Funzione di una variabile complessa differenziabili in senso reale

Questo articolo è essenzialmente un'introduzione all'articolo sulle equazioni di Cauchy-Riemann che consente di approcciare direttamente. Definisce, per le funzioni di una variabile complessa e con valori complessi, le derivate parziali (rispetto a or ) e la differenziabilità in senso reale. X,y{\ displaystyle x, y}z,z¯{\ displaystyle z, {\ bar {z}}}

Consideriamo una funzione di una variabile complessa, definita su un sottoinsieme aperto U del piano complesso . Useremo le seguenti notazioni: f:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}} VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

• si noterà la variabile complessa , dove x , y sono reali;z{\ displaystyle z}X+ioy{\ displaystyle x + i \, y}
• le parti reale e immaginaria di saranno indicate rispettivamente e , vale a dire :, dove sono due funzioni reali di due variabili reali.f(z)=f(X+ioy){\ displaystyle f (z) = f (x + i \, y)}P(X,y){\ displaystyle P (x, y)}Q(X,y){\ displaystyle Q (x, y)}f(z)=P(X,y)+ioQ(X,y){\ Displaystyle f (z) = P (x, y) + i \, Q (x, y)}P,Q{\ displaystyle P, \, Q}

Derivate parziali di una funzione di una variabile complessa

Derivate parziali rispetto a x e y

Definizione  : cioè dove sono reali. z0=X0+ioy0∈U{\ displaystyle z_ {0} = x_ {0} + i \, y_ {0} \ in U}X0,y0{\ displaystyle x_ {0}, \, y_ {0}}

• diciamo che f ammette una derivata parziale (di ordine 1) nel punto rispetto alla variabile x , annotata se esiste il limite (finito)z0{\ displaystyle z_ {0}}∂f∂X(z0){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0})}∂f∂X(z0)=limu→0,u∈R∗f(z0+u)-f(z0)u{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0}) = \ lim _ {u \ to 0, \, u \, \ in \, \ mathbb {R} ^ {* }} {\ frac {f (z_ {0} + u) -f (z_ {0})} {u}}}
• diciamo che f ammette una derivata parziale (di ordine 1) nel punto rispetto alla variabile y , annotata se esiste il limite (finito)z0{\ displaystyle z_ {0}}∂f∂y(z0){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0})}∂f∂y(z0)=limv→0,v∈R∗f(z0+iov)-f(z0)v{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0}) = \ lim _ {v \ to 0, \, v \, \ in \, \ mathbb {R} ^ {* }} {\ frac {f (z_ {0} + i \, v) -f (z_ {0})} {v}}}

Proprietà  :

• la derivata parziale esiste se e solo se le derivate parziali , esistono, e quindi∂f∂X(z0){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0})}∂P∂X(X0,y0){\ displaystyle {\ frac {\ partial P} {\ partial x}} (x_ {0}, y_ {0})}∂Q∂X(X0,y0){\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} (x_ {0}, y_ {0})}∂f∂X(z0)=∂P∂X(X0,y0)+io∂Q∂X(X0,y0){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0}) = {\ frac {\ partial P} {\ partial x}} (x_ {0}, y_ {0}) + i \, {\ frac {\ partial Q} {\ partial x}} (x_ {0}, y_ {0})}
• la derivata parziale esiste se e solo se le derivate parziali , esistono, e quindi∂f∂y(z0){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0})}∂P∂y(X0,y0){\ displaystyle {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0})}∂Q∂y(X0,y0){\ displaystyle {\ frac {\ partial Q} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0})}∂f∂y(z0)=∂P∂y(X0,y0)+io∂Q∂y(X0,y0){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0}) = {\ frac {\ partial P} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0}) + i \, {\ frac {\ partial Q} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0})}

Derivate parziali di ordine superiore  :

• se, ad esempio, esiste in qualsiasi punto , definiamo la funzione∂f∂X(z0){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0})}z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ in U}∂f∂X:U→VS,z↦∂f∂X(z){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}: U \ to \ mathbb {C}, \, z \ mapsto {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z)}
• se, in aggiunta, la funzione accetta un derivato ordine parziale al punto 1 rispetto alla variabile x , indichiamo  : . Allo stesso modo, se esiste, viene annotato , ecc.∂f∂X{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}z0{\ displaystyle z_ {0}}∂2f∂X2(z0){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} (z_ {0})}∂2f∂X2(z0)=∂∂X(∂f∂X)(z0){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} (z_ {0}) = {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) (z_ {0})}∂∂y(∂f∂X)(z0){\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) (z_ {0})}∂2f∂y∂X(z0){\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \ partial x}} (z_ {0})}

