Polo (matematica)
Nell'analisi complessa , un polo di una funzione olomorfa è un tipo di singolarità isolata che si comporta come la singolarità in z = 0 della funzione , dove n è un intero naturale diverso da zero.
z∈VS*↦z-non∈VS{\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {*} \ mapsto z ^ {- n} \ in \ mathbb {C}}
Una funzione olomorfa che ha solo singolarità isolate che sono poli è chiamata funzione meromorfa .
Definizione e proprietà
Sia U un piano aperto del piano complesso , ha un elemento di U e una funzione olomorfa . Diciamo che a è un polo di f (o che f ammette un polo in a ) se esiste una funzione olomorfa g su un intorno V ⊂ U di a tale che e un intero n ≥ 1 tale che per ogni z in V \ { a } abbiamo
f:tu∖{a}→VS{\ displaystyle f: U \ setminus \ {a \} \ a \ mathbb {C}}g(a)≠0{\ displaystyle g (a) \ neq 0}
f(z)=g(z)(z-a)non{\ displaystyle f (z) = {\ frac {g (z)} {(za) ^ {n}}}}.
Tale scrittura è allora unica e l'intero n è detto ordine del polo . Un polo di ordine 1 è talvolta chiamato polo semplice .
Un polo di f è un punto in cui | f | tende all'infinito.
Point un è un polo di f se (e solo se) nella zona di un , f è illimitata e 1 / f è delimitata.
Esempi e controesempi
f(z)=3z{\ displaystyle f (z) = {\ frac {3} {z}}}
ha un polo di ordine 1 (o polo semplice) in .
z=0{\ stile di visualizzazione z = 0}
f(z)=z+2(z-5)2(z+7)3{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z + 2} {(z-5) ^ {2} (z + 7) ^ {3}}}}
ha un polo di ordine 2 in e un polo di ordine 3 .
z=5{\ stile di visualizzazione z = 5}z=-7{\ stile di visualizzazione z = -7}
f(z)=peccatozz3{\ displaystyle f (z) = {\ frac {\ sin z} {z ^ {3}}}}
ha un polo di ordine 2 in , perché è
equivalente a nell'intorno di (questo è mostrato ad esempio utilizzando la
serie di
Taylor della funzione seno all'origine).
z=0{\ stile di visualizzazione z = 0}peccatoz{\ displaystyle \ sin z}z{\ stile di visualizzazione z}z=0{\ stile di visualizzazione z = 0}
- Contrariamente alle apparenze, la funzione
f(z)=peccatozz{\ displaystyle f (z) = {\ frac {\ sin z} {z}}}
non ammette polo in , perché in ragione dell'equivalente evocato nell'esempio precedente, è equivalente a 1 nell'intorno di . In particolare, rimane delimitata in prossimità dell'origine, quindi non è un polo di . Possiamo quindi estendere in una funzione olomorfa sul tutto. Diciamo che è una
singolarità cancellabile di .
z=0{\ stile di visualizzazione z = 0}f(z){\ stile di visualizzazione f (z)}z=0{\ stile di visualizzazione z = 0}f{\ stile di visualizzazione f}z=0{\ stile di visualizzazione z = 0}f{\ stile di visualizzazione f}f{\ stile di visualizzazione f}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=0{\ stile di visualizzazione z = 0}f{\ stile di visualizzazione f}
f(z)=esp(1z){\ displaystyle f (z) = \ exp \ sinistra ({\ frac {1} {z}} \ destra)}
non ammette un palo in . Infatti e sono entrambi illimitati nelle vicinanze di . Si parla allora di
singolarità essenziale e non più di polo.
z=0{\ stile di visualizzazione z = 0}f{\ stile di visualizzazione f}1/f{\ stile di visualizzazione 1 / f}z=0{\ stile di visualizzazione z = 0}
Vedi anche
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