Connettività semplice
Nella topologia generale e nella topologia algebrica , la nozione di spazio semplicemente connesso affina quella di connessione : dove uno spazio connesso è solo "un pezzo", uno spazio semplicemente connesso non è più "buco" o "maniglia".
Lo formalizziamo dicendo che qualsiasi pizzo disegnato in uno spazio semplicemente connesso deve poter essere ridotto in modo continuo (cioè per omotopia ) in un punto.
Definizione
Se X è uno spazio topologico connesso da archi , diciamo che è semplicemente connesso se qualsiasi loop disegnato su X è omotopico in un punto.
Intuitivamente, possiamo tirare il laccio per restringerlo fino a formare solo un punto, non ci sono ostacoli (cioè buco).
Parliamo anche di parti semplicemente connesse; una parte di uno spazio topologico si dice semplicemente connessa se, fornita della topologia indotta , costituisce uno spazio topologico semplicemente connesso.
Formulazioni equivalenti :
- Indichiamo il cerchio unitario e il disco unitario. Uno spazio topologico X connesso da archi è semplicemente connesso se e solo se una qualsiasi funzione iniettiva continua può essere esteso in una funzione continua . In altre parole, qualsiasi incorporamento di un cerchio in X può essere esteso a un'incorporazione del disco.
- Uno spazio topologico connesso da archi è semplicemente connesso se e solo se due cammini arbitrari p , q : [0, 1] → X tracciati su X sono omotopici.
- Uno spazio topologico connesso da archi è semplicemente connesso se e solo se il suo gruppo fondamentale è banale , cioè ridotto all'elemento neutro.
Esempi
Sono semplicemente correlati:
- qualsiasi spazio contrattile , ad esempio qualsiasi parte convessa (o anche solo stella ) non vuota di uno spazio vettoriale normalizzato su sur;
- più in generale, qualsiasi spazio omotopicamente equivalente a uno spazio semplicemente connesso;
- la sfera S n per n ≥ 2;
- qualsiasi prodotto di spazi semplicemente connessi, come (ℝ n +1 ) * ≃ S n × ℝ + * per n ≥ 2;
- il gruppo speciale unitario SU ( n );
- l' insieme di Mandelbrot ;
- il cerchio polacco (che è collegato da un arco ma non connesso localmente).
Non sono solo correlati:
- ℝ * e più in generale (per definizione) qualsiasi spazio non connesso da archi;
- il cerchio S 1 ;
- il prodotto di qualsiasi spazio per S 1 , come l'insieme ℂ * ≃ S 1 × ℝ + * di numeri complessi diversi da zero o il toro T n = ( S 1 ) n ;
- più in generale, qualsiasi toro di applicazione , come la striscia di Möbius o la bottiglia di Klein ;
- il gruppo ortogonale speciale SO ( n ) se n ≥ 2.
Proprietà
- Qualsiasi copertura di uno spazio che sia semplicemente connesso e connesso localmente da archi è una copertura banale.
- Il cerchio polacco ha un rivestimento di grado 2 non banale.
- Qualsiasi copertura semplicemente connessa e collegata localmente dagli archi di uno spazio è una copertura universale .
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Proprietà di resezione omotopia (en) . Qualsiasi mappa continua f di uno spazio X semplicemente connesso nella base B di una copertura π : Y → B , è sollevata, cioè esiste una mappa continua g : X → Y tale che f = π o g .
Il caso speciale X = [0, 1] è la proprietà portante dei percorsi.
Generalizzazioni
Uno spazio è semplicemente connesso localmente quando un punto qualsiasi ammette una base di quartieri semplicemente connessi. Gli spazi contrattili localmente sono semplicemente collegati localmente.
Uno spazio è detto semi-localmente semplicemente connesso (a) (da archi) se ogni punto ha un intorno U dove ogni ciclo contenuta nel U , può essere deformato in un punto X .