Derivati ​​parziali rispetto a ez{\ displaystyle z}z¯{\ displaystyle {\ bar {z}}}

Definizione  : supponiamo che f ammette derivate parziali di ordine 1 rispetto alla x ed y al punto . Quindi definiamo: z0{\ displaystyle z_ {0}}

• ∂f∂z(z0)=12(∂f∂X(z0)-io∂f∂y(z0)){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} (z_ {0}) = {\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0}) - i \, {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0}) \ right)}
• ∂f∂z¯(z0)=12(∂f∂X(z0)+io∂f∂y(z0)){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}}}} (z_ {0}) = {\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {\ f parziale} {\ partial x}} (z_ {0}) + i \, {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0}) \ right)}

Proprietà  : mantenendo i presupposti precedenti

• ∂f∂X(z0)=∂f∂z(z0)+∂f∂z¯(z0){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0}) = {\ frac {\ partial f} {\ partial z}} (z_ {0}) + {\ frac {\ parziale f} {\ partial {\ bar {z}}}} (z_ {0})}
• ∂f∂y(z0)=io(∂f∂z(z0)-∂f∂z¯(z0)){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0}) = i \, \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial z}} (z_ {0}) - {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}}}} (z_ {0}) \ right)}

Differenziabilità nel senso reale delle funzioni di una variabile complessa

Diciamo che una funzione di una variabile complessa è differenziabile in senso reale, o -differentibile in un punto se possiamo accostarla localmente (in prossimità di questo punto) dalla somma di una costante e di una funzione - lineare; quest'ultimo è quindi unico, e si chiama differenziale della funzione nel punto considerato. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

Più precisamente ciò significa che , in funzione di due variabili reali, si ammette nell'intorno del punto considerato un'espansione limitata di ordine 1, di cui il differenziale è la parte lineare. f{\ displaystyle f}

• Definizione  : si dice che la domanda è -Lineare se: . L:VS→VS{\ displaystyle L: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}∀α∈R,∀β∈R,∀z∈VS,∀w∈VS,L(αz+βw)=αL(z)+βL(w){\ displaystyle \ forall \, \ alpha \ in \ mathbb {R}, \ forall \, \ beta \ in \ mathbb {R}, \ forall \, z \ in \ mathbb {C}, \ forall \, w \ in \ mathbb {C}, L (\ alpha \, z + \ beta \, w) = \ alpha L (z) + \ beta L (w)}
  • (quindi :)∀u∈R,∀v∈R,L(u+iov)=uL(1)+vL(io){\ Displaystyle \ forall u \ in \ mathbb {R}, \, \ forall v \ in \ mathbb {R}, \, L (u + i \, v) = uL (1) + vL (i)}

• Definizione  : diciamo che la funzione è -differenziabile in un punto se esiste una mappa -lineare e una funzione di una variabile complessa come quando e (assumendo che , dove r è il raggio di una palla aperta tale che ). f:U→VS{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ in U}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}L:VS→VS{\ displaystyle L: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}ϵ(h)→0{\ displaystyle \ epsilon (h) \ to 0}h→0{\ displaystyle h \ to 0}f(z0+h)=f(z0)+L(h)+hϵ(h){\ displaystyle f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + L (h) + h \, \ epsilon (h)}|h|<r{\ displaystyle | h | <r}B(z0,r)⊂U{\ displaystyle B (z_ {0}, \, r) \ subset U}
  • Quando esiste, l'applicazione L è unica (questo risulta dalla seguente proprietà); lo chiamiamo -differenziale o
  differenziale di en e di solito lo denotiamo .R{\ displaystyle \ mathbb {R}}f{\ displaystyle f}z0{\ displaystyle z_ {0}}df(z0){\ displaystyle df (z_ {0})}
• Si dice che è -différentiable su U se -différentiable in qualsiasi punto U .f{\ displaystyle f}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}

