Gruppo modulare

In matematica , chiamiamo gruppo modulare il gruppo PSL (2, ℤ), quoziente del gruppo lineare speciale SL (2, ℤ) per il suo centro { Id , –Id}. Si identifica con l'immagine di SL (2, ℤ) nel gruppo di Lie PGL (2, ℝ) . Spesso lo denotiamo Γ (1) o semplicemente Γ.

Azione sul semipiano di Poincaré

Questo nome deriva dall'azione sinistra e fedele di Γ (1) da omografie sul semipiano di Poincaré ℋ di numeri complessi di parte immaginaria strettamente positiva.

Questa azione è solo la restrizione dell'azione di PGL (2, ℂ) sulla retta proiettiva complessa P 1 (ℂ) = ℂ ∪ { $\infty$ }: la matrice agisce su P 1 (ℂ) dalla trasformazione di Möbius che invia $z$ su . In coordinate omogenee , [ z : t ] viene inviato a [ az + bt : cz + dt ]. $\ left ({\ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix}} \ right)$ ${\ frac {az + b} {cz + d}}$

Poiché il gruppo PGL (2, ℝ) stabilizza la retta proiettiva reale P 1 (ℝ) = ℝ ∪ { $\infty$ } di P 1 (ℂ), questo gruppo stabilizza anche il complemento. Poiché PGL (2, ℝ) è inoltre connesso , stabilizza anche ciascuna delle due componenti di P 1 (ℂ) \ P 1 (ℝ) , in particolare ℋ. È quindi lo stesso per il sottogruppo modulare Γ (1).

Azione sul disco di Poincaré

Il gruppo PSU (1, 1) agisce per omografie sul disco di Poincaré, per isometrie dirette; tuttavia, il gruppo PSU (1, 1) è isomorfo al gruppo PSL (2, ℝ), quindi quest'ultimo agisce sul disco di Poincaré.

Ricordiamo che il gruppo speciale unitario SU (1, 1) è l'insieme degli elementi di SL (2, ℂ) che lascia invariante una forma di firma Hermitiana (1,1); SU (1, 1) può essere visto come l'insieme di matrici in cui $α$ e $β$ sono numeri complessi che soddisfano la relazione $α$ 2 - $β$ 2 = 1. $\ left ({\ begin {matrix} \ alpha & \ beta \\\ overline {\ beta} & \ overline {\ alpha} \ end {matrix}} \ right)$

La curva modulare

Il quoziente del semipiano di Poincaré dal gruppo modulare è la superficie di Riemann Γ \ ℋ ("Gamma sotto H"), spesso notata - che secondo le convenzioni può essere considerata un abuso di notazione - ℋ / Γ ("H su Gamma ").

Questa superficie di Riemann è spesso chiamata curva modulare , perché parametrizza le classi di isomorfismo di curve ellittiche complesse. Infatti questa curva modulare è la retta complessa ℂ. Ogni complesso curva ellittica E corrisponde a un numero complesso, un j -invariant , indicato j ( E ) o j E . Questo numero caratterizza la curva ellittica E fino all'isomorfismo. Si dice che sia il suo modulo.

Ad ogni punto $τ$ del semipiano di Poincaré associamo il quoziente toro E $τ$ = ℂ / (ℤ + $τ$ ℤ). È una curva ellittica. Possiamo quindi considerare il suo modulo j ( E $τ$ ). Si ottiene così una funzione a valori complessi definita su ℋ: è la j -invariant. È una funzione olomorfa su ℋ. Poiché E $τ$ dipende solo dalla rete ℤ + $τ$ ℤ, la funzione è costante sulle orbite di Γ: diciamo che commuta sull'azione di Γ. Quindi la funzione j induce passando al quoziente una mappa di Γ \ ℋ in ℂ. Questa mappa è biiettiva e biolomorfa, il che giustifica il nome di curva modulare data al quoziente Γ \ ℋ.

Presentazione del gruppo modulare

Il gruppo modulare è generato dalle due trasformazioni

S: z \ mapsto -1 / z {\ text {e}} T: z \ mapsto z + 1.

S è l' inversione rispetto al cerchio unitario, seguita dalla riflessione rispetto alla retta Re ( z ) = 0 e
T agisce traducendo un'unità a destra.

È lo stesso dire che Γ è generato dagli elementi S (di ordine 2) e U = TS (di ordine 3, che agisce per z ↦ 1 - 1 / z ). In particolare, i due rapporti S 2 = 1 e U 3 = 1 generare tutti i rapporti tra S e U . Diciamo quindi che abbiamo due presentazioni del gruppo modulare, dato da generatori e relazioni, della forma

\ Gamma \ simeq \ langle S, U \ mid S ^ {2}, U ^ {3} \ rangle \ simeq \ langle S, T \ mid S ^ {2}, (TS) ^ {3} \ rangle.

I mezzi formula precedente che qualsiasi elemento di Γ è scritta unicamente come prodotto di S , U e U 2 , in cui i fattori U e U 2 sono ancora separati da fattori S . Diciamo anche che il gruppo modulare è il prodotto libero del sottogruppo generato da S (isomorfo al gruppo ciclico C 2 di ordine 2) dal sottogruppo generato da U (isomorfo al gruppo ciclico C 3 di ordine 3):

\ Gamma \ cong C_ {2} * C_ {3}.

Dimostrazione

Indichiamo con le stesse lettere "le" matrici (entro ±) rappresentative di S e T :

S = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad T = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}

e mostra per induzione su c che qualsiasi matrice

A = {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ in {{\ rm {SL}}} (2, \ mathbb {Z}) {\ text {with}} c \ geq 0

è (vicino a ±) generato da S e T .

Se c = 0, allora 1 = ad - bc = annuncio quindi a = d = ± 1 e A è entro ± vicino, una potenza T . Se c > 0, assumete che la proprietà sia vera fino a c - 1 e mostratela per c . Sia a = cq + r la divisione euclidea di a per c . Allora, 0 ≤ r < c e

ST ^ {{- q}} A = {\ begin {pmatrix} -c & -d \\ r & b-qd \ end {pmatrix}}

quindi per ipotesi di induzione, ST –q A è (entro ±) generato da S e T , così che anche A.

Nel gruppo Γ, il sottogruppo generato da 〈S〉 = C 2 e 〈U〉 = C 3 è quindi uguale all'intero gruppo. Per dimostrare che è il prodotto libero di 〈S〉 e 〈U〉, è sufficiente applicare la stessa tecnica del lemma ping-pong (en) a

X_ {1} =] 0, + \ infty [{\ text {and}} X_ {2} =] - \ infty, 0 [,

usando che S ( X 1 ) ⊂ X 2 e U ( X 2 ), U 2 ( X 2 ) ⊂ X 1 .

Vedi anche

link esterno

Frédéric Paulin, “ Gruppo modulare, frazioni continue e approssimazione diofantea nella caratteristica p ”, Geom. Dedicata , vol. 95,2002, p. 65-85 ( leggi online [ps] )
(en) Gilles Lachaud, "Frazioni continue, forme quadratiche binarie, campi quadratici e funzioni zeta" , in Algebra and Topology 1988 , Taejon , Korea Inst. Tech. ,1988( leggi in linea ) , p. 1-56