Equazione differenziale parziale

In matematica , più precisamente nel calcolo differenziale , un'equazione differenziale parziale (a volte chiamata equazione differenziale parziale e abbreviata in PDE ) è un'equazione differenziale le cui soluzioni sono le funzioni sconosciute che dipendono da diverse variabili che soddisfano determinate condizioni riguardanti le loro derivate parziali .

Una PDE ha spesso moltissime soluzioni, le condizioni sono meno rigorose rispetto al caso di un'equazione differenziale ordinaria con una singola variabile; i problemi spesso includono condizioni al contorno che limitano l' insieme di soluzioni. Mentre gli insiemi di soluzioni di un'equazione differenziale ordinaria sono parametrizzati da uno o più parametri corrispondenti alle condizioni aggiuntive, nel caso delle PDE, le condizioni al contorno sono piuttosto sotto forma di una funzione  ; intuitivamente questo significa che l'insieme di soluzioni è molto più ampio, il che è vero in quasi tutti i problemi.

Le PDE sono onnipresenti nelle scienze poiché compaiono anche nella dinamica strutturale o nella meccanica dei fluidi come nelle teorie della gravitazione , dell'elettromagnetismo ( equazioni di Maxwell ) o della matematica finanziaria ( equazione di Black-Scholes ). Sono essenziali in campi come la simulazione aeronautica , la sintesi di immagini o le previsioni meteorologiche . Infine, anche le equazioni più importanti della relatività generale e della meccanica quantistica sono PDE.

Uno dei sette problemi del Millennium Prize è quello di mostrare l'esistenza e la continuità sui dati originali di un sistema PDE chiamato equazioni di Navier-Stokes .

introduzione

Un'equazione alle derivate parziali molto semplice è:

dove u è una funzione sconosciuta di x e y . Questa equazione implica che i valori u ( x , y ) sono indipendenti da x . Le soluzioni di questa equazione sono:

dove f è una funzione di y .

L'equazione differenziale ordinaria

ha per soluzione:

con c un valore costante (indipendente da x ). Questi due esempi illustrano che in generale, la soluzione di un'equazione differenziale ordinaria implica una costante arbitraria, mentre le equazioni differenziali parziali coinvolgono funzioni arbitrarie. Una soluzione di equazioni alle derivate parziali generalmente non è unica.

Tre importanti categorie di PDE sono le equazioni alle derivate parziali del secondo ordine lineari e omogenee chiamate ellittiche , iperboliche e paraboliche .

Notazioni

In matematica

Per le PDE, per motivi di semplificazione, è consuetudine scrivere u la funzione sconosciuta e D x u (notazione francese) o u x (notazione anglosassone, più diffusa) la sua derivata parziale rispetto a x, cioè con la solita notazioni di calcolo differenziale:

e per le derivate parziali seconde:

In fisica

Vengono utilizzati operatori di analisi vettoriale .

Riepilogo dell'analisi vettoriale L'operatore nabla rappresenta l'insieme delle derivate parziali di ordine 1 Per una funzione vettoriale , applicando il prodotto scalare pari ad esso , si definisce la divergenza  : Utilizzando il prodotto incrociato , definiamo la rotazione Per una funzione che in qualsiasi punto dello spazio associa un numero scalare, definiamo il gradiente : Usiamo anche l' operatore laplaciano , analogo alla divergenza per la derivazione del secondo ordine. vedi anche il vettore operatore laplaciano .  

Esempi di EDP

Equazione di Laplace

L' equazione di Laplace è una PDE di base molto importante:

dove u = u ( x , y , z ) denota la funzione sconosciuta.

È possibile scrivere questa funzione analiticamente in determinate condizioni limite e con una data geometria, ad esempio con coordinate sferiche.

Nella notazione dell'analisi vettoriale, utilizzando l' operatore laplaciano Δ

Cioè , una funzione d'onda.

Equazione di propagazione (o equazione di corde vibranti)

Questa PDE, chiamata equazione di propagazione delle onde , descrive i fenomeni di propagazione delle onde sonore e delle onde elettromagnetiche (compresa la luce). La funzione d'onda sconosciuta è indicata con u (x, y, z, t), t che rappresenta il tempo:

Il numero c rappresenta la celerità o velocità di propagazione dell'onda u.

Nella notazione dell'analisi vettoriale, utilizzando l'operatore laplaciano Δ  :

Cioè , una funzione d'onda. Equazione delle onde, forma generale
Onda Parte longitudinale Parte trasversale Propagazione Dissipazione

Vedi anche onda sismica , onda meccanica , His , onda su una corda vibrante , onda stazionaria in un tubo , equazioni di Maxwell

Equazione di Fourier

Questa PDE è anche chiamata equazione del calore . La funzione u rappresenta la temperatura. La derivata dell'ordine 1 rispetto al tempo riflette l'irreversibilità del fenomeno. Il numero è chiamato diffusività termica del mezzo.

Nella notazione dell'analisi vettoriale, utilizzando l'operatore laplaciano Δ  :

Cioè , una funzione di un'onda di temperatura.

Equazione di Poisson

Utilizzando l'operatore laplaciano Δ  :

Sia la funzione d'onda e la densità di carica.

Equazione di avanzamento

L'equazione di avvezione unidimensionale dello spazio e del tempo descrive il trasporto di quantità in base alla velocità di avvezione

Ha per soluzione per cui è la condizione iniziale .

L'equazione dell'avvezione gioca un ruolo fondamentale nello studio dei metodi di risoluzione numerica mediante il metodo dei volumi finiti di sistemi iperbolici di leggi di conservazione come le equazioni di Eulero nella dinamica dei fluidi comprimibili.

Equazione delle onde di Langmuir

Sia la funzione d'onda e la densità di carica.

Questa equazione descrive le onde elettriche longitudinali che si propagano in un plasma .

Equazione di Stokes

Il sistema di Stokes, che descrive il flusso di un fluido newtoniano incomprimibile in stato stazionario e con un basso numero di Reynolds , è scritto:

Giudizi:  

Equazione di Schrödinger

Giudizi:  

Equazione di Klein-Gordon

Cioè , una funzione d'onda.

Giudizi:  

Metodi di risoluzione

Approccio analitico

Risoluzione digitale

I metodi numerici più comunemente usati per risolvere le equazioni alle derivate parziali sono:

Note e riferimenti

  1. Stéphane Mottin , "Una soluzione analitica dell'equazione di Laplace con condizioni di Robin applicando la trasformata di Legendre", Trasformate integrali e funzioni speciali , vol. 27 ( n .  4), 2016, p. 289-306. Leggi online

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Bibliografia

link esterno