• Proprietà  : se è -differenziabile in un punto , allora: f{\ displaystyle f}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}z0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ in U}
  • è continuo in  ;z0{\ displaystyle z_ {0}}
  • ammette derivate parziali di ordine a 1 , e , .z0{\ displaystyle z_ {0}}∂f∂X(z0)=L(1)=df(z0)(1){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0}) = L (1) = df (z_ {0}) (1)}∂f∂y(z0)=L(io)=df(z0)(io){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0}) = L (i) = df (z_ {0}) (i)}

Dimostrazione:

• continuità: quando perché (il -differenziale L è un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita, quindi è continuo) e .f(z0+h)=f(z0)+L(h)+hϵ(h)→f(z0){\ displaystyle f (z_ {0} + h) = f (z_ {0}) + L (h) + h \, \ epsilon (h) \ to f (z_ {0})}h→0{\ displaystyle h \ to 0}L(h)→0{\ displaystyle L (h) \ to 0}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}hϵ(h)→0{\ displaystyle h \, \ epsilon (h) \ to 0}
• esistenza ed espressione di derivate parziali di ordine 1:
  • per tutti u vero e proprio come ,  ; Pertanto, se , quando  : questo dimostra l'esistenza della derivata parziale della funzione a rispetto al , e la relazione|u|<r{\ displaystyle | u | <r}f(z0+u)=f(z0)+L(u)+uϵ(u)=f(z0)+uL(1)+uϵ(u){\ Displaystyle f (z_ {0} + u) = f (z_ {0}) + L (u) + u \, \ epsilon (u) = f (z_ {0}) + uL (1) + u \ , \ epsilon (u)}u≠0{\ displaystyle u \ neq 0}f(z0+u)-f(z0)u=L(1)+ϵ(u)→L(1){\ displaystyle {\ frac {f (z_ {0} + u) -f (z_ {0})} {u}} = L (1) + \ epsilon (u) \ to L (1)}u→0{\ displaystyle u \ to 0}f{\ displaystyle f}z0{\ displaystyle z_ {0}}X{\ displaystyle x}∂f∂X(z0)=L(1){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (z_ {0}) = L (1)}
  • per tutti v reali come ,  ; Pertanto, se , quando  : questo dimostra l'esistenza della derivata parziale della funzione a rispetto al , e la relazione .|v|<r{\ displaystyle | v | <r}f(z0+iov)=f(z0)+L(iov)+iovϵ(iov)=f(z0)+vL(io)+iovϵ(iov){\ displaystyle f (z_ {0} + i \, v) = f (z_ {0}) + L (i \, v) + i \, v \, \ epsilon (i \, v) = f (z_ {0}) + vL (i) + i \, v \, \ epsilon (i \, v)}v≠0{\ displaystyle v \ neq 0}f(z0+iov)-f(z0)v=L(io)+ioϵ(iov)→L(io){\ displaystyle {\ frac {f (z_ {0} + i \, v) -f (z_ {0})} {v}} = L (i) + i \, \ epsilon (i \, v) \ a L (i)}v→0{\ displaystyle v \ to 0}f{\ displaystyle f}z0{\ displaystyle z_ {0}}y{\ displaystyle y}∂f∂y(z0)=L(io){\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial y}} (z_ {0}) = L (i)}

• Teorema  : una condizione sufficiente (non necessaria) di -differenziabilità in un punto, o su un aperto. R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
  • In entrambi i casi . Se ammette derivate parziali di ordine 1 rispetto alla x ed y (o e ) in qualsiasi punto di una zona di , e se , (o , ) sono continue in , quindi è in -differentiablez0∈U{\ displaystyle z_ {0} \ in U}f{\ displaystyle f}z{\ displaystyle z}z¯{\ displaystyle {\ bar {z}}}z0{\ displaystyle z_ {0}}∂f∂X{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}∂f∂y{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial y}}}∂f∂z{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial z}}}∂f∂z¯{\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ bar {z}}}}}z0{\ displaystyle z_ {0}}f{\ displaystyle f}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}z0{\ displaystyle z_ {0}}
  • In particolare, se ammette derivate parziali di ordine 1 rispetto alla x ed y (o e ) definita e costante in ogni punto del aperto U , la funzione è -différentiable su U . In questo caso, diciamo che è derivabile -continûment su U , o una classe di U .f{\ displaystyle f}z{\ displaystyle z}z¯{\ displaystyle {\ bar {z}}}f{\ displaystyle f}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}f{\ displaystyle f}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}

Link esterno

• Funzioni complesse e teorema di d'Alembert.

Vedi anche

• variabile complessa
• variabile (matematica)

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