Funzione subarmonica

In matematica , una funzione subarmonica è una funzione definita su un dominio del piano complesso e con valori reali che soddisfano determinate condizioni di armonicità più deboli di quelle soddisfatte dalle funzioni armoniche . È una nozione introdotta nell'analisi armonica per risolvere il problema fondamentale noto come problema di Dirichlet  ; risolvere questo problema utilizzando funzioni subarmoniche è chiamato metodo di Perron  (en) .

Definizione

Lascia che sia aperto . Si dice che una funzione sia subarmonica se soddisfa le due proprietà seguenti: Ω{\ displaystyle \ Omega}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}u:Ω→ ]-∞,+∞[{\ displaystyle u: \ Omega \ rightarrow \] - \ infty, + \ infty [}Ω{\ displaystyle \ Omega}

• u{\ displaystyle u} è continuo.
• u{\ displaystyle u}ha la proprietà della media locale  : per qualsiasi punto , possiamo trovare tale che:z0∈Ω{\ displaystyle z_ {0} \ in \ Omega}r0>0{\ displaystyle r_ {0}> 0}u(z0)≤∫02πu(z0+reiot)dt2π{\ displaystyle u (z_ {0}) \ leq \ int _ {0} ^ {2 \ pi} u (z_ {0} + re ^ {it}) {\ frac {dt} {2 \ pi}}}per tutto .r<r0{\ displaystyle r <r_ {0}}

A volte, troviamo un'altra definizione che richiede che la funzione sia semicontinua superiormente . u{\ displaystyle u}

Alcune proprietà

Oltre all'analogia con l' uguaglianza della media , le funzioni subarmoniche verificano un certo numero di proprietà da confrontare con quelle delle funzioni armoniche:

• il principio del massimo  : su una qualsiasi relativamente compatto parte in , il massimo sulla adesione di un accordo sulle bordo  ; e se ammette un massimo globale su , allora è costante. D'altra parte, non esiste un principio minimo.ω{\ displaystyle \ omega} Ω{\ displaystyle \ Omega}u{\ displaystyle u}ω{\ displaystyle \ omega}u{\ displaystyle u}Ω{\ displaystyle \ Omega}
• le funzioni subarmoniche attive sono caratterizzate tra le funzioni continue come quelle che verificano il principio del massimo su qualsiasi compact disc in formato .Ω{\ displaystyle \ Omega}Ω{\ displaystyle \ Omega}
• Una proprietà interessante nel contesto degli spazi Hardy è la seguente: se è una funzione convessa crescente e se è una funzione subarmonica, allora è subarmonica.φ:R→R{\ displaystyle \ varphi: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}u{\ displaystyle u}φ∘u{\ displaystyle \ varphi \ circ u}

Il teorema centrale per usare queste funzioni nell'analisi armonica è che se una famiglia di funzioni subarmoniche in un dominio è stabile F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}

• al massimo (se , allora ) eu,v∈F{\ displaystyle u, v \ in {\ mathcal {F}}}max(u,v)∈F{\ displaystyle \ max (u, v) \ in {\ mathcal {F}}}
• Poisson modificato (se e se è relativamente compact disc , centro , Poisson modificata in che è la funzione che verifica su e  : è ancora in )u∈F{\ displaystyle u \ in {\ mathcal {F}}}Δ{\ displaystyle \ Delta}Ω{\ displaystyle \ Omega}a{\ displaystyle a}u{\ displaystyle u}Δ{\ displaystyle \ Delta}u~{\ displaystyle {\ tilde {u}}}u~=u{\ displaystyle {\ tilde {u}} = u}Ω-Δ{\ displaystyle \ Omega - \ Delta}Δ{\ displaystyle \ Delta}u~(a+z)=Re(12π∫02πeiot+zeiot-zu(a+eiot)dt){\ displaystyle {\ tilde {u}} (a + z) = \ mathrm {Re} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {e ^ {it} + z} {e ^ {it} -z}} u (a + e ^ {it}) \ mathrm {d} t \ right)}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}

allora il limite superiore degli elementi di è o costantemente uguale a , o una funzione armonica attiva . F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}+∞{\ displaystyle + \ infty}Ω{\ displaystyle \ Omega}

Per dimostrare il principio di Dirichlet , ci poniamo quindi su un dominio il cui bordo è regolare, dotato di una funzione continua sul suo bordo, e prendiamo la famiglia delle funzioni subarmoniche aumentate di sul bordo di  : il terminale superiore di questa famiglia è allora una soluzione. Ω{\ displaystyle \ Omega}ϕ{\ displaystyle \ phi}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}ϕ{\ displaystyle \ phi}Ω{\ displaystyle \ Omega}