Funzione armonica

In matematica , una funzione armonica è una funzione che soddisfa l'equazione di Laplace .

Un problema classico delle funzioni armoniche è il problema di Dirichlet  : data una funzione continua definita sul confine di un aperto , possiamo estenderla con una funzione armonica in qualsiasi punto dell'apertura?

Definizione

Sia U un insieme aperto di ℝ n . Una mappa due volte differenziabili f  : U → ℝ è detta armonica su U se

∂2f∂X12+∂2f∂X22+⋯+∂2f∂Xnon2=0{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {2} ^ { 2}}} + \ cdots + {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {n} ^ {2}}} = 0}

∇2f=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = 0}

oppure (dove la lettera greca maiuscola delta rappresenta l' operatore laplaciano ):

Δf=0{\ displaystyle \ Delta f = 0}

Tale funzione è automaticamente di classe C ∞ .

Funzione armonica su ℂ

Identificando ℂ con ℝ 2 , vedremo che le funzioni armoniche sono molto legate alle funzioni olomorfe .

• La parte reale di una funzione olomorfa o antiolomorfa su un insieme aperto di ℂ è armonica.

Il contrario di questa proprietà è falso, d'altra parte abbiamo:

• Sia Ω un insieme aperto di ℂ semplicemente connesso ; qualsiasi funzione armonica su Ω è la parte reale di una funzione olomorfa su Ω.

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