoziente GL ( n , R ) / SL ( n , R ) è isomorfo a R × . Infatti, GL ( n , R ) è un prodotto semidiretto di SL ( n , R ) per R × : GL ( n , R ) = SL ( n , R ) ⋊ R × .
Per un campo K , SL ( n , K ) è generato dalle matrici di trasvezione elementari.
SL ( n, K ) è il gruppo derivato da GL ( n, K ), tranne se n = 2 e K = F 2 .
DimostrazioneOgni commutatore [ u, v ] = u −1 v −1 uv di due elementi di GL ( n, K ) ha determinante 1, quindi D (GL ( n, K )) ⊂ SL ( n, K ). Per dimostrare l'inclusione reciproca, è sufficiente mostrare che qualsiasi trasvezione diversa dall'identità (con n ≥ 2) è un commutatore. Poiché sono tutti coniugati , è anche sufficiente mostrarlo per uno di loro.
Tutti i casi sono quindi coperti, per la maggior parte in diversi modi. Per quanto riguarda il gruppo GL (2, F 2 ) = SL (2, F 2 ), è isomorfo al gruppo simmetrico S 3 , il cui gruppo derivato è il gruppo alternato A 3 .
Le stesse tecniche permettono di dimostrare che tutti i gruppi SL ( n, K ) sono perfetti , tranne SL (2, F 2 ) e SL (2, F 3 ).
Quando K è ℝ o ℂ, SL ( n ) è un sottogruppo di Lie di GL ( n ) di dimensione n 2 -1. L' algebra di Lie di SL ( n ) è formata da n × n matrici con coefficienti reali o complessi di traccia zero.
Il gruppo lineare speciale SL ( n , ℝ) può essere visto come il gruppo di trasformazioni lineari di ℝ n che preserva volume e orientamento.
Il gruppo proiettivo lineare (en) PGL ( E ) di uno spazio vettoriale E su un campo commutativo K è il gruppo quoziente GL ( E ) / Z ( E ), dove Z ( E ) è il centro di GL ( E ), che vale a dire, il sottogruppo costituito da dilatazioni non nulle. Il gruppo proiettivo speciale lineare PSL ( E ) di uno spazio di dimensione finita E è il gruppo quoziente di SL ( E ) per il suo centro SZ ( E ), cioè dal sottogruppo formato dall'omotetia del determinante 1. Se E = K n , sono indicati rispettivamente PGL ( n, K ) e PSL ( n, K ). Il gruppo proiettivo speciale lineare PSL ( n , F q ) di un campo finito F q è talvolta indicato con L n ( q ) .
Questa denominazione di "gruppo proiettivo" deriva dalla geometria proiettiva , dove il gruppo proiettivo che agisce sulle coordinate omogenee ( x 0 : x 1 :…: x n ) è il gruppo sottostante di questa geometria (di conseguenza, il gruppo PGL ( n +1 , K ) agisce sullo spazio proiettivo di dimensione n ). Il gruppo proiettivo lineare quindi generalizza il gruppo PGL (2) delle trasformazioni di Möbius , a volte chiamato il gruppo di Möbius.
Tutti i gruppi PSL ( n, K ) per n ≥ 2 sono semplici , tranne PSL (2, F 2 ) e PSL (2, F 3 ).
Una matrice quadrata con coefficienti in un anello commutativo R è invertibile (cioè ha una matrice inversa anche con coefficienti in R ) se e solo se il suo determinante è invertibile in R (se R non è un campo non è quindi sufficiente che il determinante non è zero). Gli elementi di GL ( n , ℤ) sono quindi matrici n × n con coefficienti interi con determinante uguale a 1 o –1. Il gruppo modulare è il gruppo PSL (2, ℤ).
L'insieme di matrici diagonali con determinante diverso da zero forma un sottogruppo di GL ( n , K ) isomorfo a ( K × ) n . È generato dalle dilatazioni.
Una matrice scalare è una matrice omotetia, vale a dire una matrice diagonale che è il prodotto della matrice identità per una costante. L'insieme di matrici scalari diverse da zero, a volte denotate da Z ( n , K ), forma un sottogruppo di GL ( n , K ) isomorfo a K × . Questo gruppo è il centro di GL ( n , K ). È quindi normale in GL ( n , K ) e abeliano.
Il centro di SL ( n , K ), indicato con SZ ( n , K ), è semplicemente l'insieme delle matrici scalari del determinante 1. È isomorfo al gruppo delle radici n-esime di 1 .
Gruppi convenzionale GL sono sottogruppi ( E ), che conservano una porzione del prodotto interno su E . Per esempio :
Questi gruppi sono esempi importanti di gruppi di Lie.
Il gruppo lineare generale "infinito" o "stabile" di un anello unitario A è il limite induttivo della sequenza di GL ( n , A ), per inclusioni da blocchi in alto a sinistra:
Lo denotiamo GL ( A ) o GL ( ∞ , A ). Possiamo vedere i suoi elementi come matrici infinite invertibili che differiscono dalla matrice identità (infinita) solo per un numero finito dei loro coefficienti. Il lemma di Whitehead calcola il suo gruppo derivato.