Parseval uguaglianza

L' uguaglianza Parseval a volte chiamata teorema di Parseval o relazione Parseval è una formula di base della teoria delle serie di Fourier . Lo dobbiamo alla francese matematico di Marc-Antoine Parseval des Chênes ( 1755 - 1836 ).

Viene anche chiamata Rayleigh Identity dal nome del fisico John William Strutt Rayleigh , Premio Nobel per la fisica 1904 .

Questa formula può essere interpretata come una generalizzazione del teorema di Pitagora per le serie negli spazi di Hilbert .

In molte applicazioni fisiche (ad esempio corrente elettrica), questa formula può essere interpretata come segue: l' energia totale si ottiene sommando i contributi delle diverse armoniche .

L'energia totale di un segnale non dipende dalla rappresentazione scelta: frequenza o tempo.

E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | x (t) | ^ 2 ~ \ mathrm dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | X (f) | ^ 2 ~ \ mathrm df.

Disuguaglianza di Bessel

Il seguente teorema è dimostrato nell'articolo dettagliato.

Sia una famiglia ortonormale di uno spazio prehilbertiano . ${\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $H$

Per ogni vettore , la disuguaglianza di Bessel afferma la sommabilità della seguente famiglia e del limite superiore: ${\ displaystyle x \ in H}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ left | \ langle e_ {i} | x \ rangle \ right | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}}$ ,il che significa che l'insieme di termini diversi da zero è al massimo numerabile e costituisce una serie assolutamente convergente , di somma aumentata di . ${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2}}$
Se e solo se è nell'adesione dello spazio vettoriale generato dalla famiglia , allora il limite superiore è un'uguaglianza, chiamata "uguaglianza di Parseval". Quindi, la famiglia è una base di Hilbert di se e solo se l'uguaglianza vale per qualsiasi vettore . $X$ ${\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $H$ ${\ displaystyle x \ in H}$

Formula per la serie di Fourier

Sia una funzione T -periodica e di quadrato integrabile su un periodo (vale quindi in particolare per T -periodica e continua per pezzi ). Definiamo i suoi coefficienti di Fourier : $f$ $f$

{\ Displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} n {\ frac {2 \ pi} {T}} t} ~ \ mathrm {d} t}

L'uguaglianza di Parseval afferma la convergenza delle seguenti serie e afferma l'identità:

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ | f \ | ^ {2}}

Se la funzione ha valori reali, possono essere adottate le seguenti convenzioni: $f$

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t = c_ {0}}$ ;
${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ cos {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ ;
${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ sin {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ .

L'uguaglianza di Parseval diventa:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right)}

Attenzione : alcuni autori preferiscono una convenzione per la quale l'espressione di $uno 0$ è anche in 2 / T :

{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t}

La formula di Parseval diventa quindi:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {4}} a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right)}

Applicazioni

Questi risultati si applicano in particolare al caso di uno spazio prehilbertiano di dimensione finita, ad esempio nell'analisi armonica su un gruppo abeliano finito .
Se due funzioni quadrate integrabili f e g hanno lo stesso spettro di frequenza (stessi coefficienti di Fourier), allora i coefficienti di Fourier di f - g sono tutti zero (per linearità) e ║ f - g ║ 2 = 0. Infatti, f e g sono uguali quasi ovunque . Se inoltre f e g sono continua a tratti, f e g sono uguali se non a livello dei punti di discontinuità di f e g .
Quando l'integrale è più facile da calcolare rispetto alla serie, l'uguaglianza di Parseval è un modo per calcolare un certo numero di serie numeriche (si può anche usare l'uguaglianza in un punto tra la funzione e la sua serie di Fourier , data ad esempio dal teorema di Dirichlet ) .
L'uguaglianza di Parseval permette di ottenere la disuguaglianza di Wirtinger tra le norme di una funzione periodica e la sua derivata, quindi la disuguaglianza isoperimetrica classica.

Reciproco: teorema di Riesz-Fischer

Indichiamo con ℓ 2 lo spazio vettoriale delle successioni tali che la serie converge. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$ $\ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ | c_n \ | ^ 2 \$

Il teorema di Riesz-Fischer permette di affermare che tale successione è la successione dei coefficienti di Fourier di una funzione quadrata integrabile, T periodica. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$

Vi è quindi isomorfismo tra gli spazi $L 2$ T delle funzioni quadratiche periodiche integrabili e T e ℓ 2 . La formula di Parseval mostra che è persino un'isometria .

Note e riferimenti

" Capitolo 7: Trasformazione di Fourier " , su ressources.unisciel.fr (accesso 11 agosto 2019 )